Proprietatile dreptelor simplu si dublu particulare. Urmele dreptei. Pozitii relative a doua drepte.

Planul: definire si reprezentare in epura. Plane simplu si dublu particulare.

1. Proprietatile dreptelor simplu si dublu particulare

Asa cum s-a aratat anterior dreptele simplu particulare (orizontala, frontala si dreapta de profil) sunt paralele cu planele de proiectie [H], [V} si respectiv [W]. Paralelismul cu unul dintre planele de proiectie are urmatoarele doua consecinte, numite proprietati metrice ale dreptelor simplu particulare.

In figurile 1 si 2 sunt exemplificate aceste doua proprietati pentru segmentul de dreapta orizontala (MN).

a) Lungimea segmentului (mn) (proiectia orizontala) este egala cu lungimea segmentului (MN) din spatiu pentru ca: a) (Mm) [H} T (Mm) (mn) si b) (Nn) [H} T (Nn) (mn), rezultand ca patrulaterul MNnm este un dreptunghi, ale carui laturi sunt paralele si egale doua cate doua.

b) Unghiurile pe care le formeaza segmentul (MN) [H] cu planele [V] si [W] (notate cu a si respectiv b) se proiecteaza in adevarata marime pe planul [H] pentru ca laturile lor sunt paralele: m'n'││OX si MN ││mn.

Fig. 1 Fig. 2

Observatie importanta

Proprietatile metrice ale dreptelor simplu si dublu particulare fac posibila definirea lor prin intermediul coordonatelor unui punct si prin directia lor. Un segment de dreapta simplu particulara se va defini prin:

- coordonatele unei extremitati (de exemplu punctul A (50. 10, 0) in fig. 3);

- unghiul format intre segment si unul din planele de proiectie;

- lungimea segmentului (care suplineste coordonatele celeilalte extremitati). Acest mod de definire a unui segment de dreapta corespunde sistemului de coordonate polar (pentru reprezentarea in plan) si sistemului de coordonate sferic pentru reprezentarea spatiala.

Fig. 3

2. Urmele dreptei

O dreapta oarecare intersecteaza toate cele trei plane de proiectie. Urmele ei se definesc si se noteaza dupa cum urmeaza: a) urma orizontala b) urma verticala c) urma laterala .

Dreptele simplu particulare au doar doua urme (deoarece sunt paralele cu un plan de proiectie) iar dreptele dublu particulare au o singura urma (deoarece sunt paralele cu doua dintre planele de proiectie).

In figurile 1 si 2 sunt reprezentate urmele unei drepte de nivel iar in figurile 4 si 5 este determinata spatial si in epura urma unei drepte verticale.

Fig. 4 Fig. 5

Asa cum rezulta din definitia lor urmele unei drepte sunt puncte care apartin unui plan de proiectie si deci au una dintre coordonatele descriptive nula iar doua dintre proiectii sunt situate pe axele triedrului de proiectie. In figura 5 urma verticala V (v, v' ,v'') are proiectia v pe OX, proiectia v'' pe OZ iar v' apartine lui [V].

3. Pozitii relative a doua drepte

Doua drepte din spatiu se pot gasi in una dintre urmatoarele pozitii relative (una fata de cealalta):

a) dreptele nu au nici un punct comun si nici aceeasi directie, ele numindu-se in acest caz drepte disjuncte;

b) dreptele au un punct comun dar directii diferite, ele numindu-se drepte concurente;

c) dreptele au aceeasi directie dar nici un punct comun, ele numindu-se in acest caz drepte paralele.

Grafic, pozitiile relative a doua drepte din spatiu se pot recunoaste utilizand urmatoarele afirmatii:

1. Daca doua drepte din spatiu sunt concurente, atunci in epura punctele de intersectie a proiectiilor de acelasi nume se gasesc pe aceleasi linii de ordine.

2. Daca doua drepte din spatiu sunt paralele, atunci proiectiile lor de acelasi nume sunt paralele.

Doua drepte care nu sunt paralele si nici concurente nu pot fi decat disjuncte. Prin urmare se poate spune ca daca doua drepte din spatiu sunt disjuncte, atunci in epura punctele de concurenta aparenta a proiectiilor de acelasi nume nu se gasesc pe aceleasi linii de ordine.

