Sisteme de ecuatii liniare

Forma unui sistem de m-ecuatii liniare cu n-necunoscute este prezentata mai jos:

Matricea A se numeste matricea coeficientilor, b se numeste matricea termenilor liberi, iar X se numeste vectorul necunoscutelor. Studiul acestor sisteme presupune determinarea unui sistem de valori (numere) care date necunoscutelor sa verifice simultan toate ecuatiile sistemului. Sistemul de ecuatii pentru care poate fi gasit un singur set de valori care sa verifice simultan toate ecuatiile sistemului se numeste sistem compatibil unic determinat, iar daca exista mai multe seturi de valori care verifica simultan toate ecuatiile sistemului atunci sistemul este compatibil nedeterminat. In cazul in care nu exista nici un set de valori pentru necunoscutele sistemului cu aceasta proprietate spunem ca sistemul este incompatibil.

Terorema Kroneker - Capelli: Un sistem de m-ecuatii liniare cu n-necunoscute este compatibil determinat daca si numai daca rangul matricii sistemului original (A) este egal cu rangul matricii extinse ().

Daca

, numarul necunoscutelor, atunci sistemul este unic determinat,

Daca   

, atunci sistemul este compatibil nedeterminat.

Rezolvarea sistemelor de ecuatii utilizind Metoda lui Gauss (Metoda eliminarilor succesive):

Aceasta metoda consta in transformari elementare succesive ale sistemului initial intr-un sistem de ecuatii echivalent, eliminind pe rind cite o variabila din toate ecuatiile sistemului cu exceptia unei singure ecuatii in care coeficientul variabilei va fie gal cu unitatea. Daca , atunci variabila poate avea coeficientul 1 daca se imparte aceasta ecuatie prin . Elementul se numeste element pivot. Prin aceasta opertaie elementara prima ecuatie devine:

Pentru a elimina necunoscuta din celelalte ecuatii ramase 2 ,,m, vom inmulti aceasta ecuatie pe rind cu si se scade din ecuatia 2, apoi din ecuatia 3, continuindu-se aceasta procedura pina la ultima ecuatie m. In final vom obtine urmatoarele ecuatii echivalente, unde necunoscuta se gaseste doar in prima ecuatie:

In etapa urmatoare, daca are coeficientul nenul in ecuatia a doua, se va alege acesta drept pivot, si prin aceeasi schema de eliminare de mai sus se va urmari eliminarea necunoscutei din toate ecuatiile cu exceptia ecuatiei 2 care va avea coeficientul 1. Algoritmul continua pina cind numai vom putem elimina nici-o variabila prin aceasta schema de calcul. Acest algoritm poate fi simplificat utilizind o noua schema de pivotare denumita metoda dreptunghiului.

Aceasta noua schema de calcul consta in scrierea coeficientilor tuturor necunoscutelor si a termenilor liberi intr-o forma tipica problemelor de programare liniara:

Calculul unui sistem echivalent se obtine astfel: linia intii se imparte prin elementul pivot , care se incadreaza. Elementele coloanei intii vor fi inlocuite prin zerouri cu exceptia primului element care va deveni 1 ca uramare a impartirii primei linii prin . Celelalte elemente din restul liniilor ramase se inlocuiesc prin rezultatele obtinute in urma operatiunii de pivotare, realizata dupa urmatoarea regula: se formeaza un dreptunghi care are ca diagonala principala segmentul ce uneste pivotul cu locul ocupat de elementul de calculat. Noul coeficient va fi egal cu diferenta dintre produsul coeficientilor de pe diagonala pivotului (principala) si produsul coeficientilor de pe diagonala secundara, diferenta care se imparte la valoarea pivotului.

Schematic obtinem:

unde

Metode numerice de calcul a inversei unei matrice: Schema de calcul numeric prezentata mai sus pentru determinarea solutiei unui sistem de ecuatii liniare poate fi adaptata cu usurinta si pentru calculul inversei unei matrice patratice. Schema numerica de calcul utilizind elementul pivot se aplica in aceeasi maniera plecind de la urmatoarea structura initiala:

obtinindu-se in final o structura in care locul matricei va fi preluat de matricea identitate , iar cel al matricei identitate de matricea inversa .

Exemplu. Fie matricea

Sa se calculeze inversa acestei matrici folosind schema de calcul numeric bazata pe metoda pivotarii.

Solutie: Vom pleca de la structura initiala si prin pivotari succesive obtinem urmatoarele matrici echivalente:

unde

Test de autoevaluare:

T₁. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii:

a.      

b.     

c.      

d.     

T₂. Sa se precizeze daca urmatoarele sisteme de ecuatii sunt compatibil determinate, compatibil nedeterminate sau incompatibile.

a.      

b.     

c.      

d.     

T_3. Sa se calculeze rangul matricilor urmatoare:

a.      

b.     

c.      

d.     

T₄. Sa se calculeze printr-o metoda de calcul numeric inversele matricilor:

a.      

b.     

c.      

Sisteme de inecuatii liniare

Un sistem de inecuatii liniare cu n-necunoscute poate fi scris intr-una din cele doua forme standard tipice problemelor de programare liniara :

In forma matriceala putem scrie compact:

sau

Studiul acestor sisteme de ecuatii se reduce de fapt la studiul sistemelor de ecuatii prin adunarea, respectiv scaderea, la fiecare ecuatie a unei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, si anume:

Intr-o forma matriceala compacta putem scrie:

sau

Vom numi solutie a celor doua sisteme de inecuatii de mai sus un set de valori care verifica simultan toate inecuatiile sistemului.

