MATEMATICA DE GIMNAZIU DINCOLO DE MANUAL

Sesiunea de comunicari stiintifice

Campulung Muscel - 23 mai 2009

MATEMATICA DE GIMNAZIU DINCOLO DE MANUAL

,,Cunoasterea incepe cu probleme si sfarseste ( in masura in care ea se sfarseste vreodata) cu probleme" K .R . Popper

Anii postdecembristi au adus multe schimbari in viata sociala, ca urmare si in invatamantul romanesc. S-au modificat programele scolare, s-au introdus manualele alternative, s-au tiparit mii de feluri de culegeri , toate pentru a sprijini elevul in pregatirea sa scolara, pentru a-i usura studiul individual si a-i crea toate facilitatile in obtinerea de informatii. Matematica este un obiect de studiu greu , daca elevul doreste sa stie cat mai mult si doreste sa rezolve o varietate cat mai mare de probleme. Acest lucru este posibil insa daca bagajul sau de cunostinte teoretice este cat mai larg , copletat de munca individuala asidua, perseverenta, dorinta de a reusi si nu in ultimul rand de dragostea fata de matematica - regina stiintelor exacte. Depinde insa si de abilitatea cu care profesorul de matematica stie sa atraga si sa antreneze elevii dotati in rezolvarea de probleme pentru a putea aborda din mai multe directii o problema si a-i gasi mai multe solutii .

Teorema lui Pitagora generalizata, torema lui Stewart, teorema medianei, patrulaterele inscriptibile, teoremele lui Ptolemeu si Euler, dreapta lui Simpson, cercul lui Euler, teorema sinusurilor sunt cateva din notiunile de geometrie plana ce nu trebuie sa lipseasca din cunostintele elevilor de gimnaziu capabili si dornici de performanta. Aproape toate acestea apareau candva in manualul de geometrie de clasa a-VII-a , fie ca probleme rezolvate, fie ca probleme propuse spre rezolvare sau ca materie obligatorie in programa scolara.

Voi prezenta in continuare cateva probleme ce se pot rezolva cu sau fara patrulatere inscriptibile, aplicatii ale geometriei in trigonometrie si algebra.

Problema1. In ABC unghiul A are masura x (x90⁰), iar lungimea laturii BC este a. Sa se determine raza cercului circumscris triunghiului.

Fie O centrul cercului circumscris ABC si R lungimea razei acestuia.

Consideram cazul cand. BOC este isoscel, OB = OC = R,

iar m.

Solutia 1: Construim inaltimea OO`, O`BC. Avem O`C = O`B = si

m. Din O`OC dreptunghic obtinem

Solutia 2: Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in si obtinem

Solutia 3: In avem .Construim inaltimea BB`, B`OC

Din B`BC dreptunghic in B` obtinem , iar din dreptunghic in B` rezulta

Solutia 4: Observand ca in solutiile anterioare expresiile gasite pentru R nu

depind de lungimile laturilor AB si AC , se poate gasi o alta exprimare a

lungimii lui R particularizand ABC, considerandu-l isoscel cu AB = AC.

Inaltimea din A intersecteaza BC in M si cercul circumscris in A`.

Avem In ABM dreptunghic in M

InABA` dreptunghic in B

Din relatiile (1), (2), (3) si (4) determinate anterior in cele patru solutii de rezolvare putem determina cateva identitati trigonometrice si anume:

- din relatiile (1) si (2)

- din relatiile (1) si (3) (6)

- din relatiile (1) si (4)

Egalitatea (7) ce se poate obtine din cea anterioara, inlocuind x cu

Cazul se trateaza similar tinand cont de faptul ca

.

Obtinem deci (8).

De observat ca pentru orice unghi cu masura x cuprinsa intre 0⁰ si 180⁰, din relatiile (1) si (8) obtinem . Ca urmare relatiile(5), (6) si (7) sunt valabile

Daca intr-un notam , din relatia (1) avem , adica teorema sinusurilor.

