Definirea tetraedrului in gimnaziu

Definirea tetraedrului in gimnaziu

In practica pedagogica exista mai multe modalitati de definire a tetraedrului. Intuitiv tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare , puncte a caror existenta este asigurata de o axioma " Exista patru puncte care nu apartin aceluiasi plan"( in caz contrar spatiul ar deveni un plan) , axioma ce permite extinderea de la geometria plana la cea in spatiu. Una din aceste definitii este:

Definitie. Fie P un plan si in el trei puncte necoliniare A, B, C . Daca D este un punct care nu apartine planului P atunci planele ( DAB), ( DAC), (DBC) vor intersecta planul P dupa D ABC. Multimea punctelor interioare triunghiurilor [DAB], [ DAC], [DBC] si [ABC] reunita cu multimea punctelor segmentelor [ AB], [AC], [AD], [BC],[BD], [CD] formeaza tetraedrul [ABCD].

Observatie In aceasta definitie este vorba de tetraedrul "suprafata" , ulterior ajungandu-se la tetraedrul "corp".

Propozitie Un tetraedru ( suprafata ) imparte spatiul in doua multimi disjuncte.

Una din aceste multimi se numeste interiorul tetraedrului si vom dovedi ca este intersectia a patru semispatii.

Demonstratie

Fie [ABCD] tetraedrul dat .

Consideram intersectia semispatiilor determinate de

(ABC) si care contine punctul D, de (ACD) care contine punctul B, de (ABD) care contine punctul C, de (BCD) care contine punctul A.

Din definitia semispatiilor rezulta ca daca punctele F si G apartin intersectiei acestor semispatii, atunci segmentul [FG] este continut in fiecare semispatiu si deci nu intersecteaza pe niciunul din planele (ABC),( DAB), ( DAC), (DBC).

Reciproc , daca un punct F apartine intersectiei celor patru semispatii si G este un punct astfel incat segmentul [GF] nu intersecteaza suprafata tetraedrului , atunci si G apartine intersectiei celor patru semispatii.

Sa presupunem ca G nu se afla la intersectia celor patru semispatii , atunci G nu se afla in semispatiul determinat de o fata si care contine varful opus ei. Spre exemplu G se afla in semispatiul determinat de (BCD) care nu contine varful A. Atunci [FG] intersecteaza pe (BCD) in H. Punctul H se afla pe CD sau de aceeasi parte a ei ca si B.

Analog se poate afla pe BC sau de aceeasi parte a sa ca si D , pe BD sau de aceeasi parte a sa ca si C. Deci H apartine frontierei triunghiului [BCD] sau interiorului acestui triunghi , deci segmentul [FG] intersecteaza suprafata tetraedrului , ceea ce contrazice ipoteza.

Asadar , tetraedrul imparte spatiul in doua multimi de puncte disjuncte dintre care una ce are proprietatea de mai sus , o numim interiorul tetraedrului.

Chiar daca nu demonstram aceasta teorema , este necesar sa evidentiem proprietatile ce separa cele doua multimi de puncte. Caracterizand multimea punctelor interioare unui tetraedru , elevii isi pot imagina interiorul unei prisme, al unei piramide , etc. si vor dobandi convingerea ca un punct interior si un altul exterior nu pot nu pot fi unite printr-un segment fara a intersecta suprafata corpului respectiv.

1. Definitie. Reuniunea dintre tetraedrul (suprafata) si interiorul sau determina corpul numit tetraedru.

2. Definitie. O multime de puncte (F) din planul (E) se numeste convexa daca oricare ar fi A , B I (F), A B, T AB (F).

Conform celor de mai sus rezulta ca tetraedrul este o multime convexa fiind intersectia a patru semispatii , deci intersectia a patru multimi convexe.

3. In alte lucrari se defineste tetraedrul ca un sistem ordonat format de patru puncte necoplanare ( deci o intuire a tetraedrului).

Dupa ce sunt definite elementele tetraedrului se defineste interiorul tetraedrului si apoi tetraedrul corp ca reuniune a punctelor interioare fetelor, muchiilor, varfurilor, si interiorul tetraedrului.

4. Cele mai multe lucrari , insa definesc suprafetele poliedrale , interiorul lor si apoi definesc corpul poliedru ca o reuniune a suprafetei poliedrale cu interiorul sau. Se defineste apoi tetraedru ca un poliedru cu patru fete.

5. Multi profesori opteaza pentru definirea unghiului triedru ca multimea formata din trei semidrepte a, b, c necoplanare, avand aceeasi origine O ( definitie pe care o gasim de altfel cam sub aceeasi prezentare in Dictionarul explicativ al limbii romane sub forma :" triedru = Figura geometrica formata din trei semidrepte concurente aflate in planuri diferite" cu mentiunea bineinteles ca este vorba de plane diferite nu planuri diferite). Punctul O este varful unghiului triedrului , semidreptele a,b,c vor fi numite muchiile triedrului , iar interioarele unghiurilor ,, fetele triedrului.

Pentru usurarea scrierii vom lua AIa, BIb, CIc si considerand planele p=(b,c); q=(c,a); r=(a,b) se defineste interiorul unghiului triedru abc ca [pA [qB [rC. ( Fiind intersectia a trei semispatii interiorul triedrului este o multime convexa).

Intersectia unui triedru cu un plan ce taie toate muchiile triedrului si nu contine originea acestuia este un triunghi [MNP] .( MIa, NIb, PIc).

Definitie. Reuniunea punctelor triunghiurilor [OMN], [ONP], [OMP], [MNP] cu interioarele lor si cu punctele interioare triedrului cuprinse intre [MNP] si O formeaza un corp numit tetraedru.

Definitie. Interioarele celor patru triunghiuri se numesc fetele tetraedrului , una fiind considerata baza, iar celelalte trei fete se numesc fete laterale. In acest fel se creeaza posibilitatea demonstrarii teoremelor lui Euclid referitoare la unghiuri triedre, valabile deci pentru orice varf al tetraedrului.

Definitia care mie mi se pare cea mai simpla cu putinta si atotcuprinzatoare este urmatoarea:

Definitie: Daca A,B,C,D sunt patru puncte necoplanare , reuniunea tuturor segmentelor [AM] inde MI[BCD] se numeste tetraedru si se noteaza cu [ABCD].

Punctele A,B,C,D se numesc varfurile tetraedrului. Segmentele [AB],[AC],[AD],[BC],[BD] se numesc muchiile tetraedrului, iar suprafetele triunghiulare [ABC], [ABD],[ACD],[BCD] se numesc fetele tetraedrului [ABCD]. Reuniunea fetelor este numita suprafata tetraedrala, iar punctele lui [ABCD] care nu apartin nici unei fete formeaza interiorul tetraedrului , care se noteaza cu Int[ABCD].

Se poate insa proceda la introducerea definitiei tetraedrului si prin prezentarea care urmeaza ( ceva mai aproape de intelegerea elevului):

Figura din spatiu cu proprietati asemanatoare cu cele ale triunghiului este tetraedrul