Imagini geometrice ale multimii numerelor reale deduse dintr-o problema de loc geometric

Enuntul problemei

Pe dreapta fixa d, situate in planul π se considera punctele fixe A,B si punctual mobil M. In planul π se construiesc poligoanele regulate de laturi [AM] si [BM], cu m, respectiv n laturi, unde m,n є N, m,n≥3. Cercurile circumscrise acestor poligoane se intersecteaza in M si P. Se cere locul geometric al punctului P.

Pentru rezolvare deosebim cazurile m=n si m≠n, in fiecare caz poligoanele pot fi situate de aceeasi parte a dreptei d sau de o parte si de alta a acesteia.

Organizand dreapta d ca o axa, axa numerelor reale x’x, punctele A,B avand abscisele a,b constante, iar punctual M abscisa x variabila.

Se obtin urmatoarele rezultate:

1) Daca m=n si poligoanele regulate sunt in acelasi semiplan (semiplanul superior), locul geometric al punctului P este reuniunea dintre un arc de cerc cu extremitatile in A si B, arc capabil de si semidreptele X’A) si (BX .

Cand M parcurge semidreapta X’A), adica xє(-∞,a), cercurile sunt tangente si P=M.

Cand M parcurge [AB], adica xє[a,b], P descrie arcul , capabil de .

Cand M parcurge (BX, adica xє(b,+∞), cercurile sunt tangente si P=M.

Se constata ca dreapta MP, cand xє(a,b), trece printr-un punct fix , unde este mijlocul arcului ce completeaza arcul pana la un cerc, adica arcul este arc acapabil de .

2) Daca m=n si poligoanele regulate sunt in semiplane diferite, locul geometric al punctului P este reuniunea arcelor , arce  capabile de si a segmentului [AB].

Cand M parcurge semidreapta X’A), adica xє(-∞,a), punctul P descrie arcul

Cand M parcurge [AB], adica xє[a,b], cercurile sunt tangente si P=M.

Cand M parcurge (BX, adica xє(b,+∞), P descrie arcul

Punctele si nu sunt puncte ale locului geometric, fiind pozitii limita ale punctului P si corespund lui -∞, respectiv +∞.

Se constata ca dreapta MP, cand xє(-∞,a), trece prin punctual fix , iar cand xє(b,+∞), trece prin punctul fix

In cazul particular m=n=4 arcul de cerc loc geometric de la 1. este semicerc, iar arcele de la 2. sunt sferturi de cerc, fiind arce capabile de

3) Daca m<n si poligoanele regulate sunt in acelasi semiplan (semiplanul superior, locul geometric al punctului P este reuniunea a trei arce de cerc, astfel: , arc capabil de , cu masura arcului este egala cu ; , arc  capabil de si , arc capabil de , cu masura arcului .

Arcele si sunt simetrice fata de dreapta d.

Cand M parcurge semidreapta X’A), adica xє(-∞,a), punctul P descrie arcul de cerc

Cand M parcurge [AB], adica xє[a,b], punctul P descrie arcul de cerc .

Cand M parcurge (BX, adica xє(b,+∞), punctul P descrie arcul de cerc .

Punctele si nu sunt puncte ale locului geometric, fiind pozitii limite ale punctului P, cand x tinde la -∞, respectiv +∞.

4) Daca m<n si poligoanele regulate sunt in semiplane diferite, locul geometric al punctului P este reuniunea a trei arce de cerc, astfel: , arc capabil de , cu masura arcului egala cu ; , arc capabil de , cu extremitatile in A si B; , arc capabil de , cu masura arcului egala cu .

Cand M parcurge semidreptele X’A), adica xє(-∞,a), punctul P descrie cercul .

Cand M parcurge [AB], adica xє[a,b], punctul P descrie cercul .

Cand M parcurge (BX, adica xє(b,+∞), punctul P descrie cercul .

Arcele si sunt simetrice fata de dreapta d.

Punctele si nu sunt puncte ale locului geometric, fiind pozitii limite ale punctului P, cand se tinde la -∞, respectiv +∞.

In cazul particular m=3, n=6 cercul de la 3) este semicerc si arcele si se afla pe cercul de diametru [AB], fiind arce capabile de

OBSERVATIA 1

Cercul de diametru [AB], sau o parte a sa devine loc geometric numai in situatiile m=n=4, sau m=3; n=6, respectiv m=6; n=3, deoarece ecuatia are in N numai aceste solutii.

OBSERVATIA 2

In cazurile m=3; n=4 si m=4; n=6 locurile geometrice coincide, arcele corespunzatoare fiind capabile de cate si . Deosebirea consta in faptul ca pentru m=3; n=4, punctele limita se afla pe cercul capabil de , iar pentru m=4; n=6 acestea se afla pe cercul capabil de . Aceste cazuri rezulta din rezolvarea in N a ecuatiei

OBSERVATIA 3

O parte din locul geometric poate sa coincida pentru perechi de poligoane regulate cu numar diferit de laturi.

In afara exemplelor prezentate in observatiile 1) si 2) mai exemplificam:

Ecuatia , unde m,n,p,qєN are solutia kєN, k≥2.

Pentru k=2 obtinem perechile de poligoane m=5; n=6, laturi si p=3; q=30. Pentru k=3 obtinem m=7; n=8 si p=4; q=56.

OBSERVATIA 4

Arcele si de la cazurile 1), respectiv 2) se afla pe acelasi cerc.

Arcele si si si de la cazurile 3) respectiv 4) se afla pe acelasi cerc.

OBSERVATIA 5

Cazul m>n se trateaza in mod analog cazului m<n.

OBSERVATIA 6

Daca planul este variabil, dreapta d ramanand fiza, locul geometric al punctului P se obtine prin rotatia locului geometric prezentat in cazurile 1), 2), 3), 4) in jurul axei d.

COROLAR

Locurile geometrice descries in cazurile 1), 2), 3), 4) reprezinta imagini geometrice ale multimii numerelor reale, parcurse in sensul indicat prin sageti.

Bibliografie:

1. “Contributii asupra locurilor geometrice” - Anghel Dafina, editura Premier, Ploiesti 2003
2. “Problema celor doua poligoane regulate” - Anghel Dafina, Gazeta Matematica, seria A, nr. 4/2003, nr.1/2004
3. “Consideratii asupra unei probleme de loc geometric” - Anghel Dafina, Axioma - supliment matematic, nr.4,5,6/2003