FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA

Definitie : Functia definita prin formula cu a,b,c numere reale si se numeste functie de gradul al doilea .

Forma canonica a functiei f este : = unde s-a notat cu numit discriminantul ecuatiei atasata , numita ecuatie de gradul al doilea .

Forma generala a radacinilor ecuatiei de gradul al doilea este .

Natura radacinilor este data de discriminantul dupa cum urmeaza :

cu , radacini reale distincte ;

cu , radacini reale egale ;

, ecuatia are radacini complexe conjugate .

Graficul functiei este o parabola si anume :

minimul functiei pentru parabola convexa ;

maximul functiei pentru parabola concava;

I y

y V

C

a>0

x' x x' x

y' V y'

x

semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

II cu coincide cu

y y

x' V x

a>0 a<0

C

x' x

V

y' y'

x -

semnul lui a 0 semnul lui a

III < 0 nu intersecteaza XX'

y y

x' x

a>0 a<0

C

x' y' x y'

x

semnul lui a

Obs Dreapta esta axa de simetrie pentru parabola .

Tabelele de variatie indica intervalul pe care functia este strict crescatoare sau strict descrescatoare :

x

a>0

x

Ecuatia de gradul al doilea cu radacinile cunoscute este data de formula unde si .

Relatiile lui Viette : Formule :

Semnul radacinilor de gradul al doilea se poate stabili in raport cu semnul lui P si S:

De exemplu : }tim cum P>0 radacinile au acelasi semn

cum S>0 radacinile sunt ambele pozitive

Trinomul descompunere in factor de gradul I .

Exercitii rezolvate :

Se da ecuatia : . Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat radacinile ecuatiei sa fie reale si de acelasi semn .

Rezolvare : Deci

ce admite solutiile

Sa se rezolve sistemul de inecuatii :

Rezolvare : Se expliciteaza modulul dupa

sau cu tabelul de semn pentru expresia din modul :

x 1 3

+ + + 0 - - - 0 + + +

Discutie : I Cazul : sistemul devine

x -5 1 5

+ + + + + + 0 - - - - - - 0 + + + + + +

+ + - - - - - - - - - - - - 0 + + +

II Cazul : sistemul devine :

Reunind obinem solutia :

3. Sa se determine functia de gradul II f astfel ca graficul ei sa aiba varful in V(1,2) si sa taie axa OY in B(0,2) .

Rezolvare : deci sistemul liniar ce admite solutia unica

a = - 5 , b = 10 , c = - 3 . Rezulta

4. Se considera functia de gradul al doilea unde . Sa se determine valorile lui m pentru care f(x)<1

Indicatii : f(x)<1

5. Se da ecuatia : . a)Sa se arate ca radacinile ecuatiei sunt reale oricare ar fi parametrul real m ; b) Sa se determine parametrul real astfel incat radacinile ale ecuatiei sa verifice conditia :

Rezolvare : a) de unde rezulta ca ecuatia are radacini reale .

b) avem cum ;

conditia adica 5-m<0 deci

Exercitii propuse:

Se da ecuatia

a)    Sa se rezolve ecuatia pentru m=1;

b)    Sa se afle valorile lui m pentru care ecuatia are radacini reale .

Fie familia de functii de gradul al doilea . Sa se

determine astfel incat varful parabolelor asociate sa se gaseasca pe

dreapta

Fie familia de functii de gradul al doilea

a)    sa se determine m astfel incat radacinile ale ecuatiei sa verifice relatia

b)    sa se determine m astfel incat ambele radacini sa fie mici decat 1.

Fie ecuatia : .Sa se precizeze valorile parametrului real m pentru care ecuatia data admite radacini reale distincte :

a)    ; c) m=0 ;

b)    ; d) m>0 .

Sa se determine valorile parametrului astfel incat ecuatia : sa aiba ambele radacini in intervalul .