Colinearitate, concurenta, paralelism calcul vectorial in geometria plana

COLINEARITATE, CONCURENTA, PARALELISM

CALCUL VECTORIAL IN GEOMETRIA PLANA

In planul P consideram sistemul cartezian xOy in care este versorul axei Ox, iar este versorul axei Oy. (, ) se numeste baza ortonormata.

Definitie

Fie in planul P reperul (O, , ) si MIP

Notam .

Observam ca fiecarui punct MIP ii asociem vectorul sau de pozitie .

Daca M(x, y), atunci , adica coordonatele punctului M sunt coordonatele vectorului de pozitie . ().

Notam v_O, multimea vectorilor legati de punctul O.

1.1 Egalitatea a doi vectori legati (de pozitie)

Operatii cu vectori de pozitie

1.2Adunarea vectorilor de pozitie

Exemplu: Fie . Atunci .

1.3.Inmultirea cu un scalar a unui vector de pozitie.

Fie si

1.4. Coordonatele unui vector din plan

Fie un vector din plan

(fig. 11)

, deci

Prin urmare, daca A(x_A, y_A); B(x_B, y_B)

Atunci , deci

, sau folosind exprimarile analitice

;

Modulele (normele) vectorilor , vor fi:

; ;

Observatie Daca , atunci

1.5. Conditia de colinearitate a doi vectori de pozitie

Teorema 4

Demonstratie

;

si sunt colineari daca si numai daca exista astfel incat ceea ce implica , iar din faptul ca este baza, rezulta si sau , daca .

Daca x_B=0, atunci x_A=0; la fel din y_B=0 rezulta y_A=0.

1.6. Conditia de colinearitate a trei puncte

Teorema 5

Demonstratie

Intr'adevar A, B, C sunt colineare daca si numai daca vectorii si sunt colineari deci daca si numai daca exista astfel incat

si

, cu conditia ca si

Daca , atunci si , la fel daca , atunci si

1.7.Conditia de paralelism a doua drepte

Fie , , ,

Vom stabili conditia ca dreptele AB si CD sa fie paralele.

Dreptele respective sunt paralele daca si numai daca vectorii si sunt coliniari

si

Daca atunci si daca , atunci

2.1. Vectorul de pozitie al punctului care imparte un segment dat intr-un raport dat

Fie in plan punctele date A, B avand vectorii de pozitie si punctul MI(AB) a.i. . Avem urmatoarea

Teorema 6

Fig 12

Demonstratia rezulta direct din Teorema 2. Daca A (x_A, y_A); B (x_B, y_B) iar M(x_M, y_M) atunci din relatia de mai sus rezulta

Observatie

Daca M este mijlocul segmentului [AB], atunci si .

Ca o prima aplicatie a notiunilor prezentate, vom demonstra teorema lui Thalos.

2.2.Teorema lui Thales

(Teorema directa)

O paralela la un din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi ale triunghiului segmente proportionale.

Demonstratie

Presupunem ca MN||BC (MI(AB); NI(AC)).

Rezulta si sunt coliniari, deci exista astfel incat .

Sa presupunem ca si .

Atunci , deci , respectiv

Egalitatea vectoriala , devine sau sau sau

Tinand cont de faptul ca vectorii constituie baza rezulta deci , deci kl+k=kl+l deci k=l

Teorema reciproca

Demonstratie

Notam . Rezulta , deci si .

Din deducem ca vectorii si sunt colineari, deci dreptele MN si BC sunt paralele.

In continuare vom determina vectorul de pozitie al centrulii de greutate al unui triunghi

Stim ca daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci si pentru orice punct M din planul triunghiului, (vezi problema rezolvata)

Daca M este O (originea reperului cartezian xoy), atunci sau .

Prin urmare, vectorul de pozitie al centrului de greutate al triunghiuli ABC este

Concurenta medianelor unui triunghi

Fie triunghiului ABC, G centrul sau de greutate si AA' mediana din A.

Vom demonstra cu ajutorul vectorilor de pozitie ca punctele A, G, A' sunt colineare. Trebuie demonstrat ca a.i sau sau sau . Observam .

Am vazut in problema rezolvata 2 ca daca I este centrul cercului inscris in triunghiul ABC, atunci pentru orice punct M din planul triunghiului avem egalitate vectoriala , unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului.

Punem (originea reperului) si obtinem

sau folosind vectori de pozitie

si am obtinut expresia vectorului de pozitie al centrului cercului inscris in triunghiul ABC.

De asemenea, in problema rezolvata 3) am vazut ca daca O, H sunt centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul triunghiului ABC atunci .

3.4. Daca vom considera O chiar originea reperului, cu ajutorul vectorilor de pozitie egalitatea anterioara se scrie: 

si am obtinut expresia vectorului de pozitie al ortocentrului unui triunghi (cand originea reperului este chiar O).

Daca originea reperului este un punct notat M atunci

Aceasta egalitate scrisa cu ajutorul vectorilor de pozitie devine: sau

sau

sau

sau

, expresia vectorului de pozitie al ortocentrului unui triunghi intr-un reper cu originea definita de centrul cercului circumscris.

