Functii integrabile

Definitie:1) Fie interval inchis sI marginit din R. Se numeste diviziune a intervalului un sistem de puncte =(x₁,x₂, . ,x_n) din astfel inc@t a=x₀<x₁<x₂< . <x_n-1<x_n=b.

2) Cea mai mare dintre lungimile intervalelor [x₀,x₁],[x₁,x₂], . ,[x_n-1,x_n] se numeste norma diviziunii si se noteaza cu .

(x_I-1,x_I)

Definitie: Consideram functia f:[a,b] R,diviziunea =(a=x₀<x₁<x₂.. <x_n-1<x_n=b) si sistemul de intermediare _n),unde _i

[x_i-1,x_i],i=1,n.Numarul real (f, f(_i)( f_i-f_i-1) se numeste suma Riemann asociata functiei f, diviziunii si sistemului de puncte intermediare .

Observatie: Daca functia f R este pozitiva ,atunci (f,) aproximeaza aria multimii din plan denumita subgraficul lui f:

_f

delimitata de axa Ox,graficul functiei f si dreptele paralele la axa Oy:

x=a,respectiv x=b.

Definitie: O functie f a,b] R se numeste integrabila Riemann pe [a,b] daca exista I_fR^'cu proprietatea : ( >0 ( >0,a.[. ( a=x₀<x₁<x₂.. <x_n-1<x_n=b) cu < si () sistemul de puncte intermediare _{n i}[x_i-1,x_i] are ,loc inegaliatea

< .

Numarul I_f se numeste integrala definita a functiei pe intervalul .

Notatie : I_f=.

Proprietati:

1)Pentru orice functie f:R integrabila Riemann,numarul I_f este unic .

2)Orice functie integrabila pe un interval este marginita.

3)Fie functia f:R integrabila Riemann si functia g:R a.[. g(x)=f(x) () x si A, A- multime finita.Atunci si functia g este integrabila si   

4)Teorema Fie functia f:R. Functia f este integrabila Riemann daca si numai daca exista I_f R a.i. pentru () sir de diviziuni ,

_n a=x₀ⁿ<x₁ⁿ<<=b), cu =0 si () punctele intermediare

x_i-1ⁿ_iⁿx_iⁿ ik_n nN), sirul sumelor Riemann converge la I_f.

Deci: I_f=

5)Teorema (Formula lui Leibniz-Newton)

Fie f R o functie integrabila care admite primitive pe

Atunci pentru orice primitiva F a lui f are loc egalitatea:    =F(b)-F(a) .

Integrarea functiilor continue:

1).Teorema de medie: Daca f R este o functie continua,atunci exista a.[. =(b-a)f(

Interpretare geometrica: Daca f este functie continua si pozitiva pe a.[. subgraficul lui f,_f,are aceeasi arie cu dreptunghiul de baza b-a si inaltime f(

y

f(

0 a b x

2)Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue

Fie f R continua.Atunci functia F:R,F(x)=, x₀ este o primitiva a functie f care se anuleaza in x₀.

Metode de integrare:

1.Integrare prin parti: Daca f,g :R sunt derivabile si au derivabilele continue,atunci

2.Integrarea prin schimbare de variabila:

Fie JR(JR) doua functii cu proprietatile:

a)f este continua pe J;

b)g este derivabila,cu derivata continua pe .Atunci:

. Daca in plus g este si bijectiva ,g¹(t) )t atunci:

Ex 1:Folosind metoda integrarii prin parti, sa se calculeze urmatoarele integrale definite:

I₁=;I₂ ;I₃=

Solutie: I₁= - x

arctgx (arctg-arctg 0)=^3/

I₂= (e³lne-1³ln1)-    - x³ (e³-1)=

I₃= =

Ex2: Sa se calculeze integralele definite:

I₁=;I₂ ;I₃=

Solutie:

I₁=

I₂=