Integrarea ecuatiilor diferentiale

Integrarea ecuatiilor diferentiale

1. Metoda Euler (metoda liniilor poligonale)

Fie ecuatia diferentiala de ordinul intai cu conditia initiala Cauchy:

(1)

unde f(x,y) este definita intr-un domeniu D din planul (xOy).

1.1. Interpretarea geometrica

Din punct de vedere geometric metoda Euler consta in a inlocui curba y=y(x), solutia ecuatiei diferentiale, prin linia poligonala construita cu ajutorul segmentelor de dreapta ,, ,., respectiv numai in punctul M_o (x_o,y_o) dreapta este tangenta la curba y=y(x).

Se defineste un camp de directii astfel incat in fiecare punct M(x,y)ID se ia directia cu panta .

Graficul solutiei ecuatiei diferentiale (1) trece prin punctul M(x_o,y_o) si este tangent in orice punct al sau la campul directiilor definite.

1.2. Descrierea metodei Euler

In metoda Euler se aproximeaza solutia printr-o linie poligonala in care fiecare segment este coliniar cu directia campului definita de extremitatea sa stanga.

Consideram divizarea echidistanta: (2)

pas'1' In punctul M_o(x_o,y_o) se calculeaza directia campului definita in M_o si se scrie ecuatia dreptei determinata de M_o si aceasta directie:

.

Aceasta functie se propune ca aproximare a solutiei problemei (1) pe intervalul x₀,x₁ , de unde valoarea aproximativa a solutiei in x=x₁ este: (3)

pas'i+1' Presupunem ca in x_i s-a calculat valoarea aproximativa y_i, de unde pentru solutia se aproximeaza prin:

si respectiv in x=x_i+1 obtinem valoarea aproximativa:

(4)

In metoda Euler, rezolvarea ecuatiei (1) se bazeaza pe utilizarea unei formule de calcul recursiv:

(5)

Relatia (5) se poate obtine din relatia dezvoltarii in serie Taylor, considerand doar primii 2 termeni, n=1.

Obs.: Metoda Euler este metoda cu pasi separati si algoritmul metodei este de tip explicit.

Pentru fiecare pas in metoda Euler, eroarea de trunchiere este:

(6)

obtinuta pe baza relatia erorii de trunchiere a metodei Taylor la n=1.

Metoda Euler are o precizie de calcul redusa.

Pentru obtinerea unei precizii mai bune de calcul se recomanda folosirea unei divizari mai fine (h mai mic) sau utilizarea unei metode de tip predictor-corector.

1.3. Algoritm

Start

Introducere date: , functia f(x,y)

Cicleaza i=1,N

Scrie:

Stop

2. Metoda Euler perfectionata (predictor-corector)

2.1. Interpretarea geometrica

Fie ecuatia diferentiala de ordinul intai cu conditia initiala:

(7)

In metoda Euler perfectionata se foloseste pentru pasul urmator media pantelor din punctele:

Pentru a gasi geometric punctul folosim metoda obisnuita Euler, acesta gasindu-se pe dreapta (L1) din fig.8.2.

formula predictoare (8)

Calculam in acest punct panta curbei solutiei ecuatiei (8) care trece prin punctul , evaluand in acest punct functia f(x,y) se obtine dreapta (L2) din fig.8.2.

Apoi construim dreapta () a carei panta este egala cu media aritmetica a pantelor dreptelor (L1) si (L2).

In final trasam prin punctul (x_m,y_m) o dreapta L paralela cu si notam cu punctul de intersectie al dreptei L cu verticala x=x_m+1.

Panta dreptei (si a lui L) rezulta: , de unde:

-formula corectoare (9)

2.2. Descrierea metodei Euler predictor-corector

Pe baza relatiilor (8),(9) obtinem algoritmul corector:

iter'0' (predictor)

iter'1' (corector)

(10)

iter'i' (corector)

Criteriul de oprire:

Algoritmul (10) se va utiliza pentru fiecare punct (x_m,y_m),m>0.

