Volumul unui tetraedru

Volumul unui tetraedru

Fie punctele A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_C), C(x_C,y_C,z_C), D(x_D,y_D,z_D), necoplanare , raportate la un sistem cartezian Oxyz. Ne punem problema calcularii volumului tetraedrului care are ca varfuri punctele A,B,C,D. Acesta este dat de formula , in care h este distanta de la varful D la planul (ABC).

Analog ecuatiei unei drepte , ecuatia planului (ABC) fiind , o scriem sub forma ax + by + gz + d = 0, unde :

,,,.

Cum , iar conform rezultatului dat in observatia anterioara,

aria triunghiului ABC este , rezulta ca volumul cautat este

. Dar suma din membrul drept fiind

,

se observa ca volumul tetraedrului [ABCD] este .

Calculul ariei unui triunghi si al volumului unui tetraedru printr-o metoda intuitiva.

Evident ca unui copil din scoala gimnaziala ii va fi destul de greu sa inteleaga in totalitate modalitatea de calcul a ariei unui triunghi sau a volumului unui tetraedru prin metodele prezentate anterior( cu ajutorul functiilor sau prin metoda analitica). De aceea ,desi nu am decat un an experienta in predarea acestor notiuni la clasele V-VIII , mi-am propus sa arat copiilor cum se poate calcula aria unui triunghi si volumul unui tetraedru prin metode intuitive.

Pentru a calcula aria unui triunghi as calcula intai aria patratului sau a dreptunghiului as adopta urmatoarea metoda. Stiind ca aria reprezinta de fapt suprafata , pot calcula aria unui dreptunghi spre exemplu prin urmatoarea metoda.

Voi acoperi suprafata dreptunghiului ABCD din fig. a     cu segmente congruente de lungime egala cu lungimea segmentului AB, dispuse unul langa altul astfel incat intre ele sa nu existe nici un fel de spatiu. Numarul de segmente necesar acoperiri intregii suprafete va fi egal cu numarul de puncte situate pe latura BC a dreptunghiului. Putem considera ca lungimea unui segment este data de numarul de puncte din care este format segmentul( precum un interval este format din toate numerele reale cuprinse intre capetele intervalului). Cum toate aceste puncte "insumate" ne dau lungimea segmentului BC rezulta ca aria dreptunghiului va fi egala cu " suma" tuturor punctelor situate in suprafata dreptunghiului adica lungimea lui AB inmultita cu lungimea lui BC. Mai exact, pentru ca scoala in care predau este in mediul rural , m-am gandit ca pentru ei este usor de inteles cum se poate calcula suprafata unui gard format din nuiele( echivalentul segmentelor) puse una langa astfel incat sa nu existe spatiu dintre ele . Pentru aceasta voi calcula numarul nuielelor pe care il voi inmulti cu numarul care reprezinta lungimea gardului . In felul acesta rezulta ca aria unui dreptunghi va fi egala cu produsul dintre lungimea gardului (egala cu numarul de nuiele) si latimea gardului ( egala cu lungimea unei nuiele).

Dupa ce s-a calculat aria patratului sau a dreptunghiului le voi arata copiilor cum se calculeaza aria triunghiului dreptunghic ( prin impartirea dreptunghiului in doua triunghiuri dreptunghice disjuncte si identice (fig. b) si apoi la sfarsit cum se poate calcula aria unui triunghi oarecare(prin impartirea unui triunghi oarecare in doua triunghiuri dreptunghice (fig. c)).

Pentru a calcula volumul unui tetraedru as calcula intai volumul unei prisme triunghiulare precum cea din fig. d si pentru aceasta voi adopta o metoda asemanatoare celei de mai sus numai ca voi inlocui segmentele cu plane paralele cu baza. Stiind ca volumul reprezinta spatiul pe care il ocupa un corp , pot calcula volumul unei prisme triunghiulare prin urmatoarea metoda. Voi acoperi spatiul ocupat de corp cu plane paralele cu bazele asemenea filelor dintr-o carte, apoi printr-o analogie ca aceea a calcului ariei dreptunghiului se deduce ca aria prismei este egala cu produsul dintre aria bazei si inaltimea prismei.

Dupa ce s-a calculat unei prisme triunghiulare le voi arata copiilor cum se calculeaza volumul unui tetraedru ( prin impartirea prisme triunghiulare in trei tetraedre disjuncte si identice( fig.e) .