Planele mediatoare ale muchiilor tetraedrului

Planele mediatoare ale muchiilor tetraedrului

Definitie:

Planul mediator al unui segment este planul perpendicular pe segment in mijlocul sau.

Teorema 13:

Locul geometric al punctelor din spatiu egal departate de capetele unui segment este planul mediator al acelui segment.

Demonstratie:

Intr-adevar, daca M este mijlocul lui (AB) si

X este un punct din acest plan (mediator), triunghiurile

[XAM] si [XBM] sunt congruente [L.U.L.]

Reciproc, fie X' un punct pentru care X'A=X'B si planul α perpendicular in M pe AB . Triunghiul [AX'B] este isoscel, deci X'M AB si astfel X'I

De retinut :

1. Orice doua drepte perpendiculare pe acelasi plan sunt paralele, deci coplanare.
2. Fiind date un punct si un plan, exista o singura dreapta perpendiculara pe planul dat si care trece prin punctul dat.

Teorema 14 :

Planele mediatoare ale muchiilor unui tetraedru sunt concurente.

Demonstratie :

Planele mediatoare ale muchiilor [BC], [CD], [DB]

se intersecteaza dupa o dreapta d perpendiculara

pe planul (BCD) in O_A centrul cercului

circumscris triunghiului [BCD]

(dreapta d este locul geometric al punctelor din

spatiu egal departate de varfurile unui triunghi).

Planul mediator al muchiei [AD] intalneste dreapta d

in punctul O. Cum O apartine celor patru plane mediatoare deducem:

(OA) ≡ (OB) ≡ (OC) ≡ (OD), rezulta ca O apartine si planelor mediatoare ale muchiilor [BA] si [CA].

Punctul O este centrul sferei circumscrise tetraedrului de raza R = OA.

Definitie

Dreapta perpendiculara pe o fata a unui tetraedru in centrul cercului circumscris acestei fete se numeste mediatoarea acelei fete.