Fenomene ondulatorii si propagarea undelor

FENOMENE ONDULATORII

1. UNDE: GENERALITATI

In general putem considera ca o unda reprezinta o perturbatie care se propaga in spatiu, din aproape in aproape prin intermediul unui camp cum ar fi: campul electromagnetic, campul fortelor elastice, campul determinat de fortele de presiune dintr-un gaz etc. Ca exemplu, daca o particula a unui mediu elastic este scoasa din pozitia de echilibru, printr-un mijloc oarecare, atunci ea determina la randul sau parasirea pozitiei de echilibru si a punctelor vecine. Acest lucru se datoreaza fortelor elastice prin care sunt legate intre ele particulele mediului respectiv. In acest fel, o perturbatiei provocata intr-un punct al unui mediu elastic se propaga in intreg domeniul ocupat de acest mediu.

Dar, perturbatia care se propaga in spatiu este, in general, functie de locul din spatiu si de timp si notand prin y marimea perturbata, atunci:

(1)

numita functie de unda. Se observa ca y poate fi atat o marime vectoriala ca: deplasarea mecanica, intensitatea campului electric sau magnetic , cat si o marime scalara ca: presiunea unui gaz, diferenta de potential etc.

Multimea punctelor din spatiu in care perturbatia, adica functia de unda y are la un moment dat t₀ valoarea constanta a:

formeaza o suprafata, numita suprafata de unda.

2. PROPAGAREA UNDELOR

Sa consideram o perturbatie descrisa prin functia y ce se propaga intr-o singura directie si anume, de-a lungul axei Ox. In acest caz:

In plus, admitem ca aceasta perturbatie se propaga cu o viteza constanta v, independenta de legea de variatie in timp a functiei y si neglijam, de asemenea, amortizarea perturbatiei in timpul propagarii. In acest fel, se poate reprezenta grafic perturbatia y in functie de x la momentele t = 0 si t = t (fig.1.). La momentul t = 0, pentru punctul P₁ se poate scrie:

unde f este o functie data care defineste forma perturbatiei. Deoarece perturbatia se deplaseaza cu viteza v fara sa se amortizeze, in punctul P₂ de

coordonata x₂ = x₁ + vt, functia y trebuie sa aiba aceeasi valoare la momentul t = t, adica:

Sau, in general, conform relatiei (5) rezulta ca intr-un punct P oarecare, de coordonata x, functia de unda y va avea la momentul t urmatoarea forma:

Aceasta relatie arata ca o perturbatie care se propaga in directia pozitiva a axei Ox cu viteza v₁ fara sa sufere amortizare, este descrisa printr-o functie de unda care depinde numai de marimea (x - vt).

Ecuatia (6) poate fi scrisa si sub forma:

datorita faptului ca viteza v este constanta.

Din relatia (6.) rezulta ca un observator determina la un moment t aceeasi valoare a perturbatiei y, pe care o determina un alt observator la momentul t = 0, daca intre acestia exista distanta vt. La fel, din (7.) rezulta ca un observator va determina intr-un punct de coordonata x o valoare a functiei y egala cu cea determinata de un alt observator la momentul t = 0, cu o intarziere egala cu .

Marimea j=x-vt se numeste faza a undei considerate. Cum suprafata de unda care definita prin conditia j=a=constant, rezulta ca aceasta suprafata este determinata de relatia:

Prin definitie, viteza de propagare a unui punct x de faza constanta este denumita viteza de faza. Derivand (8.) in raport cu timpul, obtinem:

relatie din care rezulta ca viteza de faza, in acest caz, este tocmai viteza v de propagare a undei de-a lungul directiei Ox, adica:

In mod asemanator se arata ca perturbatia care se propaga in directia negativa a lui Ox este descrisa de o ecuatie de forma:

Un (caz) tip de perturbatii importante din punct de vedere fizic este cel al perturbatiilor periodice, in care functia de unda y (x,t) are proprietatea:

Dar, o unda periodica in timp este periodica si in spatiu, adica la un moment dat (t = ct), functia y ia aceeasi valoare cand x creste, sau se micsoreaza cu cantitatile vT, 2vT, ..3vT,..nvT

Marimea l = vT, se numeste lungime de unda si reprezinta distanta dintre doua puncte succesive pentru care functia y are aceeasi valoare.