Obs.: Se demonstreaza ca algoritmul (10) este sigur convergent daca functia f(x,y) satisface conditia lui Lipschitz in 'y' si este continua in 'x'.

Obs: functia f(x,y) are proprietatea lui Lipschitz in raport cu 'y', daca exista L>0 astfel incat:

(unde I este domeniul valorilor luate de functia y rezultata din integrarea lui f(x,y).

Eroarea de trunchiere a metodei Euler imbunatatita (predictor-corector) satisface relatia de proportionalitate: (11)

2.3. Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza i=1,N

pana cand:

Scrie:

Stop

3. Metoda Runge-Kutta

Metodele Runge-Kutta au 3 proprietati:

sunt metode directe, au nevoie doar de informatiile existente la punctul precedent (x_k,y_k) pentru a gasi (x_k+1,y_k+1);

sunt identice cu seriile Taylor pana la termenii h^p, unde p este diferit pentru metode distincte (ordinul metodei);

nu necesita evaluarea nici unei derivate a functiei f(x,y), ci numai a valorii acesteia intr-un punct.

Obs. Ca urmare a proprietatii (3), metodele Runge-Kutta sunt cele mai folosite in practica.

Fie ecuatia diferentiala de ordinul intai cu conditia initiala Cauchy:

(12)

Fie o diviziune echidistanta a intervalului x_o,b : x_m=x_o+m h, m=0,N (13)

Obs.: Pe baza metodei seriei Taylor de ordinul 'p' a functiei y(x), pentru diviziunea (13) avem:

(14)

Relatia (14) prin metoda Runge-Kutta va fi inlocuita cu o formula de recurenta de tipul:

(15)

In functie de ordinul 'p' vom evidentia 4 dintre cele mai importante variante ale metodelor Runge-Kutta.

3.1. Formula Runge-Kutta de ordinul I (p=1)

Din dezvoltarea in serie Taylor (14) avem:

(16)

Din forma generala a metodei Runge-Kutta (15) avem:

(17)

Punem conditia de identitate a relatiilor (16), (17) si din identificarea termenilor rezulta: , de unde formula Runge-Kutta de ordinul I este:

(18)

Obs.: Formula Runge-Kutta de ordinul I este identica cu formula liniilor poligonale a lui Euler.

Eroarea de trunchiere este: (19)

Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza m=1,N

x_m=x_m-1+h

Cicleaza m=0,N-1

Scrie:

Stop

3.2. Formula Runge-Kutta de ordinul II (p=2)

Din dezvoltarea in serie Taylor (14) avem:

(20)

Din forma generala a metodei Runge-Kutta (15) avem:

(21)

Dezvoltam in serie Taylor termenul k₁, din care retinem doar primii 2 termeni:

(22)

Din relatiile: (21),(22) avem:

iar din relatia (20) avem:

si din identificarea celor doua relatii avem:

, consideram (23)

Din relatiile: (21),(23), formula Runge-Kutta de ordinul II este:

si este echivalenta cu metoda Euler perfectionata. (24)

Obs.: Se demonstreaza ca eroarea de trunchiere satisface relatia: (25)

Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza m=1,N

x_m=x_m-1+h

Cicleaza m=0,N-1

Scrie:

Stop

3.3. Formula Runge-Kutta de ordinul III (p=3)

Din dezvoltarea in serie Taylor (14) avem:

(26)

Din forma generala a metodei Runge-Kutta (15) avem:

(27)

Vom dezvolta functia f(x,y) in serie Taylor in punctul (x_m,y_m), retinand termenii de ordinul I si II:

(28)

Facem notatiile:

(29)

Pe baza relatiilor (28),(29) obtinem:

(30)

Din relatiile (27),(30) pentru formula Runge-Kutta de ordinul III avem:

(31)

si respectiv relatia seriei Taylor (26), descompusa este:

(32)

Se identifica termenii din relatiile (31),(32) si rezulta urmatorul sistem de ecuatii:

T (33)

unde s-au considerat ca fiind variabilele principale.

