Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara

Reguli de trasare a locului radacinilor in cazul sistemelor cu reactie negativa unitara

Regula : Locul radacinilor cuprinde n ramuri distincte, n reprezentand gradul ecuatiei caracteristice aferente sistemului, deci numarul radacinilor acesteia.

Justificare: Cum ecuatia caracteristica (4.122) este de gradul n, aceasta are n radacini, deci locul radacinilor are n ramuri.

Regula : Locul radacinilor este simetric in raport cu axa reala.

Justificare: Cum ecuatia caracteristica are toti coeficientii reali, radacinile acesteia sunt pur reale sau coplex-conjugate, deci simetrice fata de axa reala. Rezulta ca si locul este simetric fata de axa reala.

Regula : Pentru k=0, ramurile locului radacinilor pornesc din polii sistemului in circuit deschis.

Justificare: Ecuatia (4.123), pentru k=0, devine:

(4.127)

Rezulta ca, pentru k=0, radacinile ecuatiei caracteristice sunt polii lui H(s).

Regula : Pentru , m ramuri ale locului radacinilor tind catre zerourile sistemului in circuit deschis.

Justificare: Din ecuatia (4.123), prin impartire cu k, se obtine:

. (4.128)

Rezulta ca, pentru , se obtine ecuatia:

(4.129)

deci radacinile ecuatiei caracteristice se confunda cu zerourile lui H(s).

Regula : Pentru , n-m ramuri ale locului radacinilor tind catre linii drepte (asimptote), care fac cu axa reala a planului s unghiurile:

(4.130)

Asimptotele se intersecteaza pe axa reala intr-un punct unic denumit "centru de greutate" al configuratiei zerourilor si polilor functiei de transfer H(s). Abscisa centrului de greutate se determina cu relatia:

(4.131)

Justificare: Din ecuatia (4.122), se obtine:

(4.132)

din care, dupa efectuarea impartirii, rezulta ecuatia

(4.133)

care are ca radacini cele n-m radacini, ale ecuatiei caracteristice, ce tind catre infinit.

Rezulta:

(4.134)

de unde se obtine:

(4.135)

Pentru ca cele n-m radacini tind la infinit, in ecuatia se neglijeaza, in raport cu termenul ce-l contine pe s^n-m, ceilalti termeni si se obtine:

(4.136)

sau

de unde rezulta cele n-m radacini care tind la infinit

(4.138)

unde .

Din relatia (4.138), rezulta ca radacinile sunt situate pe un cerc a carui raza creste cu k. Razele pe care se deplaseaza radacinile ecuatiei caracteristice reprezinta directiile asimptotice care, evident, pornesc din centrul cercului si fac cu axa reala unghiurile.

Regula : Locul radacinilor contine toate portiunile axei reale care se afla la stanga unui numar impar de poli si zerouri.

Justificare: Consideram in planul s o repartitie pentru polii si zerourile lui H(s)    ca in fig. 4.8. Fie punctul M(s) situat pe axa reala. Se observa ca:

pentru o pereche de poli (sau zerouri) complecsi conjugati situati in dreapta punctului M, suma argumentelor fazorilor cu varful in M este de 2p. De exemplu, pentru polii p₂ si p_3, suma argumentelor este:;

pentru un pol (sau zerou) situat pe axa reala in dreapta punctului M argumentul este p ( de exemplu, pentru zeroul z₁);

pentru un pol (sau zerou) situat pe axa reala in stanga punctului M argumentul este zero ( de exemplu, pentru polul p₁).

Fig. 4.8.

In relatia (4.126) argumentele fazorilor corespunzatori zerourilor intra cu semnul plus, iar argumentele fazorilor corespunzatori polilor intra cu semnul minus.

Oricum s-ar insuma algebric (cu semnul plus sau minus) un numar impar de valori p, se obtine un rezultat de forma (2l+1) p, unde lZ.

Rezulta ca, daca punctul M este situat pe axa reala in stanga unui numar impar de poli si zerouri, el apartine locului pentru ca in acest caz conditia (4.126) este verificata.

Regula Valoarea lui k, pentru care locul radacinilor intersecteaza axa imaginara a planului s, se determina din conditia:

(4.140)

unde este determinantul de ordinul n al lui Hurwitz.

Justificare Cand radacinile ecuatiei caracteristice sunt situate pe axa imaginara, sistemul este la limita de stabilitate, deci

Observatie In acest caz, radacinile pot fi determinate, daca in ecuatia caracteristica se face

Regula Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre doi poli adiacenti ai sistemului deschis, apartine locului radacinilor, atunci ea va contine un punct de ramificare, de indepartare de axa reala (fig. 4.9.a).

Justificare: Din cei doi poli adiacenti, p₁ si p₂, pornesc doua ramuri distincte ale locului. Acestea se intalnesc in punctul de ramificare, de abscisa s_r, dupa care se departeaza de axa reala, dupa care, se desprind doua ramuri ce corespund a doua radacini complex-conjugate ale ecuatiei caracteristice.

a)    b)

Fig. 4.9.

Regula Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre doua zerouri adiacente ale sistemului deschis, apartine locului radacinilor, atunci ea va contine un punct de ramificare, de apropiere de axa reala (fig. 4.9.b).

Justificare: In cele doua zerouri adiacente, z₁ si z₂, sosesc pe axa reala, din punctul de ramificare s_r doua ramuri distincte ale locului. Acestea provin din doua radacini complex-conjugate care, in punctul de ramificare, au devenit egale.

Regula Daca o portiune a axei reale, cuprinsa intre un pol si un zero, apartine locului radacinilor, atunci ea constituie o ramura distincta a locului.

Justificare: Pentru k variind de la zero la infinit, punctul curent al locului se depleaseaza de la polul p la zeroul z (fig. 4.10).

Fig. 4.10.

Regula Coordonatele punctelor de ramificare ale locului sunt date de radacinile ecuatiei:

(4.141)

unde z_i, p_i sunt zerourile, respectiv polii, lui H(s), s_r reprezinta coordonatele punctelor de ramificare de pe axa reala, iar r este numarul punctelor de ramificare.

Justificare Intr-un punct de ramificare, ecuatia caracteristica (4.121) are o radacina dubla. Rezulta:

(4.142)

Eliminand k intre relatiile (4.142) se obtine

(4.143)

Avand in vedere ca:

(4.144)

si

(4.145)

rezulta:

.

Regula : In punctul de ramificare, doua ramuri ale locului parasesc, sau ating, normal (sub un unghi de 90⁰) axa reala.

Regula Unghiul de plecare, dintr-un pol complex p_k al unei ramuri a locului, sau unghiul de sosire, , intr-un zerou complex z_k al unei ramuri a locului, poate fi determinat scazand (2q+1)p din suma unghiurilor fazorilor si , construiti intre polul, respectiv zeroul, complex considerat si toti ceilalti poli p_i si zerouri z_i, unde i≠k, adica:

(4.146)

respectiv

(4.147)

unde si se alege astfel incat sa rezulte: .

Justificare Relatiile (4.146) si (4.147) rezulta din conditia argumentelor (4.126).