Aritmetica in inele

Aritmetica in inele

Fie R un domeniu de integritate.

Definitia 1. Spunem ca un element a R divide un element b R (sau ca b este un multiplu al lui a) si notam acest fapt prin a / b, daca exista un element c R astfel incat b = a c. Daca a / b si b ≠ 0, atunci spunem ca a este un divizor al lui b.

Observatie. Relatia de divizibilitate ' / 'este o relatie de preordine pe R. Alte proprietati notabile ale acesteia sunt urmatoarele:

Pentru orice a R, au loc a / a, a / 0 si 1 / a.

Pentru orice a, b, c, x, y R astfel incat a / b si a / c, rezulta a / (bx + cy).

Definitia 2. Spunem ca elementele a, b R sunt asociate in divizibilitate

si notam acest fapt prin a ~ b, daca a / b si b / a.

Observatie. Relatia de asociere in divizibilitate ' ~ ' este o relatie de echivalenta pe R. Clasa de echivalenta modulo ' ~ ' a unui element a R este a = .

Propozitia 1. Fie a, b R Atunci au loc :

a / b , daca si numai daca bR aR

a ~ b , daca si numai daca aR = bR.

Propozitia 2. Pentru un element a R, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a

a U(R);

aR = R;

a / x, oricare ar fi x R

Definitia 3. Fie n N si a1 , a2 , . , an R..

Un element d R se numeste divizor comun al elementelor ai , i = , daca d / ai oricare ar fi i = . Daca , in plus , pentru orice divizor comun d'al elementelor ai, i =, avem d'/ d, atunci spunem ca d este un cel mai mare divizor comun al elementelor ai, i =n,1n,1n,1n,1.

Un element m R se numeste multiplu comun al elementelor ai, i = daca ai / m , oricare ar fi i =. Daca, in plus, pentru orice multiplu comun m'al elementelor ai , i = , avem m / m', atunci spunem ca m este un cel mai mic multiplu comun al elementelor ai, i = . n,1, n,1n,1n,1

Observatie. Daca pentru elementele a1 , a2 , . ,an R exista un cel mai

mare divizor comun d R ( respectiv cel mai mic multiplu comun m R ) , atunci acesta este unic pana la o asociere in divizibilitate. Notam d = (a1 , a2 , . ,an) sau d = c.m.m.d.c. (respectiv m = [a1, a2, . , an] sau m = c.m.m.m.c.).

Propozitia 3. Relativ la relatia de ordine indusa de divizibilitate, multimea factor R / ~ este o latice distributiva . Pentru doua elemente , R / ^a^b/~, avem inf = (a, b) si sup = [a, b]. ^a^b^a^b

Observatie. Doua elemente a', b' R se numesc relativ prime (sau prime intre ele ) daca (a', b') = 1. Daca doua elemente a, b R* admit cel mai mare divizor comun d R, atunci a, b se scriu sub forma a = da' , b = db' , cu a', b' R relativ prime.

Propozitia 4. Daca in domeniul de integritate R orice doua elemente admit un cel mai mare divizor comun, atunci au loc:

Orice doua elemente ale lui R admit un cel mai mic multiplu comun.

Pentru orice a, b R avem ab ~ (a, b)[a, b].

Definitia 4. Fie p R* U(R).

Elementul p se numeste ireductibil (in R) daca nu are divizori proprii , adica , pentru orice d R astfel incat d / p, rezulta d ~ 1 sau d ~ p.

Elementul p se numeste prim (in R) daca, pentru orice a, b R astfel incat p / ab, rezulta p / a sau p / b.

Propozitia 5. Orice element al lui R asociat in divizibilitate cu un

element ireductibil (respectiv prim) p R este ireductibil (respectiv prim).

Propozitia 6. Fie p R Atunci au loc: b^ 3 4

p este ireductibil in R, daca si numai daca pR este element maximal in multimea idealelor principale proprii ale lui R.

p este prim in R, daca si numai daca pR este ideal prim al lui R.

Propozitia 7. Orice element prim p R este ireductibil in R.

Observatie. Reciproca propozitiei anterioare nu este, in general,

adevarata

Propozitia 8. Daca in domeniul de integritate R orice doua elemente

admit un cel mai mare divizor comun, atunci orice element ireductibil p R este prim in R.

Definitia 5. Domeniul de integritate R se numeste inel euclidian daca exista o aplicatie f : R*→N care satisface urmatoarele proprietati:

Pentru orice a, b R* cu a / b, rezulta ϕ(a) ≤ ϕ(b).

Pentru orice a, b R cu b ≠ 0 exista q, r R astfel incat a = b q + + r si r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b).

Propozitia 9. Daca R este inel euclidian, atunci orice doua elemente

a, b R admit un cel mai mare divizor comun.

Corolar. Intr-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.

Definitia 6. Domeniul de integritate R se numeste inel principal daca orice ideal al sau este principal, adica, pentru orice ideal I al lui R , exista a R astfel incat I = aR.

