Planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului

Planele bisectoare ale diedrelor tetraedrului

Definitie

Planul ce trece prin muchia unui diedru si il imparte in doua unghiuri diedre congruente se numeste plan bisector al acelui diedru.

Teorema 15

Locul geometric al punctelor din interiorul unui unghi diedru, egal departate de fetele acestuia este planul bisector al diedrului.

Demonstratie

Consideram unghiul diedru format din planele

α si β cu muchia d. Fie M un punct al

locului geometric adica MA

A Iα , MB β , B I β si (MA) ≡ (MB).

Construim MC d .Cu reciproca

teoremei celor trei perpendiculare

T m( (α, β)) = m( (ACD)). ∆ MAC ≡ ∆ MBC (I.C.)

Rezulta : . Prin urmare dreptele d si CM determina un plan γ , numit plan bisector.

Teorema 16

Planele bisectoare interioare ale diedrelor unui tetraedru sunt concurente.

Demonstratie :

Consideram planele bisectoare ale diedrelor cu muchiile [DA],[DB] care se intersecteaza dupa dreapta D_D ce trece prin punctul D .Punctele dreptei D_D vor fi egal departate de planele (ACD) si (ADB), respectiv egal departate de planele (BCD) si (ACD).

Atunci punctele dreptei D_D sunt egal departate de planele (BCD) si (ACD), adica D_D este in planul bisector al diedrului de muchie [DC]. Rezulta ca planele bisectoare ale triedrului de varf D, trec prin aceeasi dreapta D_D, care se numeste bisectoarea triedrului de varf D.

Deoarece D_D contine o semidreapta (de origine D) interioara triedrului D(ABC) va intersecta planul (ABC) intr-un punct I_D.

Daca se considera un al patrulea plan bisector, de exemplu al diedrului de muchie BC, acesta taie dreapta D_D intr-un punct I II_DD. Acest punct I este egal departat de planele (BDC) si (ABC) , adica (IA₁) ≡ (ID₁) ; (I apartine planului bisector de muchie BC), dar fiind pe dreapta D_D este egal departat de toate cele patru fete ale tetraedrului.(IA₁) ≡ (IB₁) ≡ (IC₁) ≡ (ID₁), atunci I apartine si planelor bisectoare ale celor doua diedre, deci cele sase plane bisectoare ale diedrelor tetraedrului sunt concurente.

Observatie Punctul I fiind egal departat de fetele tetraedrului , exista o sfera de centru I, tangenta celor patru fete, avand ca puncte de contact proiectiile lui I pe aceste plane, I fiind centru sferei inscrise in tetraedru.

Pentru teorema de mai sus se mai poate da urmatorul enunt echivalent: cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru sunt concurente.

Teorema 17 ( a planului bisector) :

Planul bisector al unui diedru al tetraedrului [ABCD] imparte muchia opusa intr-un raport egal cu raportul ariilor fetelor care formeaza acel diedru.

Demonstratie

Fie h distantele egale de la E la fetele (DAC) si (DAB).

T

Teorema 18 (Reciproca) :

Fie tetraedrul [ABCD] si E I BC. Daca , atunci (DAE) este planul bisector al diedrului de muchie AD.

Demonstratie

Presupunand prin absurd ca (DAE)

nu este un plan bisector, fie E' I(BC),

aflat in planul bisector al diedrului B(AD)C.

Conform teoremei planului bisector avem :

T E=E'.