In cazul undelor de suprafata, functia de unda are forma:

De exemplu, astfel de unde pot fi generate pe suprafata apei cu un vi-brator rectiliniu de lungime infinita

In cazul propagarii intr-o singura directie, variabilei x care intervine in functia de unda. Cum , unde este versorul normalei la suprafata de unda, in acest caz functia de unda are forma:

In cazul unui vibrator punctual si lichid omogen, suprafetele de unda sunt cercuri, undele se numesc circulare, iar functia de unda are forma:

Pentru undele circulare, cel mai des intalnite in practica, functia de unda are urmatoarea forma:

In cazul undelor sferice, functia de unda depinde de toate variabilele spatiale, adica:

Daca suprafetele de unda sunt plane, de exemplu generate de un vibrator plan si infinit, generalizand relatia (15) rezulta urmatoarea forma a functiei (18).

Daca suprafetele de unda sunt sferice, undele corespunzatoare se numesc unde sferice, cu urmatoarea forma a functiei de unda:

In functie de forma suprafetei de unda distingem unde elipsoidale, cilindrice etc.

3. ECUATIA UNDELOR

3.1. ECUATIA UNDEI PLANE

Sa studiem cazul unei unde care se propaga intr-o singura directie, iar functia de unda se exprima prin functiile trigonometrice sinus si cosinus.

Sa consideram functia de unda sinusoidala de forma:

unde

este pulsatia undei, T perioada, iar n frecventa undei. Deci, functia de unda poate fi scrisa sub forma:

in care l = vT este lungimea de unda, iar ecuatia (23.) este cunoscuta sub denumirea ecuatiei undei plane, si care mai poate fi scrisa sub forma:

unde marimea se numeste numar de unda. In ceea ce priveste marimea A ea reprezinta valoarea maxima a functiei si reprezinta amplitudinea undei.

Deci, o unda sinusoidala se caracterizeaza prin amplitudinea A, perioada T, lungimea de unda l, sau echivalent, viteza de propagare v. Marimea:

se numeste faza undei plane considerate.

Multimea tuturor punctelor din spatiu care au la un moment dat aceeasi faza, adica oscileaza in faza, formeaza suprafata de unda. In cazul ecuatiei (25), suprafetele de unda sunt plane perpendiculare pe directia de miscare Ox, fapt ce justifica, dealtfel, denumirea de unda plana. Cat priveste viteza de propagare a suprafetei de unda ea este egala cu viteza v de propagare a undei, de aceea v se mai numeste viteza de faza.

Doua puncte de pe directia de deplasare, de coordonate x₁ si x₂ sunt in concordanta de faza, sau sinfaza, daca fazele undei in aceste puncte difera prin 2Kp, K fiind un numar intreg. In acest caz rezulta:

sau

Cele doua puncte se numesc in opozitie de faza, sau contrafaza, daca fazele in aceste puncte difera prin adica:

sau

Pentru functia de unda (24) se poate folosi si exprimarea complexa:

unde reamintim are semnificatie fizica partea imaginara in cazul exprimarii functiei y prin sinus, iar in cazul exprimarii functiei y prin cosinus partea reala, a expresiei (28).

3.2. ECUATIA DIFERENTIALA A UNDELOR

Din cele discutate pana acum rezulta ca in cazul propagarii undei intr-o singura directie functia de unda are forma:

Sa calculam derivatele functiei y in raport cu variabilele x, t:

Sa impartim relatiile (30) si (31) tinand cont ca numarul de unda K este , iar w pulsatia undei este , precum si de relatia l = vT.

de unde rezulta:

Aceasta ecuatie poarta numele de ecuatia diferentiala a undei. Din teoria ecuatiilor diferentiale rezulta ca solutia cea mai generala a unei asemenea ecuatii are forma:

si se exprima ca superpozitia a doua unde care se propaga in directii opuse.

Generalizand ecuatia (32) pentru cazul propagarii unei unde intr-un mediu omogen izotrop nedispersiv si neabsorbant se obtine ecuatia:

sau

care reprezinta ecuatia diferentiala generala a unei unde.