In figura 6 se demonstreaza grafic faptul ca segmentele (AC) si (QP) sunt disjuncte. Nici unul dintre punctele de concurenta aparenta a proiectiilor orizontale, verticale si laterale nu se gaseste pe aceeasi linie de ordine cu un altul. Punctului de con-curenta aparenta a proiectiilor orizontale (a sa ) ii corespund doua puncte distincte (a si a ) pe proiectiile verticale

Fig. 6

In figura 7 segmentele (RS) si (12) se intersecteaza deoarece:

a) si

b) punctele b si b au aceeasi linie de ordine (x _b = x _b ) si

c) punctele b si b apartin aceleiasi linii de ordine (z _b =z _b

In figura 8 segmentele (12) si (34) sunt paralele deoarece proiectiile lor de acelasi nume sunt paralele sau confundate. Analizand coordonatele punctelor se observa ca departarea este aceeasi, aceasta insemnand ca cele doua segmente frontale apartin aceluiasi plan.

Recunoasterea pozitiilor relative ale segmentelor de dreapta este importanta deoarece construirea muchiilor obiectelor devine mai simpla daca, in loc de a utiliza coordonate se copie entitati deja existente. Paralelismul (intersectia) a doua drepte asigura definirea lor mai usoara. De exemplu epura prezentata in figura 8 este una dintre solutiile problemei formulata astfel:

Fie segmentul definit de punctele 1 (25, 10, 45) si 2 (5, 10, 20). Prin punctul 3 (35, 10, 35) sa se construiasca un segment (34) (12) si de aceeasi lungime cu acesta.

Din punctul de vedere al desenarii asistata de calculator problema precedenta se rezolva copiind segmentul definit de punctele 1 (25, 10, 45) si 2 (5, 10, 20) in punctul 3 (35, 10, 35) fiind posibile doua solutii: a) cea din figura 8 unde extremitatea 1 se plaseaza in punctul 3, b) extremitatea 2 se plaseaza in punctul 3.

Fig. 7 Fig. 8

4. Reprezentarea planului

Un plan poate fi determinat prin urmatoarele grupuri de entitati: a) trei puncte necoliniare; b) un punct si o dreapta; c) doua drepte concurente; d) doua drepte paralele. Analizand aceste posibilitati de definire reprezentate intuitiv in figura 9 a, b, c, d se observa ca definirea unui plan prin intermediul a trei puncte necoliniare este fundamentala.

a) b) c) d)

Fig. 9

In desenul tehnic planele se utilizeaza pentru sectionarea pieselor si a ansamblurilor mecanice.

In grafica asistata definirea unui plan intervine in modelarea tridimensionala (pentru orientarea in spatiu a unor entitati plane, pentru definirea bazelor unor corpuri si pentru sectionarea corpurilor).

Cea mai simpla modalitate de reprezentarea in epura a unui plan este reprezentarea cu ajutorul urmelor planului (figurile 10 si 11).

Prin urmare, un plan poate avea trei urme:

a) urma orizontala (notata P _h ): ;

b) urma verticala (notata P _v ): ;

c) urma laterala (notata P _w ): .

La randul lor aceste drepte, fiind drepte continute intr-un plan de proiectie au fiecare doar cate doua urme. Asfel:

- urma orizontala (P _h) este o dreapta continuta in [H] si care intersecteaza planele [V] si [W] in punctele P_X si P_Y ce constituie urmele verticala si respectiv laterala ale sale. Utilizand notatiile matematice scriem:

- urma verticala (P_v ) este o dreapta continuta in [V] si care intersecteaza planele [H] si [W] in punctele P_X si P_Z ce constituie urmele orizontala si respectiv laterala ale sale. Utilizand notatiile matematice scriem:

- urma laterala (P_w ) este o dreapta continuta in [W] si care intersecteaza planele [V] si [H] in punctele P_Z si P_Y ce constituie urmele verticala si respectiv orizontala ale sale. Utilizand notatiile matematice scriem:

Se observa ca punctele P_X, P_Y si P_Z sunt punctele in care axele OX, OY si respectiv OZ intersecteaza planul.

In figurile 10 si 11 este reprezentat spatial si in epura (prin urmele sale) planul [P] definit de punctele:

P_X (35, 0, 0), P_Y (0, 40, 0) si P_Z (0, 0, 25).

Fig. 10 Fig. 11

Observatie   

Un plan este suficient definit prin doua dintre urmele sale. Aceasta modalitate de definire este echivalenta cu definirea prin doua drepte concurente care, la randul sau, se reduce la definirea prin trei puncte necoliniare. Aceste puncte sunt P_X, P_Y si P_Z .

5. Plane simplu si dublu particulare: definire si reprezentare

Fata de cele trei plane de proiectie un plan poate avea una din pozitiile descrise in continuare.

