Multimi convexe

Multimi convexe

Definitie : Se numeste multime convexa o multime M de puncte , acre are urmatoarea proprietate : daca P,Q sunt doua puncte distincte oarecare ale multimii M , atunci M contine toate punctele segmentului (PQ), adica : ( ) P,Q I M T (PQ) M.

Multimea vida si multimile formate dintr-un singur punct se considera multimi convexe deoarece pentru ele nu se pune nici o conditie.

Observatie : O multime formata din doua puncte distincte nu este convexa.

Aplicand definitia anterioara rezulta imediat ca urmatoarele multimi sunt convexe: spatiul, planul, dreptele, semiplanele inchise sau deschise, semidreptele inchise sau deschise, segmentele.

Din multimi convexe putem forma alte multimi cu ajutorul urmatoarei teoreme.

Teorema Intersectia a doua multimi convexe este tot o multime convexa.

Demonstratie Fie M₁ si M₂ doua multimi convexe si P,QI M₁ M₂ Atunci P,Q I M₁ si P,Q I M₂. Cum M₁ si M₂ sunt doua multimi convexe rezulta ca (PQ)IM.₁ si (PQ)IM.₂. Dar (PQ) M₁ M₂, deci M₁ M₂ este multime convexa.

Observatie : Teorema se poate generaliza pentru un numar oarecare de multimi convexe.

In baza acestei teoreme rezulta ca interiorul unui unghi si interiorul unui triunghi sunt multimi convexe.

O reuniune de multimi convexe poare sa nu fie o multime convexa , un exemplu fiind cel al triunghiului ABC care este reuniunea multimilor convexe [AB], [AC], [BC], dar nu este multime convexa ( in schimb interiorul sau este o multime convexa).

Definitie : Se numeste linie poligonala o multime de forma

L=[P₁P₂] [P₂P₃] [P₃P₄] [P_nP_n+1].

Punctele P₁ , P₂, _{. ,}P_n , P_n+1 se numesc varfurile liniei L , iar segmentele [P₁P₂], . , [P_kP_k+1], kIN , se zic vecine. ( fig .1)

Fig 1

Linia poligonala L se numeste inchisa daca P₁ =P_n+1 ( fig 1.(b) si (c)), si simplu inchisa daca in plus oricare doua laturi nevecine nu au nici un punct in comun si doua laturi vecine au suporturi diferite. O linie poligonala simplu inchisa se mai numeste si poligon. Linia poligonala din figura 1 punctul (b) nu este poligon deoarece un poligon nu se autointersecteaza. Un poligon cu trei laturi se numeste triunghi. Un poligon cu 4,5,6, . laturi se numeste patrulater, pentagon, hexagon, etc. Poligonul cu varfurile P₁ , P₂, _{. ,}P_n va fi notat pe scurt cu L= P₁P_{2 .} P_n. Segmentele [P_i ,P_k], i k, care nu sunt laturi se numesc diagonale.

Poligonul P₁P₂ . P_n se numeste poligon convex , daca pentru fiecare latura [P_k ,P_k+1], toate varfurile diferite de P_k si P_k+1 se gasesc de aceeasi parte a dreptei P_kP_{k+1 (} pentru k=n, P_n+1=P₁). (fig.1 (c)).

Un poligon convex P₁P₂ . P_n nu este o multime convexa , dar interiorul sau ( care se defineste precum urmeaza) este o multime convexa. Interiorul unui poligon convex este intersectia semiplanelor deschise limitate de suporturile laturilor poligonului si acre contin varfurile nesituate pe laturile respective.( fig 2). Daca notam cu d_k= P_kP_k+1 pentru k=1, . ,n-1 si d_n= P_nP₁ , atunci (P₁P₂ . P_n)= (d₁P_n (d₂P₁ (d_nP_n-1 . Reuniunea dintre un poligon convex P₁P₂ . P_n     si interiorul sau se numeste suprafata poligonala convexa , care se noteaza cu [P₁P₂ . P_n ]. Asadar [P₁P₂ . P_n ]= P₁P₂ . P_n (P₁P₂ . P_n) = L (L).

In cazul triunghiului ABC multimea [ABC] se numeste suprafata triunghiulara. Suprafetele poligonale convexe permit definirea unei notiuni mai generale.

Definitie : Se numeste suprafata poligonala o multime de puncte din plan , care este reuniunea unui numar finit de suprafete poligonale convexe, acestea avand doua cate doua interioarele disjuncte. Daca S este o suprafata poligonala si [L₁], [L₂], . , [L_k] sunt suprafetele poligonale convexe respective , adica S = [L₁] [L₂] [L_k], si (L_i ) (L_j) = pentru i j, atunci vom spune ca multimea constituie o descompunere a suprafetei poligonale S.

Din definitie rezulta ca orice suprafata poligonala se descompune in suprafete poligonale convexe.

Admitem, fara demonstratie, urmatoarea teorema de descompunere a unei suprafete poligonale.

Teorema : O suprafata poligonala convexa cu n laturi ( n >3) se poare descompune in

n- 2 suprafete triunghiulare.

In particular , suprafata poligonala [L₁]= [P₁P₂ . P_n ] se descompune in suprafetele triunghiulare [T₂], [T₃], . , [T_n-1] ( fig.3), unde am notat cu T_i triunghiurile D P₁P_iP_i+1, i = 1, . ,n-1. Este evident ca pentru o suprafata poligonala convexa exista mai multe descompuneri in suprafete triunghiulare.

Consecinta: Orice suprafata poligonala poate fi descompusa in suprafete triunghiulare.