Considerand operatorul lui d'Alembert:

P

atunci ecuatia diferentiala a unei unde se poate exprima sub forma:

Py

Ecuatia (35) admite, in particular, solutii sinusoidale de forma:

in care iar este versorul normalei la suprafata de unda. In exprimarea complexa, aceasta functie se scrie:

In cazul undelor sferice, provenite de la o punctiforma, ce se propaga in medii omogene si izotrope, functia de unda y depinde numai de variabilele r si t si ecuatia diferentiala (37) devine:

si fiind analoaga ca forma cu ecuatia (32.) admite solutii de forma:

Termenul reprezinta undele progresive sau directe, fiind undele care diverg din sursa, in timp ce termenul reprezinta undele regresive sau inverse, fiind undele care converg catre sursa.

Un caz particular de unde sferice il constituie undele sferice sinusoidale, descrise prin functia de unda:

din care rezulta:

a)        amplitudinea unei unde sferice descreste invers proportional cu distanta r fata de sursa;

b)        faza acestei unde fiind rezulta ca suprafetele de unda sunt sfere concentrice cu centrul in punctul in care se afla sursa.

VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR

1. VITEZA DE PROPAGARE A UNDELOR

IN MEDII SOLIDE, LICHIDE, GAZOASE

Se cunosc doua tipuri fundamentale de unde:

unde longitudinale, la care perturbatia este in directia de propagare a undei, adica functia de unda y este paralela cu normala la suprafata de unda; acest tip de unde se reprezinta ca perturbatii ale unui suport material (undele acustice dintr-un mediu elastic);

unde transversale, la care perturbatia este dupa o directie perpen-diculara la directia de propagare a undei, adica functia de unda y este perpendiculara la versorul . Acest tip de unde apare adesea fara suport material, exemplu in cazul undelor electromagnetice

a)     Medii solide

In cazul particular al unei unde elastice longitudinale, care se propaga intr-un mediu elastic cu o singura dimensiune, de exemplu o bara fixata la un capat, viteza de propagare a undelor longitudinale este data de relatia:

Ca exemplu, in cazul unei bare de fier , , viteza de propagare a undelor longitudinale are valoarea v = 5 050 m/s

In ceea ce priveste viteza de propagare a undelor transversale in solide, ea este data de o formula analoaga cu ecuatia (41):

unde G este modulul de elasticitate transversal sau de forfecare. Modulul de forfecare G reprezinta raportul dintre efortul unitar , care produce o deformatia de forfecare si marimea unghiului de forfecare j (in radiani), care are expresia:

in SI, modulul G se masoara in N/m², iar pentru majoritatea corpurilor solide omogene si izotrope, G = 0,4E.

Deoarece G<E, rezulta ca undele longitudinale se propaga in solide cu viteze mai mari decat cele transversale.

b)     Medii lichide

In mediile lichide se propaga numai unde longitudinale, iar formula vitezei de propagare a undelor in lichide este analoga cu formula vitezei undelor longitudinale in solide, numai ca rolul lui E il joaca acum modulul de compresibilitate. Acesta se defineste astfel: datorita unei presiuni exterioare dp (fig. 5.), un volum de lichid V sufera o variatie dV proportionala cu V si dp.

Semnul "-" arata ca V scade cu cresterea presiunii si invers.

Deci, in medii lichide, viteza undelor longitudinale are expresia:

c)     Medii gazoase

In mediile gazoase, la fel ca si in mediile lichide, se propaga numai unde longitudinale, iar valoarea vitezei acestor unde depinde de faptul daca procesul de propagare a undei este izoterm sau adiabatic, deci intalnim doua situatii:

1. Daca frecventa undei este mai mica, atunci in timpul procesului de propagare are loc un schimb de caldura intre mediul gazos prin care are loc propagarea si mediul inconjurator. Temperatura gazului ramanand constanta, procesul de propagare a undei poate fi considerat izoterm. Din legea lui Boyle-Mariotte valabila pentru un asemenea proces: pV = const. se obtine prin diferentiere:

sau

Comparand aceasta relatie cu (43.) rezulta ca in cazul nostru, rolul modulului de compresibilitate il joaca presiunea x=p si deci, viteza de propagare a undei in cazul procesului izoterm este data de relatia:

