Incertitudine compusa: legea propagarii incertitudinilor

Incertitudine compusa: legea propagarii incertitudinilor

Compunerea sau combinarea incertitudinilor datorate unor surse diferite este necesara in urmatoarele situatii:

la masurarile directe, cand trebuie evaluata incertitudinea totala datorata unor surse de erori ale caror contributii sunt apreciate in prealabil separat (ex. de tip A si de tip B sau mai multe componente de tip B);

in cazul masurarilor indirecte, cand rezultatul se calculeaza in functie de mai multe marimi masurate direct (marimi de intrare) afectate de incertitudini evaluate separat.

In scopul compunerii incertitudinilor partiale se trateaza, in acelasi fel, atat componentele incertitudinii care provin din efecte aleatorii, cat si cele care provin din corectii estimate pentru efecte sistematice.

Observatie

Este important sa nu fie luate in considerare de doua ori aceleasi componente ale incertitudinii. Daca o componenta a incertitudinii care provine dintr-un anumit efect este determinata printr-o evaluare de tip B, atunci aceasta nu trebuie inclusa ca o componenta independenta in calculul incertitudinii standard compuse a rezultatului masurarii decat daca efectul sau nu contribuie la variabilitatea constatata a observatiilor. Acest lucru este urmare a faptului ca incertitudinea datorata acelei parti a efectului care contribuie la variabilitatea constatata este deja inclusa in componenta incertitudinii obtinuta prin analiza statistica a observatiilor.

Propagarea erorilor

Erori maxime

Intr-o prima analiza s-a abordat problema propagarii erorilor maxime. S-a vazut ca orice rezultat de masurare poate fi exprimat printr-o variabila aleatoare X_i de forma:

X_i = A + D'_i,    (4.147)

in care A este valoarea adevarata a masurandului (teoretica, inaccesibila), iar D'_i este eroarea (provocata de diverse cauze, de tip sistematic sau aleatoriu).

Fie e = M[D'_i] speranta matematica a lui D'_i. Aceasta este egala si de semn contrar corectiei care trebuie aplicata rezultatului pentru eliminarea efectelor sistematice. Cum e nu se cunoaste, persista o incertitudine asupra determinarii corectiei, cu valoarea maxima egala cu corectia insasi. Se considera astfel ca valoarea medie a erorii ramase este nula, dar nu si incertitudinea. Variabila aleatoare D_i D'_i - e este centrata, avand aceeasi dispersie ca si D'_i si reuneste eroarea asupra corectiei si datorita altor efecte.

In consecinta D_i este de medie nula si dispersie s , iar valoarea masurata a lui X_i urmeaza o distributie de medie μ = A + e. si dispersie s

Propagarea erorilor maxime

Fie marimea y care se poate cunoaste in urma masurarii marimilor X₁, X₂, . X_n si aplicand relatia:

y = f(X₁, X₂, . X_n).   

Functia de modelare (modelul matematic al masurarii) f(X₁, . X_n) reprezinta procedura masurarii si metoda de evaluare deoarece descrie cum se obtin valorile cantitatii de iesire y pe baza cantitatilor de intrare x_i. In cele mai multe cazuri, f este o expresie analitica, dar poate fi si un grup de astfel de expresii care include corectii si factori de corectie pentru efectele sistematice, conducand la relatii mai complicate care nu se scriu ca functii explicite. Mai mult, f poate fi determinata experimental sau exista numai ca un algoritm de computer care trebuie evaluat numeric sau poate fi o combinatie de toate acestea.

Fiecare X_i este o variabila aleatoare, fiind un rezultat partial, in consecinta si y va fi o variabila aleatoare, caracterizata prin parametri statistici.

Aici intereseaza media - care este luata drept rezultat al masurarii (ca fiind cel mai bun estimator al valorii masurandului) si dispersia (varianta), respectiv abaterea standard - care exprima incertitudinea globala de masurare a lui y (incertitudinea compusa).

Proprietatile statistice ale lui y se determina pe baza celor ale variabilelor X_i, care se caracterizeaza prin: M[X_i] = μ_i si variantele (dispersiile) u²(X_i) = u_i².

Admitand ca erorile sunt mici, rezultatul final se poate exprima prin dezvoltare in serie Taylor in jurul valorilor X_i = μ_i, din care se pastreaza doar termenii de ordinul 1:

(4.149)

Din aceasta relatie se deduce legea de propagare a erorilor limita absolute:

(4.150)

in care:

(4.151)

reprezinta sensibilitatea marimii y la variatia fiecarei marimi X_i.

