Masurarea unghiurilor

MASURAREA UNGHIURILOR

In cadrul acestei teme profesorul trebuie sa "didacticizeze", sa faca accesibila functia masura a unghiurilor care poate fi introdusa dupa cum urmeaza.

Fie U multimea unghiurilor din plan. O functie m: U→ [0,180^o] se numeste functie masura a unghiurilor (in grade) daca are proprietatile:

1) Pentru orice unghi A, masura sa este un numar cuprins intre 0 si 180^o. unghiurile nule au masura zero, iar unghiurile alungite au masura 180^o.

2) Fie o semidreapta si S un semiplan limitat de dreapta OA. Pentru orice numar real exista o semidreapta unica (OB in S incat m(AOB)=

3) Daca C este in interiorul unui unghi AOB, atunci m(AOC)+ m(COB) = m(AOB).

Observam ca 3) exprima aditivitatea functiei m, iar 2) ne spune ca functia m este surjectiva, dar nu este injectiva, adica exista mai multe unghiuri cu aceeasi masura (semidreapta (OA este arbitrara). Acest fapt conduce la a spune ca doua unghiuri se numesc congruente daca au aceeasi masura. Relatia de congruenta este o relatie de echivalenta si constatam ca m induce o aplicatie bijectiva de la multimea claselor de echivalenta in [0,180^o]. Aceasta constatare poate fi un exercitiu util la clasa a IX-a pentru ca el contine idei fundamentale, frecvent folosite in matematica. Unicitatea semidreptei din proprietatea 2) ne arata ca unghiurile congruente pot fi "suprapuse" prin purtarea congruenta sau depunere a unghiurilor (efectuata cu un raportor, dar si mai bine cu un compas). Din aceeasi proprietate 2) rezulta ca exista cel putin un unghi care are masura 1. Acel unghi poate fi folosit ca unghi unitate de masura. Toate aceste consideratii au avut scopul de a arata ca functia m satisface cerintele generale impuse unei functii masura.

In predarea temei "Masura unghiurilor" apar mai bine conturate nivelele intuitiv si axiomatic. La nivel intuitiv exista mai multe posibilitati de abordare a problematicii. Fiecare trebuie sa pregateasca nivelul axiomatic. Nivelul intuitiv se poate parcurge dupa cum urmeaza.

Se introduce masura unghiurilor prin intermediul operatiei de masurare a unghiurilor cu raportorul (pe unghiuri desenate in caiet, pe tabla sau in conditii concrete cand acestea exista). Cu raportorul se masoara in grade sexazecimale. Se introduc submultiplii gradului (minutul si secunda) si se subliniaza ca operatia de masurare este aproximativa si se insista ca elevii sa sesizeze ca domeniul functiei m este intervalul de numere reale [0,180^o]. Operatia de masurare a unghiurilor este o alta rampa de lansare spre numere irationale.

Se explica procedeul de efectuare a operatiilor de adunare si scadere a unghiurilor masurate in grade, minute si secunde, care se fixeaza apoi prin mai multe exercitii.

Un pas mai departe consta in definirea geometrica a adunarii si scaderii unghiurilor. In acest scop se introduc unghiurile adiacente. Definitia formala are trei conditii (varf comun, o latura comuna, celelalte doua laturi situate de o parte si de alta o dreptei care contine latura comuna), deci este mai greu de retinut. Este bine sa incepem cu desene in care apar situatiile favorabile dar si cele nefavorabile (contraexemple). Plecand de la un desen, introducem termenul de unghi suma (diferenta) echivalent cu egalitatile numerice m(AOC)+ m(COB) = m(AOB) si, similar, pentru unghi diferenta. In particular, apar unghiurile complementare si respectiv, suplimentare. Trebuie sa insistam ca elevii sa priveasca operatiile cu unghiuri atat geometric cat si aritmetic. Aspectul geometric este specific axiomaticii lui Hilbert si va fi intalnit in probleme in care masurile unghiurilor nu sunt date, dar este necesara operarea cu ele.

In sfarsit, se expliciteaza proprietatile functiei m si se procedeaza la fixarea lor. Acest ultim pas se poate amana incat proprietatile functiei m sa fie prezentate in cadrul axiomatic la o clasa de liceu. Consideram ca nivelul axiomatic ar putea fi parcurs in liceu. El nu prezinta dificultati didactice deosebite.