2. Daca frecventa undei este foarte mare, atunci procesul de propagare trebuie considerat adiabatic, adica intre gaz si mediul inconjurator nu are loc schimb de caldura. Cum legea procesului adiabatic este exprimata prin ecuatia Poisson,

pV^g = const , prin diferentiere se poate obtine relatia:

de unde rezulta ca, in cazul nostru, rolul modulului de compresibilitate il joaca produsul gp (adica x = gp). Deci, viteza undelor cu frecventa foarte mare, care se propaga intr-un mediu gazos in cazul proceselor adiabatice, este data de relatia:

deoarece , unde M este masa moleculara a gazului, iar V_M volumul molar, si tinand cont de legea gazelor perfecte pentru un mol de gaz: pV_M = RT, atunci relatia (47) se scrie:

Deci, viteza undei depinde de temperatura gazului, si anume variaza cu . De exemplu, pentru aer (gaz ideal biatomic) aflat la temperatura t=20^oC (T = 293 K), valoarea vitezei de propagare este

v=342m/s si aceasta valoare concorda cu cea determinata experimental, ceea ce inseamna ca procesul de propagare a sunetului prin gaze poate fi considerat adiabatic.

2. DISPERSIA UNDELOR. VITEZA DE GRUP

Pana acum am presupus ca viteza de faza a undelor sau viteza de propagare nu depinde de frecventa acestora. In realitate se constata ca unele medii au proprietatea ca viteza de faza a undelor ce se propaga prin ele depinde de frecventa, iar acest fenomen este cunoscut sub denumirea de dispersia undelor. Deci, in aceste cazuri, energia transportata de unda nu se deplaseaza, in general, cu viteza de faza V, ci cu o viteza mai mica, v_g, numita viteza de grup.

Propagarea unor unde compuse dintr-un numar foarte mare de unde sinusoidale de frecvente foarte apropiate intre ele si de lungime finita prezinta un interes practic. Un astfel de exemplu il constituie semnalul prezentat in figura 6. care nu mai este sinusoidal, intrucat amplitudinea sa nu este constanta de-a lungul directiei de propagare Ox. In acest caz este necesar sa se faca o analiza Fourier a acestui semnal, din care rezulta ca acest semnal contine un anumit numar de frecvente apropiate ca valoare. Ansamblul de unde de frecvente apropiate intre ele constituie un grup de unde sau pachet de unde.

Pentru simplitate sa consideram cazul unui semnal compus din doua unde sinusoidale de pulsatii si deci frecvente foarte apropiate intre ele w si w care se propaga in aceeasi directie.

Rezulta ca w w este o marime infinitezimala. Presupunem ca cele doua unde au aceeasi amplitudine, iar ecuatiile lor au forma:

Unda rezultanta are functia de unda:

Cum w w K₁, K₂ sunt apropiate ca valoare, putem scrie:

si

si ecuatia (50) devine:

Aceasta ecuatie reprezinta o unda a carei amplitudine este modulata de functia cosinus (fig. 7.).

Viteza de deplasare a grupului celor doua unde, numita viteza de grup, reprezinta viteza de deplasare in directia axei Ox a unui punct de amplitudine constanta, adica este determinata de conditia:

Derivand (53) in raport cu timpul si tinand seama ca dw si dK sunt constante, obtinem pentru viteza de grup:

Plecand de la relatia w = Kv (deoarece si si ), expresia vitezei de grup devine:

unde v_g si v sunt vitezele de grup si de faza ale undelor.

1. Cand viteza de faza a undelor variaza direct proportional cu l, are loc o dispersie normala, adica si din relatia (55.) rezulta ca viteza de grup este mai mica decat viteza de faza (v_g<v).

2. Daca viteza de faza a undelor variaza invers proportional cu lungimea de unda, rezulta fenomenul de dispersie anormala. Cum rezulta ca viteza de grup este mai mare decat viteza de faza v_g>v.

3. Un mediu pentru care viteza undelor nu variaza cu frecventa se numeste nedispersiv si in asemenea medii viteza de faza si viteza de grup coincid v_g = v.