Propozitia 10. Orice inel euclidian este principal.

Propozitia 11. Daca R este inel principal si a, b R. atunci au loc:

Elementul d R este un cel mai mare divizor comun al lui a si b, daca si numai daca dR = aR + bR. In particular, exista un cel mai mare divizor comun d al lui a si b si exista u, v R astfel incat d = = au + bv.

Elementul m R este un cel mai mic multiplu comun al lui a si b , daca si numai daca mR = aR ∩ bR. In particular , exista un cel mai mic multiplu comun m al lui a si b.

Corolar 1. Intr-un inel principal orice element ireductibil este prim.

Corolar 2. Daca R este un inel principal, atunci au loc :

Orice ideal prim nenul al lui R este ideal maximal in R.

Un element p R este ireductibil in R, daca si numai daca pR este ideal maximal in R.

Propozitia 12. Daca R este inel principal, atunci orice sir ascendent de

ideale ale lui R este stationar, adica, oricare ar fi idealele (In)n N ale lui R astfel incat: I0 I In . , exista n0 N cu proprietatea ca , pentru 00ninII=+orice i N

Corolar. Orice inel principal este noetherian.

Propozitia 13. Intr-un inel principal orice element nenul si neinversabil se descompune in produs finit de elemente prime.

Definitia 7. Domeniul de integritate R se numeste inel factorial, daca orice element nenul si neinversabil al sau se descompune intr-un produs finit de elemente prime.

Observatie. Orice inel principal este factorial.

Propozitia 14. Daca R este inel factorial, atunci descompunerea unui element nenul si neinversabil a R in produs finit de elemente prime este unica pana la ordinea factorilor si la o asociere a lor in divizibilitate, adica, daca:

unde pi, pj' sunt elemente prime (in R), i = n,1, j = m,1, atunci m = n si exista σ Sn astfel incat pi' pσ(i), oricare ar fi i = n,1.

Propozitia 15. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

R este inel factorial .

Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si orice element ireductibil este prim .

Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si o astfel de descompunere

este unica pana la ordinea factorilor si la o asociere a lor in divizibilitate.

iv) Orice element nenul si neinversabil al lui R se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile si orice doua elemente ale lui R admit un cel mai mare divizor comun .

v) Orice ideal prim nenul al lui R contine un element prim.

vi) Orice sir ascendent de ideale principale ale lui R este stationar si intersectia oricaror doua ideale principale ale lui R este un ideal principal.

Corolar 1. Intr-un inel factorial orice doua elemente admit un cel mai mare divizor comun si un cel mai mic multiplu comun.

Corolar 2. Intr-un inel factorial orice element ireductibil este prim.

Propozitia 16. Daca R este inel factorial, iar elementele a, bi R , i

=n,1 au proprietatea ca a si bi sunt relativ prime, i = n,1, atunci elementele a si b1b2 . bn sunt relativ prime.

Probleme

Fie R un domeniu de integritate si a, b R* doua elemente ce admit un cel mai mare divizor comun d. Aratati ca, daca pentru un element c R exista un

cel mai mare divizor comun ρ al elementelor ac si bc, atunci ρ este asociat in divizibilitate cu produsul dc.

Solutie. Fie a', b' R astfel incat a = da', b = db'si (a',b') = 1. Din

d / a, respectiv d / b, rezulta dc / ac, respectiv dc / bc. Deducem dc / ρ , deci exista u R cu proprietatea ca ρ = dcu. Din ρ / ac, respectiv ρ / bc, obtinem existenta a doua elemente a1, b1 R astfel incat ac = ρa1, respectiv bc = ρb1. Rezulta da'c = =dcua1 si db' = dcub1, deci a' = ua1 si b' = ub1. Atunci u / a' si u / b', de unde, tinand cont ca a' si b' sunt relativ prime, obtinem u / 1, adica u ~ 1. In concluzie, avem ρ ~ dc.

Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea ca orice doua elemente

ale sale admit un cel mai mare divizor comun. Aratati ca, daca elementele a, b, c R satisfac a / bc si (a,b) = 1, atunci a / c.

Solutie. Cum a / ac si a / bc, rezulta ca a / (ac,bc). Conform problemei

anterioare, avem ca (ab, bc) = c, deci a / c.

Aratati ca, intr-un domeniu de integritate infinit, multimea elementelor nenule si neinversabile este finita.

Solutie. Fie R un domeniu de integritate infinit si R'= R* U(R). Daca,

prin absurd, multimea R' este finita, atunci multimea U(R) este infinita. Pe de alta parte, notand S(R') grupul permutarilor multimii R', avem ca aplicatia:

f U(R)→ S(R'),

f u)(a) = ua, oricare ar fi u U(R) si a R

este injectiva, deci cardU(R) ≤ cardS(R') = n!, unde n = cardR'; contradictie. In concluzie, R' este infinita.