Elemente de trigonometrie

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

1. Masura in radiani.

Oricarui arc de cerc ii asociem 3 caracterizari:

masura in grade (acceptata uzual ca fiind o masura pozitiva cuprinsa intre 0⁰ si 360⁰);

lungime (acceptata uzual ca fiind o masura pozitiva cuprinsa intre 0 si 2R);

masura in radiani (care extinde notiunea de arc), definita astfel: spunem ca un arc de cerc are masura de 1 radian intr-un cerc de raza R si intelegem un arc de lungime R.

Astfel avem

C(O,R) m(AB)=1 rad l(AB)=R

C(O,1) m(AB)=1 rad l(AB)=1

Remarcam urmatoarele corespondente:

Oricare ar fi C(O,R), avem:

2R . . . . . . . . . . . .360⁰ . . . . . . . . . . . . ..x rad

l(AB)=R . . . . . . . . . . y⁰ . . . . . . . . . . . . . .1 rad

Aplicand regula de 3 simpla, obtinem:

Masura in radiani a unui cerc de raza R este de radiani.

Intr-un cerc de raza R, arcului de masura 1 rad ii corespunde o lungime egala cu raza (din definitie) si o masura in grade egala cu si utilizand aproximarea obtinem ca .

Proprietate:

Masura in radiani a unui cerc este invarianta (nu depinde de pozitia cercului si de lungimea razei), deci oricarui cerc ii asociem masura de    2radiani.

Unui arc de masura 1 rad ii corespund lungimi diferite in cercuri de raze diferite, dar este invarianta in raport cu pozitia cercului (fata de centru) si ii corespunde aceeasi masura in grade, deci corespondenta celor doua masuri este invarianta fata de pozitia si dimensiunea cercului.

Daca, in plus, ne situam in cercuri de raza 1, atunci numarul real ce reprezinta masura in radiani a oricarui arc de cerc este egal cu numarul real ce reprezinta lungimea respectivului arc de cerc (printr-o exprimare fortata spunand ca in C(O,1), masura arcelor este egala cu lungimea lor!, prin egalitate intelegand echivalenta in buna definire a arcului de cerc prin oricare din cele doua masuri)

Prin prisma ultimelor observatii, putem substitui utilizarea oricarei masuri cu alta masura in grade -atat pentru arce de cerc cat si pentru unghiuri - cu masura in radiani sau cu lungimea arcului conversia unei masuri in cealalta facandu-se pe baza regulii de 3 simpla, astfel:

Masura in radiani sau lungimea arcului . . . .Masura in grade a arcului

2 . . . . . . . . . . . . . 360⁰

. . . . . . . . . . . . . ..180⁰

/2 . . . . . . . . . . . . . 90⁰

/3 . . . . . . . . . . . . . 60⁰

/4 . . . . . . . . . . . . . 45⁰

/6 . . . . . . . . . . . . . 30⁰

/10 . . . . . . . . . . . . ..18⁰

/12 . . . . . . . . . . . . ..15⁰

/18 . . . . . . . . . . . . 10⁰

/36 . . . . . . . . . . . . . 5⁰

/180 . . . . . . . . . . . . ..1⁰

De obicei masura in grade se noteaza prin m(AB) pentru arce sau m(AOB) pentru unghiuri, iar masura in radiani se noteaza (AB), respectiv (AOB).

Reamintim ca, prin definitie, masura in grade a unui cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator. Atunci vom spune ca un unghi AOB are masura egala cu x radiani , (AOB)=x rad, daca arcul de cerc corespunzator unghiului are masura de x rad, (AB)=x rad.