5. ENERGIA TRANSPORTATA DE UNDE.

INTENSITATEA UNDEI

In timpul procesului de propagare a undelor nu are loc un transport de substanta, ci numai o propagare a starii de miscare in intreg mediul considerat, aceasta insemnand ca procesul de propagare a undelor este insotit de un transport de energie.

Sa consideram cazul undelor longitudinale care se propaga intr-o bara elastica iar sub actiunea unei forte exterioare F orientate de-a lungul axei barei, o sectiune oarecare S sufera o deplasare longitudinala de marime . Evident, viteza de deplasare a acestei sectiuni este:

Cum in timpul deplasarii asupra sectiunii S actioneaza in sens invers deplasarii o forta elastica (-F), egala si de sens contrar cu forta exterioara, in acest caz, puterea sau lucrul mecanic efectuat in unitatea de timp pe care sectiunea S o transmite unei sectiuni vecine este:

Daca unda elastica din bara este sinusoidala, adica , atunci .

Din legea lui Hooke scrisa sub forma , obtinem valoarea lui si tinand cont de aceste relatii, expresia (57) a puterii se scrie:

Deoarece , formula vitezei undelor longitudinale in solide, , puterea transmisa de sectiunea S unei sectiuni vecine are expresia:

Sa facem cateva observatii referitoare la relatia (59).

1. Prezenta factorului asigura conditia ca sa fie totdeauna o marime pozitiva, desi variaza in timp.

2. Cum puterea depinde de (), ea va satisface de asemenea ecuatia undei plane si corespunde la o "unda de energie".

3. Valoarea medie a puterii va fi:

Se observa ca produsul Sv, reprezinta volumul in care s-a propagat energia undelor in unitatea de timp (fig. 8.), astfel ca din relatia (60) se poate calcula densitatea medie de energie transportata de unde prin bara:

Puterea medie a undei are expresia:

Produsul din relatia (62) reprezinta fluxul de energie prin unitatea de suprafata, adica energia transportata de unda in unitatea de timp prin unitatea de suprafata. Aceasta marime poarta numele de intensitatea undei:

Cum marimea reprezinta viteza u maxima de deplasare a sectiunii S, atunci intensitatea undei se poate exprima si prin relatia:

Formula dimensionala pentru intensitatea undei este:

iar unitatea de masura in SI este .

6. PROPAGAREA UNDELOR ELECTROMAGNETICE

Din relatiile Maxwell-Ampere si Maxwell-Faraday rezulta urmatoarea concluzie:

Orice camp magnetic variabil in timp produce in regiunea din spatiu pe care o ocupa un camp electric variabil, ale carui linii de camp sunt inchise. De asemenea, orice camp electric variabil in timp produce in regiunea din spatiu pe care o ocupa un camp magnetic variabil, ale carui linii de camp sunt inchise. Ambele campuri - cel electric si cel magnetic - sunt legate indisolubil intre ele si formeaza campul electromagnetic.

Ansamblul celor doua campuri care se genereaza reciproc si sunt localizate simultan in aceeasi regiune din spatiu se numeste camp electromagnetic; ambele componente ale campului electromagnetic au liniile de camp inchise, deci sunt campuri rotationale. Campul electromagnetic este univoc determinat de ecuatiile lui Maxwell la orice moment si in orice punct din spatiu, daca sunt cunoscute valorile vectorilor si la momentul initial (t=0).

Aceasta afirmatie capata un sens fizic direct numai cand se considera o portiune oarecare finita din spatiu si se completeaza conditiile care determina solutia ecuatiilor Maxwell cu anumite conditii de frontiera pe marginea acestor portiuni. Daca un asemenea camp electromagnetic este creat intr-o portiune limitata a spatiului, el se propaga in restul spatiului cu o viteza finita, care in vid (spatiul liber) coincide cu viteza luminii .

Propagarea campului electromagnetic are un caracter de unda care decurge din teoria campului electromagnetic a lui Maxwell. Pentru a arata acest lucru sa consideram cazul unui mediu omogen, izotrop si fara distributie volumica de sarcina, adica:

E = constant;μ = constant (mediu izotrop si omogen);

ρ = 0 (mediu fara distributie volumica de sarcina) din care rezulta si =0 (densitatea de curent).