Eroarea relativa rezulta imediat: (cu D_i DX_i

(4.152)

Observatie

Aceasta relatie se poate obtine si prin diferentierea logaritmului functiei f.

Aplicand relatiei (4.149) operatia de mediere si tinand cont ca D_i are o medie nula, rezulta ca:

M[y] = f(μ₁, μ₂, . ,μ_n) = μ_y,, (4.153)

deci media teoretica a lui y este functie de mediile variabilelor X. Aceasta se estimeaza cu:

(4.154)

Propagarea incertitudinilor

O eventuala dependenta intre variabilele X_i si X_j este descrisa de covarianta, definita ca:

(4.155)

cu: coeficientul (factorul) de corelatie (-1 r_ij 1). Covarianta poate fi estimata prin s(X_iX_j) obtinuta din n perechi independente de observatii simultane ale lui X_i si X_j:

(4.156)

Factorul de corelatie este estimat cu r_ij. Pentru variabilele X_i, X_j independente, r_ij = 0; cand variabilele sunt corelate (ceea ce inseamna ca o variatie a uneia antreneaza o modificare a celeilalte), r_ij

Dispersia (varianta) lui y se calculeaza conform relatiei:

(4.157)

cu conditia cunoasterii tuturor distributiilor marimilor de intrare si a incertitudinilor lor standard, evaluate prin metode de tip A; relatia se poate pune si sub forma:

(4.158)

Relatia (4.158) nu implica nici o ipoteza in legatura cu normalitatea distributiilor de probabilitate ale marimilor X_i.

Cum, in cazul general intalnit in masurari, incertitudinile de intrare pot fi si de tip B, exprimate prin estimatiile u_i ale abaterilor standard, u_ij ale covariantei, respectiv r_ij ale coeficientilor de corelatie, prin extindere, se obtine relatia de calcul a incertitudinii compuse sau relatia de propagare a incertitudinilor:

(4.159)

Relatia (4.159) cere ca, indiferent de modul in care este obtinuta, incertitudinea estimatiei unei marimi de intrare sa fie evaluata ca o incertitudine standard, deci ca o abatere standard estimata. Daca, in schimb, se evalueaza o alternativa oarecare considerata mai "sigura", aceasta nu poate fi folosita in relatia (4.159). In particular, daca "limita maxima a erorii" (cea mai mare abatere in raport cu cea mai buna estimatie presupusa) este folosita, atunci incertitudinea care rezulta va avea o semnificatie gresit definita si nu va putea fi utilizata de oricine ar dori sa o includa in calculele ulterioare ale incertitudinilor pentru alte marimi.

observatii

1. Pentru unele tratari traditionale ale incertitudinii de masurare, ecuatia (4.159) este contestabila, deoarece nu este facuta nici o distinctie intre incertitudinile care provin din efecte sistematice si incertitudinile care provin din efecte aleatorii. In particular, compunerea variantelor obtinute din distributii de probabilitate a priori cu variantele obtinute din distributii de frecventa nu este recomandata, intrucat conceptul "probabilitate" este considerat a fi aplicabil numai evenimentelor care pot fi repetate de un numar mare de ori in aceleasi conditii, probabilitatea p a unui eveniment ( indicand frecventa cu care se produce evenimentul.

In contrast cu acest punct de vedere al probabilitatii bazata pe frecventa, un alt punct de vedere, de asemenea valabil, este acela conform caruia probabilitatea reprezinta o masura a nivelului de incredere cu care se poate produce un eveniment. Recomandarile metodologice internationale adopta implicit o asemenea abordare a probabilitatii intrucat considera expresiile de genul ecuatiei (4.159) ca fiind un mod adecvat de a calcula incertitudinea standard compusa a rezultatului unei masurari.

In aplicatiile practice, diferenta dintre cele doua puncte de vedere nu conduce la o diferenta reflectata in valoarea numerica a rezultatului masurarii sau in incertitudinea asociata cu acest rezultat.

In relatia (4.159) derivatele partiale ale functiei f fata de variabilele de intrare, care inmultesc incertitudinile, poarta denumirea de coeficienti de sensibilitate c_i asociati cu estimatorul marimii de intrare x_i. Acesti coeficienti descriu gradul in care marimea estimata y este influentata de variatiile marimii de intrare x_i.

