ANALIZA MATEMATICA - EXERCITII

1.

A) Sa se stabileasca natura si sa se determine suma seriilor in cazul convergentei:

a); b); c); d); e); f)

g) ; h) ; i)

B) Sa se determine natura urmatoarelor serii:

a); b); c); d); e); f)

C) Sa se studieze natura seriilor:

I) a); b); c) ; d) ; e)

II) a) ; b) ; c) ; d)

D) Studiati natura seriilor:

a) ; b) ; c)

E) Sa se determine natura seriilor:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

F) Studiati natura seriilor:

a) ; b) ; c) .

G) Studiati natura seriilor:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

Sa se studieze convergenta seriilor numerice:

, kÎN*, fixat; 2)

, a>0; 12)

Sa se determine domeniul de convergenta al seriilor de puteri:

Sa se determine extremele locale ale functiilor:

1) f: R´R R f(x, y)=x⁴+y⁴-4xy (R: (1, 1), (-1, -1) minime locale, (0, 0) punct sa);

2) f: R´R R f(x, y)=6x²y+2y³-45x-51y+7; (R: ( ) minim local, ( ) maxim local, ( ) puncte sa)

3) f: R´R R f(x, y)= x³+y³-3xy (R: (1, 1) minim local, (0, 0) punct sa);

4) f: R´R R f(x, y)=xy+x²+y²-2x-y (R: (1, 0) minim);

5) f: R´R R f(x, y)=3xy²+x³-15x-12y (R: (2, 1) minim, (-2, -1) maxim local, (1, 2) si (-1, -2) puncte sa);

6) f: R´R R f(x, y)=3xy²-x³-15x-36y+9 (R: (2, 3), (-2, -3) puncte sa);

7) f: R´R R f(x, y)=3xy-x³-y³; (R: (1, 1) maxim local, (0, 0) punct sa);

8) f: R´R R, f(x, y)=x³y²(6-x-y)

9) f: R´R R, f(x, y)=x²+2y²+xy+4 (R: (0, 0) minim local)

f: R´R R, f(x, y)=x²-x³+2xy+4y²+2 (R: (0, 0) minim local, ( ) punct sa)

f: R´R R, f(x, y)=-2x+-3y+y²- (R:    ( ) minim local)

f: R´R R, f(x, y)=60x-10x²-20y-5y²+10xy (R: (4, 2) maxim local)

13) f: R´R R, f(x, y)=10x⁵+10y⁴-50x-320y-4 (R: (1, 2) minim local, (-1, 2)    punct sa)

14) f: R³ R f(x, y, z)=x²+y²+z²-xy+x-2z+5(R:minim local)

f: R³ R f(x, y, z)=x²+2y²+3z²+6xy-6xz+8yz-2x-18y-8z+120; (R: (1, 1, 1) punct sa);

16) f:R³ R f(x, y, z)=2x²+y²+2z-xy-xz (R: (2, 1, 7) punct sa);

17) f:R³ R f(x, y, z)=2x²+2y²+2z²+2(xy+yz+zx) (R: (0, 0, 0) minim local);

f:R³ R f(x, y, z)=x²+y²+z²+xy+xz+yz -4x-4y-4z+5 (R: (1, 1, 1) minim local);

19) f:R³ R f(x, y, z)=x³+y²+z²+12xy+2z (R: (24, -144, -1) minim local, (0, 0, -1) punct sa);

20) f:R³ R f(x, y, z)=2x²+2y²+2(xy+yz+x+y+3z). (R: (1, -3, 4) punct sa);

21) f:R³ R f(x, y, z)=-4x²-2y²-z²+4xy+yz+100z; (R: (50, 100, 200) maxim local);

Fie x si y nivelurile a doi factori de productie care contribuie la realizarea unui produs. Cheltuielile unitare asociate factorilor x si y sunt P_x= 2 um si P_y= 4 um. Nivelul productiei este dat de functia de productie f(x,y)=12-, iar pretul unitar de desfacere a produsului este P_d=9 um. Sa se determine structura optima a productiei astfel ca profitul realizat sa fie maxim.

O firma realizeaza doua produse cu costuri de productie unitare fixe de 2um, respectiv 3um. Pe piata, cererea celor doua produse depinde de preturile de vanzare p₁ si p₂ astfel: x₁=5(p₂-p₁), x₂=32+5p₁-10p₂. Sa se determine preturile p₁ si p₂ astfel incat profitul realizat din vanzarea celor doua produse sa fie maxim.

A) Sa se studieze convergenta integralelor (pe domeniu nemarginit):

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g)

h) ; i) ; j) ; k) ; l) ; m) ; n)

B) Sa se studieze convergenta integralelor (din functii nemarginite):

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h)

C) Sa se calculeze (folosind integrala gamma):

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

g) ; h) ; i) ; j)