Filtre obtinute prin transformari de frecventa

Filtre obtinute prin transformari de frecventa

In paragrafele anterioare s-au analizat exclusiv filtre sau celule de filtrare de tip " trece jos " . In sinteza circuitelor se demonstreaza ca daca Z(s) si F(s) sunt reactante, atunci si Z[F(s)] este o reactanta.

Aceasta teorema permite obtinerea altor tipuri de filtre plecand de la F.T.J. astfel:

- se alege o functie F(s) tip reactanta care transforma axa wa F.T.J. in axa w corespunzatoare altor tipuri de filtre (F.T.S., F.T.B., F.O.B.);

- impedanta Z(s) a F.T.J. se transforma in impedanta Z[F(s)] a tipului de filtru ales;

- schema si gabaritul filtrului transformat se obtin direct din cele ale F.T.J.

Substituirea variabilei s normate a F.T.J. cu functia F(s) de tip reactiv realizeaza o transformare de frecventa si de reactanta in acelasi timp. Trecerea de la F.T.J. la F.T.S. poate fi obtinuta daca se utilizeaza transformarea s_F.T.J.=F(s_F.T.J.) data de relatia:

F(s)=; s_F.T.J.= (1.51)

unde s_F.T.J. si s_F.T.S. sunt frecventele complexe normate corespunzatoare celor doua filtre.

La frecventele fizice s=jw si explicitand frecventa normata a F.T.S., (1.51) devine:

w_F.T.S.=- (1.52)

Relatia de mai sus transforma axa frecventelor fizice F.T.J. in axa frecventelor fizice F.T.S. asa cum se observa in Fig. 1.15a (cu linie ingrosata s-au reprezentat benzile de trecere).

Pentru simplificare, in figura s-a redat grafic doar corespondenta dintre semiaxa negativa F.T.J. si semiaxa pozitiva F.T.S.

Schimbarea de variabila (1.51) modifica reactantele F.T.J. Astfel, de exemplu, inductanta normata din schema F.T.J. devine capacitiva in schema F.T.S.:

Ze = s_F.T.J. * = ; C_F.T.S. =

Transformarile de reactanta la trecerea F.T.J.F.T.S. sunt redate in Fig.1.15 b:

Fig.1.15

Deoarece functia de atenuare (1.30) este para de w rezulta ca fiind dat gabaritul unui F.T.S. se poate obtine gabaritul F.T.J. de referinta, ambele reprezentate pe intreaga axa a frecventelor. In Fig.1.16 este aratata corespondenta gabaritelor respective:

Fig.1.16

Trecerea de la F.T.J. la F.T.B. poate fi obtinuta daca se foloseste transformarea s_F.T.J.=F(s_F.T.B) data de relatia:

F(s) = ; s_F.T.J. = (1.53)

unde d este o constanta reala si pozitiva.

Corespondenta intre axa frecventelor fizice w_F.T.J. si axa w_F.T.B. se obtine din (1.53) pentru s=jw

w_F.T.J. =     (1.54)

Daca in (1.54) se inlocuiesc frecventele de taiere normate w_F.T.S. = ale F.T.J se obtine ecuatia:

w     (1.55)

unde pentru simplificare s-a suprimat indicele inferior, iar w apartine axei F.T.B.

Solutiile ecuatiei (1.55) reprezinta frecventele de taiere normate ale F.T.B.:

; (1.56)

Transformarea de frecventa (1.54) nu este biunivoca deoarece datorita termenului la puterea a doua pe care il contine, unei frecvente F.T.J. ii corespund doua frecvente F.T.B. Intr-adevar celor doua frecvente de taiere w_F.T.J. = ale F.T.J. le corespund cele patru frecvente de taiere (1.56) dispuse simetric fata de origine ale F.T.B. De asemenea, daca in (1.54) se inlocuieste w_F.T.J. = 0 rezulta originea axei w_F.T.J. devine w_F.T.B. = . In Fig.1.17 a este reprezentata transformarea de frecventa F.T.J. F.T.B unde pentru simplificare s-a redat doar corespondenta dintre axa F.T.J. si semiaxa pozitiva F.T.B. Din (1.56) rezulta ca diferenta dintre frecventele de taiere normate ale F.T.B. este:

wt₂-wt₁=d (1.57)

deci parametrul d din transformarea (1.53) reprezinta banda de trecere normata a F.T.B. Asa cum se poate4 observa si din Fig. 1.17 a benzile de trecere ale F.T.B. sunt simetrice fata de frecventa w_F.T.B. = . Aceasta rezulta din faptul ca (1.53) nu se modifica prin inlocuirea lui s cu 1/s. Rezulta ca doua frecvente complexe ale F.T.B. al caror produs este unitar, provin din aceeasi frecventa a F.T.J. De exemplu frecventele de taiere ale F.T.B.:

(-wt₁)*(wt₂)

provin din frecventa pozitiva de taiere w_F.T.J. =1 a F.T.J. Rezulta deci ca pentru F.T.B. frecventa de normare w depinde de frecventele sale de taiere nenormate :

w wt₁*wt₂ /nenormate.

Schimbarea de variabila (1.53) modifica reactantele F.T.J. De exemplu inductanta normata a unui F.T.J. se transforma intr-un circuit LC serie in schema F.T.B. Intr-adevar impedanta echivalenta a unui uniport LC serie este:

s_L+

si folosind relatia (1.53) rezulta:

Ze=s_F.T.J.* ; ; c_F.T.B.=

Transformarile de reactanta la trecerea F.T.J.F.T.B. sunt redate in Fig. 1.17 b.

Fig.1.17

Corespondenta intre F.T.J. si F.T.S. ilustrata in Fig. 1.15 a ne sugereaza faptul ca acestea sunt complementare. Deoarece F.O.B. este si el complementar cu F.T.B. rezulta ca F.O.B. poate fi obtinut din F.T.S. cu o relatie de tipul (1.53), astfel:

F(s) = ; s_F.T.S. = (1.58)

Corespondenta axelor frecventelor fizice pentru F.T.S. si F.O.B. precum si transformarile de reactanta corespunzatoare trecerii F.T.S.F.O.B. sunt redate in Fig. 1.18.

Fig.1.18

Expresiile frecventelor de taiere (1.56) si relatiile stabilite la F.T.B. raman valabile cu specificatia ca pentru F.O.B. parametrul d specificat de (1.57) reprezinta banda de blocare normata.

Prin urmare, calculul F.T.S., F.T.B. si F.O.B. rezultate prin transformari de frecventa cuprinde ca prima etapa obtinerea F.T.J. de referinta. Acestea se proiecteaza conform metodelor ilustrate in paragraful anterior. In continuare schema normata a F.T.J. se transforma in schema normata a filtrului dorit folosind transformarile de reactanta corespunzatoare. In final prin denormare se obtin valorile reale ale elementelor de circuit corespunzatoare filtrului dorit.