Varianta 1

Se considera si din sistemul de ecuatii (33) rezulta urmatoarea formula Runge-Kutta de ordinul III:

(34)

Varianta 2

Se considera si din sistemul de ecuatii (33) rezulta urmatoarea formula Runge-Kutta de ordinul III:

(35)

Obs.: Se demonstreaza ca eroarea de trunchiere a metodei Runge-Kutta de ordinul III satisface relatia de proportionalitate: (36)

Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza m=1,N

x_m=x_m-1+h

Cicleaza m=0,N-1

Scrie:

Stop

3.4. Formula Runge-Kutta de ordinul IV (p=4)

Din dezvoltarea in serie Taylor (14) avem (p=4): y_o dat ;

(37)

Din forma generala a metodei Runge-Kutta (15) avem:

(38)

Facem notatiile:

(39)

Descompusa, relatia (37) cu notatiile (39), are expresia:

(40)

Dezvoltam in serie Taylor functia f(x,y) si retinem primii 4 termeni:

(41)

Folosind relatia (41), se calculeaza termenii k₁,k₂,k₃ din relatia (38) si se compara cu relatia (40). Din identificarea termenilor asemenea rezulta sistemul ecuatiilor coeficientilor necunoscuti (analog metodei Runge-Kutta de ordinul III).

Varianta 1 (formula treimii pentru metoda Runge-Kutta de ordinul IV)

(42)

Varianta 2 (formula optimii pentru metoda Runge-Kutta de ordinul IV)

(43)

Obs.: Se demonstreaza ca eroarea de trunchiere a metodei Runge-Kutta de ordinul IV satisface relatia de proportionalitate: (44)

Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza m=1,N x_m=x_m-1+h

Cicleaza m=0,N-1

Scrie:

Stop

4. Sisteme de ecuatii diferentiale

4.1. Sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul intai. Ecuatii diferentiale de ordin superior

Fie sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul intai:

(45)

cu conditiile initiale Cauchy: (46)

Definitie: Functia f(x,y₁,y₂,,y_m) satisface conditia Lipschitz in variabilele y₁,y₂,,y_m pe multimea daca exista o constanta L>0 astfel incat:

(47)

pentru orice .

Obs.: Se demonstreaza ca daca functiile din sistemul de ecuatii diferentiale (45) sunt continue si satisfac conditia Lipschitz (47), atunci sistemul de ecuatii diferentiale (45), (46) are solutie si este unica.

Fie ecuatia diferentiala de ordinul 'm' de forma:

(48)

cu conditiile initiale: (49)

Pentru rezolvarea ecuatiei diferentiale de ordinul 'm', aceasta va fi transformata intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul intai echivalent.

Notam: (50)

si obtinem sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul intai echivalent:

(51)

cu conditiile initiale: (52)

Din relatiile (48)-(52) rezulta ca problema ecuatiei diferentiale de ordin superior se reduce la a rezolva tot un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul intai echivalent de forma (45),(46).

Pentru rezolvarea sistemului de ecuatii (45),(46) se vor aplica generalizari ale metodelor numerice folosite in cazul ecuatiilor diferentiale de ordinul intai (vezi capitolele 8.1 si 8.2).

Spre exemplificare vom prezenta generalizarea metodei Runge-Kutta IV de la ecuatii diferentiale de ordinul intai la sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul intai.

Fie o divizare echidistanta a intervalului a,b

(53)

Notam cu vectorul necunoscutelor, astfel incat sistemul de ecuatii (45),(46) poate fi adus la forma matriceala:

cu conditia initiala: (54)

unde:

Relatia de calcul a vectorului necunoscutelor in punctul divizarii x_i+1=x_i+h prin generalizarea metodei Runge-Kutta IV este:

(55)

unde:

Sub forma algebrica relatiile (55) devin:

(56)

unde:

Algoritm

Start

Introducere date:

Cicleaza i=1,N

Cicleaza i=0,N-1

Scrie:

Stop