ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR

ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR

Notiunea de multime este primara, in sensul ca nu poate fi definita cu ajutorul altor notiuni mai simple. In matematica, cuvantul multime marcheaza orice colectie de obiecte sau simboluri. Colectia trebuie sa fie bine definita, in sensul ca se poate decide intotdeauna apartenenta sau neapartenenta unui obiect la colectia considerata. Practic, a preciza o multime inseamna a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietatile comune care caracterizeaza aceste obiecte. De exemplu: N = este binecunoscuta multime a numerelor naturale. Aceeasi multime a numerelor naturale mai poate fi scrisa si astfel: N = .

O multime poate contine un numar finit sau infinit de elemente. Daca o multime nu contine nici un element o vom numi multime vida si o vom nota cu litera greceasca

Pentru a evidentia faptul ca un element apartine sau nu unei multimi date vom utiliza simbolurile matematice de apartenenta I, sau de neapartenenta . De exemplu, xI, sau 3

- In acest capitol nu vom prezenta nici o demonstratie a vreunei teoreme sau formule. Scopul este doar acela de a expune principalele instrumente matematice utilizate in capitolele care urmeaza. Cititorul interesat poate gasi demonstratiile si alte amanunte in cateva din cartile prezentate in bibliografia de la sfarsitul lucrarii sau in manualele scolare de liceu.

Daca toate elementele unei multimi A apartin si unei alte multimi B, vom spune ca A este o submultime a multimii B si vom scrie acest lucru utilizand simbolul matematic de incluziune, A B. Simbolul semnifica o incluziune stricta, astfel incat, cu siguranta multimea B are cel putin un element care nu exista si in multimea A. Pe langa acest simbol vom mai putea folosi si urmatoarele simboluri, care au semnificatia:

- pentru incluziunea care poate asigura si egalitatea de elemente ale celor doua multimi

- pentru a preciza neincluziunea

- pentru incluziunea stricta a celei de-a doua multimi in prima

pentru incluziunea si cu posibilitatea de egalitate a celei de a doua multimi in prima.

Prin conventie, multimea vida F se considera a fi submultime pentru orice multime data.

Ideea de multime poate fi reintregita prin conceptul de multimi egale, adica multimi care au aceleasi elemente. Acest concept poate fi suficient daca am defini egalitatea a doua multimi prin urmatoarea declaratie:

A = B daca si numai daca A B si B A.

Avand de-a face cu multimi de aceeasi natura, in sensul ca elementele acestora fac parte dintr-o aceeasi colectie mai ampla de obiecte, numita multime totala sau multime universala, pe care o notam cu T, putem indroduce urmatoarele operatii importante:

1°. Reuniunea a doua multimi A si B, notata A U B, reprezinta multimea elementelor care apartin sau lui A sau lui B.

2°. Intersectia a doua multimi A si B, notata A B, reprezinta multimea elementelor care apartin si lui A si lui B. Daca A B = F, spunem ca multimile A si B sunt disjuncte.

3°. Diferenta a doua multimi A si B, notata A - B, reprezinta multimea elementelor care apartin lui A si nu apartin lui B.

4°. Complementara unei multimi A fata de o multime mai ampla, de exemplu multimea totala T, notata prin A, sau prin C_TA, reprezinta multimea elementelor care apartin lui T si nu apartin lui A, altfel spus: A = T - A.