Calculul razelor de convergenta ale unor serii de puteri

Calculul razelor de convergenta ale unor serii de puteri

. Sa se arate ca seriile de puteri, definite mai jos, au respectiv razele de convergenta specificate:

(a). .

(Asadar, functia exponentiala exp(x) este bine definita si uniform convergenta pe orice subinterval al axei reale).

Din convergenta absoluta a seriei deducem relatia:

. (*)

Aceasta relatie arata ca pentru orice avem .

(b).

(c).

(Seriile de puteri care definesc functiile trigonometrice si converg absolut si uniform pe orice subinterval al axei reale).

(d). Fie si numarul complex (evident, avem ). In seria de puteri definita in exercitiul (a) daca inlocuim cu respectiv cu si, folosim uniform convergenta seriilor de puteri si , obtinem formulele lui Euler:

si ;

respectiv,

si .

Intr-adevar, un calcul relativ simplu conduce la relatiile

si, dupa identificari, obtinem relatia .

Folosind relatiile lui Euler putem obtine unele formule uzuale de calcul. De exemplu, din relatia

,

prin identificarea partilor reale si imaginare, obtinem formulele cunoscute

;

;

Folosind identitatea fundamentala , observam ca functia se exprima numai cu puterile rationale ale lui .

Fie numarul complex , unde atunci, cu ajutorul formulelor lui Euler, din relatia (*) deducem

.

Din aceasta relatie obtinem modulul functiei dat de expresia , iar argumentul functiei este egal cu .

Stiind ca si , sa se calculeze primitivele si .

(e). .

(f). .

(g). (deci, seria este uniform convergenta pe )

(h). (deci, seria este uniform convergenta pe )

(i)., unde am folosit notatia ;

(seria este absolut si uniform convergenta pe orice interval inchis ).

(j). .

(seria este absolut si uniform convergenta pe orice interval inchis ).

(k). , .

. Sa se calculeze razele de convergenta pentru seriile de puteri definite mai jos:

i ..

Indicatie. Coeficientii seriei au forma , . Atunci raza de convergenta este egala cu . Deci seria este convergenta in multimea

ii ..

Indicatie. Coeficientii seriei de puteri sunt definiti de expresiile , si raza de convergenta este egala cu .

Deci, seria este convergenta in intervalul .

iii Seria intreaga are raza de convergenta .

iv .

Indicatie. Coeficientii seriei de puteri au forma si deci nu putem utiliza criteriul raportului de la serii de puteri deoarece nu are sens pentru orice .

Fie sirul . Deoarece rezulta ca acest sir nu are limita. Cum sirul are doua puncte limita (doua puncte de acumulare) si rezulta ca limita superioara a sirului este egala cu . Asadar, din criteriul radacinii lui Cauchy, deducem ca raza de convergenta a seriei de puteri este egala cu .

Altfel. Folosim rezultatele de la serii numerice. In acest scop notam termenul general al seriei cu , pentru oarecare dar fixat si, cu ajutorul criteriului raportului de la serii numerice, obtinem

.

Daca atunci si rezulta ca seria numerica este convergenta deci, seria este absolut convergenta.

Daca atunci si rezulta ca seria este divergenta.

Prin urmare, raza de convergenta a seriei este egala cu .

v)..

Indicatie. Fie , coeficientii seriei de puteri. Atunci, cu criteriul radacinii gasim

si deci, raza de convergenta a seriei este .

vi). unde (constanta).

Indicatie. Coeficientii seriei de puteri au forma

Deoarece nu putem forma rapoartele pentru orice , atunci nu exista .

Fie sirul Deoarece rezulta ca nici acest sir nu are limita cand . Cum sirul punctele de acumulare (punctele limita) si deducem ca limita superioara a acestui sir este egala cu . Atunci, potrivit criteriului radacinii rezulta ca raza de convergenta a seriei de puteri este egala cu

Altfel. Fie oarecare dar fixat. Atunci din criteriul raportului pentru seriile numerice cu termenul general obtinem . Asadar, daca atunci seria numerica este convergenta si daca atunci seria numerica este divergenta. Raza de convergenta a seriei este .

. Sa se determine raza de convergenta a seriei de puteri

.

Indicatie. Coeficientii seriei intregi au forma Rezulta ca

Prin urmare, sirul are doua puncte de limita (puncte acumulare) 0 si 1 si . Deci seria are raza de convergenta egala cu .

Altfel. Pentru ca ia valorile sau atunci pentru oarecare avem . Prin urmare, pentru seria este convergenta si deci seria este convergenta. Pentru , termenul nu converge la zero pentru si deci seria este divergenta. Deducem ca raza de convergenta a seriei este .

. Sa se determine raza de convergenta a seriei de puteri

constanta.

Indicatie. Pentru a determina raza este convenabil sa calculam raza de convergenta a seriei derivate , care este aceeasi cu a seriei , obtinuta prin inmultirea seriei derivate cu . Vom privi seria ca suma a seriilor si , care au respectiv razele de convergenta si .

Daca atunci si obtinem ca raza de convergenta a sumei celor doua serii este egala cu numarul .

Daca atunci si deci . In acest caz, pentru a preciza valoarile lui , fie , unde Atunci si daca vom presupune ca atunci astfel incat si seria numerica sa fie convergenta. Fie , termenul general al acestei serii convergente. Atunci avem

pentru orice , cu ales oarecare. Ultima inegalitate arata ca

(evident pentru ).

Ori aceasta concluzie este falsa de exemplu, pentru alegerea (cand ). Deci, daca si atunci raza de convergenta a seriei este egala cu .

. Sa se determine raza de convergenta a seriei de puteri

, constanta.

Indicatie. Fie termenul general al seriei de puteri. Atunci pentru fixat avem si deci, seria converge pentru orice , cu . Rezulta ca seria converge pentru si deci seria data este absolut convergenta in Prin urmare, putem afirma ca raza de convergenta verifica inegalitatea . Fie acum astfel ca . Deoarece , rezulta ca , cand si deci, seria este divergenta. In concluzie, obtinem raza de convergenta .

. Sa se determine raza de convergenta a seriei de puteri

.

Indicatie. Din inegalitatile rezulta ca seria converge absolut pentru si este divergenta pentru .