1) Planul este astfel orientat incat intersecteaza toate planele de proiectie si deci si axele OX, OY, OZ. Un astfel de plan este numit plan oarecare si poate fi definit prin punctele P_{X ,} P _Y si P _Z, asa cum se arata in figurile 10 si 11.

2) Planul este perpendicular pe unul din planele de proiectie (sau spunem ca este paralel cu acea axa a sistemului de proiectie care este normala la planul de proiectie respectiv). Un plan astfel orientat se numeste plan simplu particular.

3) Planul este perpendicular pe doua dintre planele de proiectie si deci este paralel cu doua din axele sistemului de proiectie. Un plan astfel orientat se numeste plan dublu particular.

a) Plane simplu particulare

Din categoria planelor simplu particulare fac parte:

- planul de capat: planul perpendicular pe planul vertical,    [P] [V] T [P] (OY) (deci paralel cu axa OY);

- planul vertical: planul perpendicular pe planul orizontal,    [Q] [H] T [Q] (OZ) (deci paralel cu axa OZ);

- planul fronto-orizontal: planul perpendicular pe planul lateral, [R] [W] T [R] (OX) (deci paralel cu axa OX).

In figurile 12 si 13 este reprezentat spatial si in epura planul de capat {P]. El este definit prin intermediul a doua drepte concurente care sunt: P_v urma verticala si P _h urma orizontala. La randul lor (P_v ) si (P_h) sunt definite astfel:

- urma verticala este definita prin punctele P_Z si P_X adica: (P _v ) P_Z P_X unde P_Z (0, 0, 40) si P_X (40, 0, 0);

- urma orizontala intersecteaza (Pv ) in P _X     si este perpendiculara pe [V], adica: (P _h )∩ (P_v ) T P _X si (P _h) [V].

Deoarece planul contine (P_h) - o dreapta perpendiculara pe [V] - este si el perpendicular pe [V].

Reprezentarea in epura a urmelor planului este o consecinta a modului in care au fost ele definite si anume: urma verticala (P_v) este o dreapta cuprinsa in planul [V] iar urma orizontala (P_h) este o dreapta cuprinsa in [H] si perpendiculara pe (OX). Perpendicularitatea (P _h) (OX) este fundamentata de urmatoarea teorema:

Urma laterala (P_W) se construieste perpendiculara pe (OZ) in (P_Z) deoarece ea apartine planului [P] [V] si deci este perpendiculara pe orice dreapta din [V], inclusiv pe (OZ).

Fig. 12 Fig. 13

Din cele prezentate se poate formula urmatoarea proprietate a urmelor planelor simplu particulare:

In figurile 14 si 15 este reprezentat spatial si in epura planul vertical [Q] definit de punctele Q _X (40,0,0), Q _Y (0, 40, 0) si (Q _V ) [H].

Fig. 14 Fig. 15

b) Plane dublu particulare

Planele dublu particulare sunt plane perpendiculare pe doua dintre planele de proiectie (si prin urmare paralele cu cel de-al treilea plan de proiectie pentru ca sunt paralele cu doua drepte concurente din acesta). Din aceasta categorie fac parte: planul paralel cu {H] - numit plan de nivel: [N] [H] (figurile 16 si 17);

planul paralel cu [V] - numit plan de front: [F] [V] (figurile 18 si 19);

planul paralel cu [W] - numit plan de profil: [P] [W].

Un plan dublu particular are doar doua urme (deoarece nu intersecteaza cel de-al treilea plan de proiectie).

Fig 16 Fig. 17

Fig. 18 Fig. 19

In epura se pot construi urmele unui plan dublu particular daca se cunoaste un punct prin care trece acesta. De exemplu in figura 19 se pot construi urmele (F_h) si (F_W) daca se cunosc coordonatele punctului M (10,30,30). (F_h) trece prin proiectia orizontala m si este perpendiculara pe (OY) iar (F_W) trece prin proiectia laterala m'' si este perpendiculara pe (Oy').

BIBLIOGRAFIE

1. VRACA Ileana DESEN INDUSTRIAL Editura Tehnica Bucuresti 1984 (Cap. 7 Reprezentarea, sectionarea si intersectarea corpurilor geometrice uzuale pag. 70 - 75)

2. VASILESCU Elisabeta si colectiv DESEN TEHNIC INDUSTRIAL (Elemente de proiectare) Editura Tehnica 1994 Cap. 1 Elemente grafice de baza ale proiectarii ingineresti pag. 8, 10, 12)