CUADRICE – Definitie, Cuadrice pe ecuatii reduse

1 .Definitie

2. Cuadrice pe ecuatii reduse

i. Sfera

ii. Elipsoidul

iii. Hiperboloidul cu o panza

iv. Hiperboloidul cu doua panze

v. Paraboloidul eliptic

vi. Paraboloidul hiperbolic

vii. Cilindrul

Definitie

Fie spatiul punctelor E₃ si fie un reper cartezian.

Definitie. Se numeste cuadrica multimea punctelor M(x, y. z) din spatiu cu proprietatea:

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0,  (1)

unde a_ij I , , , iar a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₁₃, a₂₃ nu sunt toti nuli.

Deoarece cuadricele sunt definite de ecuatii polinomiale de gradul al doilea in variabilele x, y, z, cuadricele se numesc suprafete algebrice de ordinul al doilea.

i. Sfera

Sfera este locul geometric al punctelor din E₃ egal departate de un punct fix, numit centrul sferei C(a, b, c).

Sfera este cuadrica de ecuatie redusa:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

cu centrul in punctul C(a, b, c) si raza R.

Daca centrul este in originea O(0, 0, 0), ecuatia se scrie:

x² + y² + z² – R² = 0.

Orice ecuatie de forma:

x² + y² + z² + mx + ny + pz + q = 0

reprezinta o sfera de centru C(–m/2, –n/2, –p/2) si raza

ii. Elipsoidul

Elipsoidul este cuadrica de ecuatie redusa:

a, b, c > 0. Intersectia cu planele de coordonate:

elipsa

elipsa

elipsa

Intersectia cu planele paralele cu planele de coordonate:

plan ||xOy:     z = z₀

T , z₀ I [–c, c]

pentru nu intersecteaza suprafata.

In mod similar se studiaza intersectia cu celelalte plane.

Intersectia cu axele de coordonate:

(Ox): T T x = a

T punctele de intersectie A(a, 0, 0) si A'(–a, 0, 0)

(Oy):

T punctele de intersectie B(0, b, 0) si B'(0, –b, 0)

(Oz):

T punctele de intersectie C(0, 0, c) si C'(0, 0, –c)

Punctele ( a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) se numesc varfurile elipsoidului.

Elipsoidul este o multime marginita de paralelipipedul [–a, a] × [–b, b] × [–c, c], deci este o multime inchisa.

Daca a = b, atunci intersectia elipsoidului cu planele z = z₀ reprezinta cercuri si in acest caz elipsoidul se numeste de revolutie.

iii. Hiperboloidul cu o panza

Hiperboloidul cu o panza este cuadrica de ecuatie redusa:

, a, b, c > 0

Intersectia cu planele de coordonate:

elipsa

hiperbola

hiperbola

Intersectia cu planele paralele cu planele de coordonate:

plan ||xOy:   z = z₀ T elipsa

T

plan ||Oz:   y = y₀ T hiperbola

plan ||yOz:   x = x₀ T hiperbola

Intersectia cu axele de coordonate:

(Ox): T x = a T punctele A(a, 0, 0) si A'(–a, 0, 0)

(Oy) T y = b T punctele B(0, b, 0) si B'(0, –b, 0)

(Oz) T T z² = –c Oz (nu intersecteaza axa Oz).

Hiperboloidul cu o panza admite 3 axe de simetrie si 3 plane de simetrie.

iv. Hiperboloidul cu doua panze

Hiperboloidul cu doua panze este cuadrica de ecuatie redusa:

, a, b, c > 0.

Intersectia cu axele de coordonate:

(Ox):  T (nu intersecteaza axa Ox)

(Oy) T (nu intersecteaza axa Oy)

(Oz) T z = cTpunctele A(0, 0, c) si A'(0, 0, –c)

Intersectia cu planele de coordonate:

(nu intersecteaza planul xOy)

hiperbola

hiperbola

Intersectia cu plane paralele cu planele de coordonate:

plan ||xOy;   z = z₀ ≥ 0 T z₀ I α, –c] [c, +

pentru nu intersecteaza.

Deci daca:

intersectia este o elipsa imaginara, deci nu intersecteaza,

intersectia este o elipsa reala

T punctele de intersectie (0, 0, c) si (0, 0, –c).

Deci semiaxele cresc cand creste.

plan ||Oz;   y = y₀ hiperbola

plan ||yOz   x = x₀ hiperbola

v. Paraboloidul eliptic

Paraboloidul eliptic este cuadrica de ecuatie redusa:

, a, b > 0

Dupa cum p > 0 sau p < 0, paraboloidul eliptic este orientat in partea pozitiva, respectiv negativa a axei Oz.

Consideram p > 0.

Intersectia cu planele de coordonate:

T z = 0   T x = 0 T y = 0 T 0(0, 0, 0)

T y = 0   T parabola

T x = 0   T parabola

Intersectia cu plane paralele cu planul de coordonate:

plan ||xOy;   z = z₀ T . (1)

Daca :

z₀ > 0, intersectia este o elipsa reala;

z₀ < 0 intersectia este o elipsa imaginara, deci planul nu intersecteaza paraboloidul;

z₀ = 0 atunci si x = 0, y = 0, deci punctul de intersectie este originea O(0, 0, 0).

plan ||xOz;   y = y₀ T parabola

plan ||yOz   x = x₀ T parabola

Deci paraboloidul eliptic admite:

• o axa de simetrie paralela cu Oz

• doua plane de simetrie xOz si yOz.

Observatie: Daca a = b, relatia (1) reprezinta un cerc si in acest caz paraboloidul se numeste de revolutie.

vi. Paraboloidul hiperbolic

Paraboloidul hiperbolic este cuadrica de ecuatie:

p > 0

Intersectia cu planele de coordonate:

T z = 0 T T

T sau

T y = 0 T parabola

T x = 0 T parabola

Intersectia cu plane paralele cu planele de coordonate:

plan ||xOy:   z = z₀ T ,z₀ > 0 hiperbola

plan ||xOz: y = y₀ T parabola cu axa de simetrie paralela cu Oz

plan ||yOz: x = x₀ T parabola cu axa de simetrie paralela Oz si deschiderea orientata catre z negativ

Intersectia cu axele de coordonate:

Ox T x = 0

Oy T y = 0

Oz T z = 0

Observatii

1. Cuadrica este nemarginita.
2. doua drepte in planul xOy situate pe suprafata.

vi. Cilindrul

Cilindrul este cuadrica de ecuatii:

a. Cilindrul eliptic generat de o dreapta variabila numita generatoare paralela cu Oz care se sprijina pe curba elipsa (numita curba directoare).

b. Cilindrul hiperbolic

c. Cilindrul parabolic

Cilindrul este reprezentat de o ecuatie de gradul al doilea in care lipseste variabila z si are proprietatea ca daca un punct M apartine cilindrului, atunci orice dreapta care-l contine pe M si este paralela cu Oz este la randul ei inchisa in cilindru.