Teorema. Oricarei solutii a sistemelor de inecuatii:

sau

ii corespunde o solutie a sistemelor de ecuatii echivalente

sau

si reciproc:

Demonstratie:

Fie o solutie a sitemului de inecuatii scris sub forma matriceala:

Putem scrie deci ca:

Sistemul de ecuatii obtinut prin egalizare:

,

sau, echivalent , cu

are solutia daca si numai daca:

Fie o solutie pentru sistemul de ecuatii:

atunci si:

de unde obtinem

si deci este o solutie a sistemului de inecuatii:

O solutie particulara a sistemului de inecuatii poate fi obtinuta prin asignarea necunoscutelor auxiliare urmatoarele valori:

obtinem astfel:

Test de autoevaluare:

T₁. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de inecuatii:

a.      

b.     

c.      

d.     

Spatii vectoriale

Definitie. Un sistem de vectori din V se numeste sistem liniar independent daca pentru orice scalar din egalitatea:

rezulta doar scalari nuli: .

Daca exista cel putin un scalar nenul atunci sistemul de vectori este liniar dependent.

Definitie. Un sistem de vectori formeaza o baza pentru spatial X daca:

a.      B este sistem de vectori liniar independent

b.      B este sistem de generator pentru X

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei.

Test de autoevaluare:

T₁. Studiati natura urmatorului sistem de vectori:

si determinati relatia in caz de dependenta liniara.

T₂. Exprimati vectorul

in baza unitara si apoi in baza , unde:

T₃. Fie baza in , unde:

,

Exprimati vectorul in aceasta baza.

T₄. Fie vectorul scris in baza canonica a lui . Sa se scrie acest vector in baza , unde:

T₅. Fie doua baze in :

.

Sa se calculeze matricea de trecere de la baza la baza , , .

T₆. In spatial R³ se considera urmatoarele sisteme de vectori:

,

a)      Sa se arate ca B₁,B₂ sunt baze sis a se gaseasca matricea de trecere de la B₁ la B₂.

b)      Sa se gaseasca expresia vectorului

in baza B₂.

T₇. Fie sistemul de vectori:

a.       Sa se arate ca sistemul de vectori formeaza o baza in R³.

b.      Sa se determine coordonatele vectorilor a si b in baza B.

T₈. Fie urmatoarele sisteme de vectori:

a.       Sa se arate ca cele doua sisteme de vectori sunt baze in R³.

b.      Sa se gaseasca coordonatele vectorului

in fiecare din cele doua baze.

c.       Sa se determine matricea de trecere de la baza B₁ la baza B₂.

Spatii euclidiene

Test de autoevaluare:

T_1. Folosind procedeul Gramm-Schmidt sa se construiasca doua baze normate ale spatiului Euclidian R³ pornind de la cele doua sisteme de vectori:

T_2. Folosind procedeul Gramm-Schmidt sa se construiasca o baza normata a spatiului Euclidian R³ pornind de la sistemul de vectori:

Aplicatii liniare

Valori proprii si vectori proprii asociati unei aplicatii liniare

Fie aplicatia liniara reprezentata prin matricea in baza . Relatia

, sau echivalent:

poate fi reprezentata matricial sub forma:

unde

Sistemul de ecuatii omogen care se obtine:

are solutii nenule daca si numai daca determinantul acestui sistem este nul:

Determinantul acestui sistem este un polinom in :

si se numeste polinom characteristic asociat aplicatiei liniare T.

Ecuatia:

se numeste ecuatia caracteristica a aplicatiei T.

Forme liniare. Forme patratice

Reducerea unei forme patratice la forma canonica

Test de autoevaluare:

T₁.

a.       Sa se determine matricea operatorului liniar:

b.      Sa se diagonalizeze aceasta matrice precizind baza corespunzatoare.

T₂. Sa se determine valorile proprii si subspatiile proprii corespunzatoare pentru urmatoarele matrice:

a.      

b.     

c.      

T₃. Sa se diagonalizeze matricele:

a.      

b.     

c.      

d.     

e.      

T₄. Plecind de la forma diagonala a matricelor:

a.      

b.     

Sa se determine matricea A¹⁰⁰.

T₅. Sa se determine bazele ortonormate in care matricele:

a.      

b.     

admit forme diagonale.

Intrebari

Fie urmatoarea forma patratica:

Aflati matricea asociata acestei forme patratice.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie urmatoarea forma patratica:

Precizati sirul minorilor asociati acestei frome patratice:

a.      

b.     

c.      

Fie urmatoarea forma patratica:

Sa se aduca la forma canonica (suma de patrate) prin metoda Jacobi:

a.      

b.     

c.      

Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea:

Aflati valorile proprii associate acestui operator.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati spatiul vectorial X :

a.      R

b.      R²

c.       R³

Fie operatorul liniar , unde;

Precizati matricea asociata acestui operator liniar.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati polinomul characteristic asociat acestui operator:

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie operatorul liniar , unde;

Determinati valorile proprii asociate pentru acest operator liniar.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie un operator liniar care in baza canonica este dat de matricea:

Precizati polinomul caracteristic asociat acestui operator.

a.      

b.     

c.      

d.     

Fie operatorul liniar , unde;

Aflati vectorii proprii asociati acestui operator liniar.

a.      

b.     

c.      

d.     

Aflati coordonatele vectorului:

in baza

din spatial R³:

a.      

b.     

c.      

d.     

Aflati coordonatele vectorului

in baza canonica din spatiul R³.

a.      

b.     

c.      

d.