In acest caz ecuatiile lui Maxwell devin:

Sa aplicam operatorul rotor primei ecuatii:

si folosind proprietatea dublului produs vectorial

din ecuatia a II-a se obtine:

Primul termen este zero conform ecuatiei IV si din relatia (68) rezulta:

In mod analog sa aplicam operatorul rotor ecuatiei II a lui Maxwell

Cum

si tinand cont de ecuatia I se obtine:

Primul termen este zero conform ecuatiei III si din (72.) rezulta:

Daca comparam ecuatiile (69) si (73) cu ecuatia diferentiala a undelor

rezulta ca pentru viteza de propagare a campului electric si campului magnetic este valabila relatia:

Deci, din ecuatiile lui Maxwell rezulta ca atat campul electric cat si campul magnetic nu sunt localizate in spatiu, ci se propaga sub forma unor unde, cu aceeasi viteza . Cele doua unde se propaga, asadar, simultan in spatiu, coexista in fiecare punct din spatiu si reprezinta unde electromagnetice.

Pentru un mediu de permitivitate si permeabilitate , viteza de faza a undei electromagnetice are valoarea:

Considerand cazul vidului si tinand cont ca si , obtinem valoarea:

care reprezinta valoarea vitezei luminii in vid, adica valoarea cunoscuta a vitezei luminii. Rezulta ca lumina reprezinta un sistem de unde electro-magnetice.

Tinand cont de relatia (77), relatia (76) devine:

Aceasta relatie poate fi scrisa si sub forma:

Si cum numit indice de refractie al mediului respectiv si egal cu raportul dintre viteza luminii in vid (c) si viteza (v) a luminii prin mediul considerat, rezulta:

7. ENERGIA TRANSPORTATA

DE UNDELE ELECTROMAGNETICE

Una dintre solutiile importante ale ecuatiei undei o constituie solutia sub forma de unda plana. In acest caz, la orice moment, vectorii campului au aceeasi valoare in toate punctele oricarui plan perpendicular pe directia de propagare a undei. Daca se alege axa Ox drept directie de propagare, atunci si trebuie sa depinda numai de variabilele x si t. Solutia sub forma de unda plana are forma:

unde este numarul de unda, , lungimea de unda a undei, este pulsatia undei, iar este frecventa undei.

Sub forma complexa, aceste unde plane au expresiile:

iar operatorul se reduce la expresia:

Daca directia de propagare nu este Ox, ci o directie oarecare de versor , atunci operatorul este:

Pe baza relatiei (65) ecuatiile III si IV ale lui Maxwell devin:

Rezulta ca vectorii si sunt perpendiculari pe , adica pe directia de propagare a undei. Deci, undele electromagnetice plane sunt unde transversale. Se poate arata ca si undele electromagnetice sferice sunt transversale si deci undele electromagnetice sunt unde transversale.

O alta proprietate importanta a undelor electromagnetice este aceea ca vectorii si sunt perpendiculari intre ei si impreuna cu alcatuiesc un triedru drept (figura 9., a).

Rotind pe spre pe drumul cel mai scurt, sensul de inaintare al burghiului este spre .

Sa demonstram afirmatia anterioara.

Tinand cont de solutiile sub forma de unde plane pentru si , rezulta:

Analog,

Ecuatiile I si II din (65) devin in acest caz:

Cum , rezulta:

adica

Rezulta, din relatia (89), ca vectorul este perpendicular pe planul determinat de si , adica .

In plus, deoarece rezulta:

adica raportul marimilor vectorilor nu depinde de timp si deci acesti vectori si au aceeasi faza si variaza sincron.

Cu aceste rezultate, unda electromagnetica poate fi reprezentata grafic ca in figura 9., b.

Energia campului electromagnetic reprezinta suma dintre energia campului electric al campului electromagnetic respectiv, data de relatia:

si energia campului magnetic corespunzator

Pentru densitatile de energie corespunzatoare acestor doua componente ale campului electromagnetic, rezulta expresiile:

Densitatea de energie totala a campului electromagnetic este suma dintre densitatea de energie a campului electric si cea a campului magnetic:

Tinand seama ca pentru undele electromagnetice plane , densitatea de energie devine:

Figura 4.10