![]() | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
Definitie : Functia
definita prin formula
cu
a,b,c numere reale si
se
numeste functie de gradul al doilea .
Forma
canonica a functiei f este : =
unde s-a notat cu
numit discriminantul ecuatiei atasata
,
numita ecuatie de gradul al doilea .
Forma
generala a radacinilor ecuatiei de gradul al doilea este .
Natura
radacinilor este data de discriminantul dupa cum urmeaza
:
cu
,
radacini reale distincte ;
cu
, radacini reale egale ;
,
ecuatia are radacini complexe conjugate .
Graficul functiei este o parabola si anume :
minimul functiei
pentru
parabola convexa ;
maximul functiei
pentru
parabola concava;
I
y
y V
C
a>0
x'
x x'
x
y' V y'
x
semnul
lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
II cu
coincide cu
y y
x' V x
a>0 a<0
C
x' x
V
y' y'
x -
semnul
lui a 0 semnul lui a
III < 0
nu
intersecteaza XX'
y y
x' x
a>0 a<0
C
x' y'
x y'
x
semnul lui a
Obs
Dreapta esta axa de simetrie pentru parabola
.
Tabelele de variatie indica intervalul pe care functia este strict crescatoare sau strict descrescatoare :
x
a>0
x
Ecuatia
de gradul al doilea cu radacinile cunoscute este data de formula
unde
si
.
Relatiile
lui Viette : Formule :
Semnul radacinilor de gradul al doilea se poate stabili in raport cu semnul lui P si S:
De exemplu : }tim cum P>0
radacinile au acelasi semn
cum S>0 radacinile sunt ambele pozitive
Trinomul descompunere
in factor de gradul I .
Exercitii rezolvate :
Se da ecuatia
: . Sa se determine valorile
parametrului real m astfel incat radacinile ecuatiei sa fie
reale si de acelasi semn .
Rezolvare : Deci
ce
admite solutiile
Sa se rezolve sistemul de inecuatii
:
Rezolvare : Se expliciteaza modulul dupa
sau cu tabelul de semn pentru expresia din modul :
x 1 3
+ + + 0 - - - 0 + + +
Discutie : I Cazul : sistemul devine
x -5
1
5
+ + + + + + 0 - - - - - - 0 + + + + + +
+ + - - - - - - - - - - - - 0 + + +
II Cazul :
sistemul devine :
Reunind obinem solutia :
3. Sa se
determine functia de gradul II f astfel ca graficul ei sa aiba varful
in V(1,2) si sa taie axa OY in B(0,2) .
Rezolvare
: deci sistemul liniar
ce
admite solutia unica
a = - 5 , b = 10 , c = - 3 . Rezulta
4. Se considera
functia de gradul al doilea unde
. Sa se determine valorile lui m
pentru care f(x)<1
Indicatii
: f(x)<1
5. Se da ecuatia : . a)Sa se arate ca radacinile
ecuatiei sunt reale oricare ar fi parametrul real m ; b) Sa se
determine parametrul real
astfel incat radacinile
ale ecuatiei sa verifice conditia
:
Rezolvare
: a) de
unde rezulta ca ecuatia are radacini reale .
b) avem
cum
;
conditia adica 5-m<0 deci
Exercitii propuse:
Se da ecuatia
a) Sa se rezolve ecuatia pentru m=1;
b) Sa se afle valorile lui m pentru care ecuatia are radacini reale .
Fie familia de functii de gradul al doilea . Sa se
determine astfel incat varful parabolelor asociate sa
se gaseasca pe
dreapta
Fie familia de functii de gradul al
doilea
a) sa se determine m astfel incat radacinile
ale ecuatiei
sa
verifice relatia
b) sa se determine m astfel incat ambele radacini sa fie mici decat 1.
Fie ecuatia : .Sa se precizeze valorile
parametrului real m pentru care ecuatia data admite radacini
reale distincte :
a) ; c) m=0 ;
b) ; d) m>0 .
Sa se determine valorile
parametrului astfel incat ecuatia :
sa
aiba ambele radacini in intervalul
.
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate