FUNCTIA RADICAL

FUNCTIA RADICAL

Definitie : se numeste functie radical ;

Proprietati : 1. Functia radical este strict crescatoare ;

Observatii : pentru n impar deci n=2k+1 functia radical este

2. Fuctia radical este bijectiva este inversabila ; inversa este   

;

3. Graficul y

x'    x

0

Ecuatii irationale sunt ecuatiile care contin necunoscuta sub semnul radical;

Algoritm de rezolvare:

Etapa I din conditiile de existenta a radicalilor se determina multimea din care fac parte solutiile ecuatiei;

II eliminarea radicalilor prin diferite metode, transformari, reducanduse la ecuatii deja cunoscute;

III se rezolva ecuatia (fara radicali) la care s-a ajuns in etapa II;

IV se precizeaza (prin verificare) care din radacinile ecuatiei obtinute sunt
radacinile ecuatiei irationale date;

Exercitii rezolvate:

Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare: C.E.;Ridicand la patrat ecuatia se transforma in forma Egalitatea este posibila daca si numai daca ,deci unicele solutii acceptabile ale ecuatiei sunt situate pe intervalul;Dupa o noua ridicare la patrat se obtine ecuatia: cu solutiile. Cum rezulta ca unica solutie a ecuatiei este x=2.Se verifica.

;

Rezolvare: se pune conditia se ridica ambii membri ai ecuatiei la puterea a III-a folosind formula

unde a+b=4 din ecuatia data si obtinem

de unde deducem sau ca Rezulta x=25.Este obligatorie verificarea solutiei obtinute in ecuatia data;

3.Ecuatia are multimea solutiilor a)

Rezolvare: se verifica imediat ca 1 si 2 sunt solutiile ecuatiei date.

Ecuatia se scrie echivalent sau cu conditia , pentru ecuatia devine , de unde rezulta ca orice x din intervalul este solutie.Raspuns

Sa se rezolve ecuatia

Rezolvare :conditia deci . Se noteaza x+2=y² ecuatia devine unde se ridica la puterea a treia ambii membri ai ecuatiei si obtinem y³-5y²+12y-12=0 Printre divizorii termenului liber cu ajutorul schemei lui Horner, gasim ca ecuatia are o singura radacina reala y=2. {n consecinta x=y²-2 x=2 este solutia cautata.

Sa se rezolve inecuatia:

Rezolvare: C.E.

Observatie: este necesar sa analizam semnul celor doi membri ai inecuatiei deoarece a>b

x - - 2 1 2 +

4 - x² - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - -

1 - x + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I Daca

II Daca x adevarat oricare ar fi x

Solutia inecuatiei date este S=S₁ U S₂ deci

Exercitii propuse:

1.Sa se rezolve ecuatiile:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.Sa se rezolve inecuatiile

a)

b)

c)