Aria unui triunghi

Aria unui triunghi

Fie, in raport cu un reper cartezian xOy in plan, triunghiul cu varfurile A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C). Vom da un rezultat cu ajutorul caruia se calculeaza aria triunghiului folosind coordonatele varfurilor triunghiului. Se stie ca , in care l este distanta dintre B si C , iar d este distanta de la varful A la dreapta BC. Este necesar sa calculam aceste marimi cunoscand coordonatele varfurilor triunghiului.

Stim ca l=BC=, iar pentru a calcula distanta de la A la BC vom folosi formula data in paragraful anterior inlocuind punctul M cu A iar dreapta d cu dreapta BC. Ecuatia dreptei BC este data de relatia (x-x_B)(y_C-y_B) - (y-y_B)(x_C-x_B) = 0 care se mai poate scrie si sub forma (y_C-y_B)x - (x_C-x_B)y + x_Cy_B - x_By_C =0.

Asadar distanta d va fi .

Atunci aria triunghiului dat este .

Acest rezultat se mai poate scrie si sub forma si astfel rezultatul final este unde am notat cu D determinantul

Observatie: Daca triunghiul este raportat la un reper cartezian in spatiu si are varfurile A(x_A,y_A,z_A), B(x_B,y_B,z_C), C(x_C,y_C,z_C) atunci aria sa este data de .

Nu demonstram acest rezultat dar facem observatia ca , daca punctele apartin planului xOy suntem in cazul particular z_k=0, k=1,2,3 si obtinem , adica rezultatul stabilit anterior.