In finalul acestui capitol vom prezenta demonstratii vectoriale, pentru doua teoreme importante de geometrie plana: Teorema lui Menelaos si Teorema lui Ceva.

4.1. Teorema lui Menelaos

Fie M, N, P trei puncte situate pe laturile AB, BC respectiv AC ale triunghiului ABC, diferite de varfurile triunghiului. Atunci punctele M, N, P sunt colineare daca si numai daca

Demonstratie

Notam

Conditia de colinearitate pentru punctele M, N, P,   este echivalenta cu conditia de colinearitate pentru vectorii si .

Din

Din

De asemenea, rezulta

Din

Intrucat vectorii constituie o baza din , deducem:

Conditia de colinearitate pentru punctele M, N, P   este, prin urmare, echivalenta cu relatia obtinuta prin eliminare numarului real intre cele doua egalitati.

Din prima egalitate care intodusa in a doua egalitate , conduce la:

Teorema lui Ceva

Demonstratie

Notam .

Fie

Aplicand teorema lui Menelaos pentru triunghiul ABN si dreapta CM, obtinem

()

Aplicand teorema lui Menelaos in triunghiul ANC si dreapta BP, obtinem:

Concurenta dreptelor AN, BP, CM   este echivalenta cu faptul ca punctele D si E coincid, deci cu faptul ca

4.3. Probleme propuse

1) Se dau punctele A(2,2); B(-3,-1); C(3,-2)

a)      Daca I este mijlocul segmentului [AB] sa se determine componentele vectorului in baza .

b)      Punctele M, N I AB sunt a.i. si .

Aratati ca si .

c)Punctul GICI a.i. .

Sa se arate ca .

2) Fie vectorii . Determinati coordonatele vectorilor 

3) Fie vectorii . Exprimati coordonatele vectorilor in baza .

4) Fie paralelogramul ABCD, iar O centrul sau. Determinati coordonatele vectorilor in reperul unde P, Q, R, S sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA].

5) Demonstrati ca simetricele ortocentrului unui triunghi in raport cu mijloacele laturilor triunghiului se afla pe cercul circumscris triunghiului, diametral opus varfurilor acestuia.

6) Fie ABC un triunghi si MI(AB), NI(AC). Demonstrati ca dreapta MN trece prin centrul de greutate al triunghiului daca si numai daca .

7) Sa se determine , a.i. vectorii si sa fie colineari.

8) Fie vectorii , si punctul A(1,2).

a)      Precizati coordonatele punctelor B si C pentru care si .

b)      Calculati norma vectorului .

9) Fie punctele A(a,0) si B(0,b), unde a,bI(0,∞). Pe segmentul (AB) si considera punctul M a.i. .

Exprimati coordonatele vectorilor in reperul si deduceti relatia: OM²∙AB²=OA²∙BM²+OB²∙AM².

10) Fie ABCD un patrulater convex inscris in cercul de centru O. Notam H_A, H_B, H_C, H_D ortocentrele triunghiurilor BCD, CDA, DAB, ABC. Demonstrati ca patrulaterele ACH_AH_C si BDH_BH_D sunt paralelograme.

Solutii probleme propuse - 2.7

Fie M, N mijloacele segmentelor [AB], [CD]. Rezulta OM AB si ON CD , adica patrulaterul OMPN este dreptunghi.

4) Din teorema bisectoarei

Conditia necesara si suficienta ca triunghiurile ABC si A₁B₁C₁ sa aiba acelasi centru de greutate este

8) Notam , E mijlocul diagonalei AC, F mijlocul diagonalei BD, G mijlocul segmentului [EF].

Punctele E, F sunt fixe, deci si G este fix. Vectorul trece prin punctul fix G.

12)

Reciproc daca triunghiul este echilateral, atunci

Solutii probleme propuse2.10

Solutii probleme propuse4.3

Din cele doua rezulta

Coordonatele lui in baza

5) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, H ortocentrul sau, D mijlocul segmentului [BC] iar A' simetricul lui H fata de D.

Consideram un reper cu originea in O si

Tinand cont ca A' este simetricul lui H fata de , gasim imediat ca

ceea ce justifica faptul ca punctul A' se afla pe cercul circumscris triunghiului ABC in pozitie diametral opusa fata de A.

Punctele M, G, N sunt coliniare vectorii sunt coliniari I a I R a.i.

a -2 = si apoi se determina a

Rezulta: x_B - 1 = 4 ; y_B - 2 = 3 ; x_C - x_B = 5 ; y_C - y_B = -12 ;

X_B = 5 ; y_B = 5 ; x_C = 10 ; y_C = -7.

Relatia se verifica imediat printr-un calcul direct.

10) O este centrul cercului circumscris patrulaterului. Folosid relatia lui Sylvester, putem scrie:

Observam ca ceea ce justifica faptul ca patrulaterul cu varfurile in H_A, H_C, C, A este paralelogram.

Analog pentru celalalt paralelogram.