Marimi necorelate

Cand marimile de intrare nu sunt corelate () relatia (4.158) se reduce la:

(4.160)

Exemple

. In exemplul anterior, privind voltmetrul numeric (§ 4.6), estimatia valorii masurandului era , unde = 0,928 571 si =12 μV, corectia aditiva , iar . Intrucat , varianta compusa asociata cu V este:

(4.161)

si incertitudinea compusa standard este u_C(V) = 15 μV, ceea ce corespunde unei incertitudini relative u_C(V)/V = 16

Fie z care depinde doar de o marime de intrare w, adica:

z = f(w), unde w este estimata prin media a n valori ale w; aceste n valori sunt obtinute din n observatii repetate independente q_k ale unei variabile aleatorii q, iar w_k si q_k sunt legate prin relatia

In aceasta ecuatie α este o variatie "sistematica" constanta sau o deplasare comuna fiecarei observatii, iar b este un factor de scara comun. Deplasarea si factorul de scara, desi constanti in decursul observatiilor, sunt presupusi a fi caracterizati prin distributii de probabilitate a priori, α si b fiind cele mai bune estimatii ale mediilor statistice ale acestor distributii (de exemplu la masurarea temperaturii cu un termocuplu TC, α poate fi deplasarea raspunsului datorata temperaturii jonctiunii reci, iar b sensibilitatea TC).

Cea mai buna estimatie a lui w este media aritmetica obtinuta cu ecuatia:

(4.163)

Marimea z este atunci estimata prin , iar estimatia u²(z) a propriei variante este obtinuta cu ecuatia (4.158). Daca, pentru simplificare, se presupune ca z = w, astfel incat cea mai buna estimatie a lui z sa fie , atunci estimatia u²(z) poate fi dedusa usor. In baza ecuatiei (4.162), tinand seama ca

, (4.164)

si notand dispersiile estimate ale lui α si b prin , respectiv, si presupunand ca observatiile individuale nu sunt corelate, in baza relatiei (4.160) se poate deduce ca:

(4.165)

unde s²(q_k) este varianta experimentala a observatiilor q_k calculata conform metodei A, descrise anterior, iar s²(q_k)/n = este varianta experimentala a mediei .

Observatie

Desi aparent complicata, relatia (4.160) capata forme simple in cele mai multe din cazurile practice intalnite. Spre exemplu:

cand functia f este suma sau diferenta marimilor de intrare X_i:

(4.166)

atunci relatia (4.160) devine:

(4.167)

cand functia f este un produs sau raport intre marimile de intrare:

(4.168)

atunci relatia de compunere a incertitudinilor capata forma asemanatoare cu (4.167) in care intervin incertitudinile standard relative si :

(4.169)

Marimi de intrare corelate

Cand marimile de intrare sunt corelate, pentru calculul incertitudinii compuse se utilizeaza expresia (4.159), in care:

(4.170)

In cazul special in care toate estimatiile de intrare sunt corelate, cu coeficientii de corelatie r(x_i, x_j)=1, expresia (4.159) reprezinta un patrat perfect:

(4.171)

Incertitudinea standard compusa u_C(y) este in acest caz chiar suma liniara a termenilor reprezentand variatia estimatiei de iesire y generata a incertitudinii standard a fiecarei estimatii de intrare x_i.

Fie doua medii aritmetice sicare estimeaza mediile statistice μ_q si μ_r a doua marimi variabile aleatorii q si r; se presupune ca si se calculeaza din n perechi de observatii simultane ale lui q si r, facute in aceleasi conditii de masurare. In acest caz, covarianta luisi este estimata de:

(4.172)

unde q_k si r_k sunt observatiile individuale ale marimilor q si r, iar si sunt mediile aritmetice sau experimentale calculate din observatii. Daca in realitate observatiile nu sunt corelate, covarianta calculata va fi aproape zero.

Exemplu.

Daca frecventa unui oscilator necompensat sau slab compensat in functie de temperatura este o marime de intrare, daca temperatura ambianta este, de asemenea, o marime de intrare si daca aceste marimi sunt observate simultan, atunci poate exista o corelatie semnificativa pusa in evidenta prin covarianta calculata a frecventei oscilatorului si a temperaturii ambiante.

observatie

Experimente diferite nu pot fi independente daca, de exemplu, acelasi mijloc de masurare este folosit in cadrul fiecaruia din ele.

Faptul ca doua marimi de intrare, observate in mod repetat si simultan, sunt sau nu corelate se poate determina cu ecuatia (4.172).

Observatii

Daca ipoteza privind modul de tratare a probabilitatii ca nivel de incredere asupra producerii unui eveniment nu ar fi facuta, atunci analiza din acest subcapitol nu s-ar aplica decat daca toate estimatiile marimilor de intrare si incertitudinile acestor estimatii ar fi obtinute prin analiza statistica a observatiilor repetate, adica prin evaluari de tip A.