Problema 2 In interiorul unui unghi de 60⁰ se considera un punct M, ale carui distante la laturile unghiului sunt respectiv 2 cm si 11 cm. Sa se afle distanta de la

punctul M la varful unghiului

Solutia 1: Fie P si Q proiectiile punctului M pe laturile Ox respectiv

Oy ale unghiului xOy de 60⁰ si . In dreptunghic

avem , deci AM = 2MP = 22 cm. Rezulta ca AQ = 24 cm

Din dreptunghic in Q avem

OQ = AQ·tg30⁰ =cm, iar din teorema lui Pitagora aplicata in rezulta OM = 14 cm.

Solutia 2 Fie P si Q proiectiile punctului M pe laturile Ox respectiv Oy ale

unghiului xOy de 60⁰ . Patrulaterul MQOP este inscriptibil .

Cercul circumscris are diametrul OM. Fie D proiectia punctului Q pe

dreapta MP. Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in si

obtinem , unde MD = QM·cos60⁰ = 1cm

De unde cm. In , conform relatiei (1)

cm.

Problema 3. In cu, fie punctul M mijlocul laturii BC si B`, C` picioarele inaltimilor din B, respectiv C.

a) Sa se arate ca este echilateral;

b) Daca AC = b, iar B este variabil, sa se determine minimul lungimii laturii .

Solutia 1:

a) MB` mediana in dreptunghic in B`. Analog in

avem mediana , de unde C`M = B`Misoscel.

Inisoscel

Inisoscel avem

Se obtine astfel ,

deci este echilateral.

b) Deoarece , lungimea laturii MB` este minima atunci cand lungimea laturii BC este minima. Cum AC = b si deci fixe, atunci si punctul C` va fi fixat deoarece , iar punctul este mobil pe dreapta AC`. Lungimea lui BC este minima cand se confunda cu perpendiculara CC`. Minimul cerut .

Solutia 2:

a)Patrulaterul BCB`C` este inscriptibil deoarece ,

cercul circumscris avand diametrul BC si MB` = MC` == R.

Conform teoremei referitoare la maasura unghiului cu varful in exteriorul cercului,

Atunci si este echilateral.

Problema 4. Fie AB un diametru fix al unui cerc de centru O si raza R, iar M un punct arbitrar pe cerc. Tangenta in M la cerc taie tangentele in A si B , respectiv in P si Q.

a) Sa se arate ca este dreptunghic in O si

b) Daca sa se determine aria trapezului ABQP in functie de R.

c) Determinati aria trapezului ABQP in cazul general.

Solutie:

a)Cum tangentele duse din acelasi punct la cerc au aceeasi lungime si PM = PA

De asemenea si . Vom avea

este dreptunghic

Aplicand teorema inaltimii in acest triunghi obtinem

b) Cand si,

,si aria trapezului este    

c) Notam . Din congruentele sirezulta ca

.

Cum si =

Amplificand cu 2, folosind relatia (7) din problema 1 si formula trigonometrica fundamentala obtinem .

Fiindca am vazut cateva aplicatii ale geometrieiin trigonometrie prin deducerea formulelor de la problema 1, sa nu uitam nici frumusetea problemelor de algebra.

In acest context, in trapezul ABPQ construim OS || AP, SPQ si MN || QB, NAB.

Notam AP = x si BQ = y.

Observam ca OS este linie mijocie in trapezul ABQP si conform teoremei

liniei mijlocii in trapez,

adica media aritmetica a numerelor x si y.

Din punctul a) al problemei avem

, adica media geometrica a numerelor x si y.

Cum ca unghiuri alterne interne adica media armonica a numerelor x si y.

Comparand lungimile laturilor in triunghiurile dreptunghice SOM siMON vom avea

BQ < MN < OM < OS < AP , cu mentiunea ca egalitatea are loc daca si numai daca x = y ceea ce inseamna ca ABQP este dreptunghi.

Orice iubitor al matematicii nu trebuie sa uite niciodata faptul ca ramurile ei se intrepatrund permanent, avand aceeasi tulpina , un copac urias ale carui radacini isi trag seva din miraculoasa minte umana.

Bibliografie:

Culegere de matematica- C. Cosnita, F. Turtoiu - Ed. Tehnica Bucuresti 1971

Revista elevilor din Timisoara - 1982, 1984