Cu toate ca abordarea bazata pe valoarea "adevarata" si eroare conduce la aceleasi rezultate numerice ca si abordarea conform ipotezei din acest capitol, conceptul "incertitudine" dezvoltat astfel elimina confuzia dintre eroare si incertitudine. Intr-adevar, abordarea operationala, in care se pune accentul pe valoarea observata (sau estimata) a unei marimi si pe variabilitatea observata (sau estimata) a acestei valori, face sa fie total inutila orice recurgere la conceptul de "eroare".

In practica marimile de intrare sunt adesea corelate pentru ca la evaluarea valorilor lor s-au utilizat aceleasi referinte (etaloane) aparat de masurare, date de referinta sau chiar aceeasi metoda de masurare cu incertitudine semnificativa.

Fie doua marimi de intrare X₁ si X₂ estimate prin x₁ si x₂ care depind de un set de variabile independente Q_m:

X₁ = g(Q₁, Q₂, . ,Q_m); X₂ = h(Q₁, . ,Q_m), (4.173)

chiar daca unele din variabile pot sa nu apara in ambele functii. Estimatiile x₁ si x₂ vor fi corelate, chiar daca estimatiile q_m sunt independente. In acest caz, covarianta
u(x₁, x₂) asociata cu estimatiile x₁ si x₂ este data de:

(4.174)

in care c_1k si c_2k sunt coeficientii de sensibilitate dedusi din functiile g si h. Se observa ca daca functiile g si h nu au marimi de intrare comune, covarianta devine zero.

Exemplu

Acest exemplu arata corelatia care exista intre valorile atribuite la doua etaloane care au fost etalonate prin comparatie cu acelasi etalon de referinta.

Doua etaloane X₁ si X₂ sunt comparate cu etalonul Q_s cu ajutorul unui sistem de masurare care masoara diferenta z dintre valorile lor, cu o incertitudine asociata u(z). Valoarea q(s) a etalonului referinta este cunoscuta cu o incertitudine standard u(q_s).

Modelul matematic. Masurarea este descrisa de relatiile:

x₁ = q_s - z₁ si x₂ = q_s - z₂ (4.175)

Incertitudini standard si covariante. Estimatiile z₁, z₂ si q_s sunt presupuse necorelate deoarece au fost determinate din masurari diferite. Presupunand ca u(z₁) = u(z₂) = u(z), rezulta:

(4.176)

Factorul de corelatie rezulta a fi:

(4.177)

a carui valoare este intre 0 si 1, depinzand de valorile incertitudinilor etalonului de referinta si a comparatorului.

Utilizarea ecuatiilor (4.173) permite ca prin alegerea judicioasa a unui model de masurare sa se evite necesitatea evaluarii corelatiei intre unele marimi de intrare. Variabilele corelate X₁ si X₂ sunt inlocuite cu variabilele independente Q_m, prin schimbarea modelului matematic f al masurarii.

Sunt insa cazuri cand corelatia dintre doua marimi de intrare nu poate fi evitata intrucat transformarea ecuatiei pentru noi variabile independente nu este posibila. Daca gradele de corelatie nu sunt cunoscute cu exactitate, trebuie sa se ia in consideratie influenta maxima posibila pe care corelatia o poate avea (de exemplu r(x₁, x₂) = 1 ), ceea ce duce la sumarea lor liniara ca in relatia:

(4.178)

cu u_r(y) - contributia la incertitudinea standard a tuturor celorlalte incertitudini considerate necorelate.

Indicatii practice

Analiza incertitudinilor care afecteaza o masurare, numita uneori 'bugetul incertitudinilor', ar trebui sa duca la o lista a tuturor surselor de incertitudine si a incertitudinilor standard asociate precum si a metodelor de evaluare a acestora. In cazul masurarilor repetate, trebuie specificat si numarul n de observatii.

Pentru claritate, se recomanda sa se sintetizeze datele reprezentative ale acestei analize sub forma de tabel, in care toate marimile trebuie repertoriate cu notatii simple.

Pentru fiecare din marimi trebuie sa se prezinte cel putin valoarea estimata x_i, incertitudinea standard asociata masurarii u(x_i), coeficientul de sensibilitate c_i si contributiile c_i u(x_i). Pentru marimi necorelate, se da mai jos un exemplu de astfel de tabel.

Tabelul 4.4. Bugetul incertitudinilor