Calculul volumului paralelipipedului dreptunghic

Calculul volumului paralelipipedului dreptunghic

1. Volumul paralelipipedului dreptunghic cu muchii avand lungimi egale cu numere naturale este egal cu produsul lungimilor celor trei muchii ce pornesc dintr-un varf.

Demonstratie

Fie [ABCDA'B'C'D'] paralelipipedul dreptunghic

cu AB= a unitati , AD= b unitati si AA'= c unitati, unde

a,b,cIN sunt numere naturale oarecare. Impartim pe AB in

a parti egale, AD in b parti egale si pe AA' in c parti egale.

Prin aceste puncte de diviziune ducem plane paralele cu

fetele paralelipipedului . Se obtine astfel o descompunere

a paralelipipedului in cuburi cu interioarele disjuncte cu

muchia de lungime egala cu unitatea ( 1u). Conform

proprietatii de aditivitate volumul paralelipipedului va fi egal cu numarul acestor cuburi inmultite cu unitatea de volum. Deci , V= au bu cu = abc u³.( sau conform figurii 6 3=126 cuburi cu latura lungime egala cu unitatea).

Un exemplu destul de concludent pentru elevi este cubul RUBIK care este format din 64 de cuburi identice.

2. Volumul paralelipipedului dreptunghic cu muchiile avand lungimi egale cu numere rationale a,b,c I Q₊.

Demonstratie

Presupunem ;;, m,n,p,q,r,s IN. Daca t este c.m.m.m.c al numerelor n,q,s , atunci a,b,c, se pot scrie sub forma ;;cu m', p',r' I N*.     Vom sectiona apoi paralelipipedul cu plane paralele cu fetele la distante egale cu multiplii lui si vom obtine cuburi cu muchia de lungime egala cu pe care le vom numara.

Exemplu : ;;. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 2,3,1 este 6 . Deci ;;. Vom imparti pe a in 3 parti egale, pe b in 4 parti egale si pe c in 6 parti egale .Ducand plane paralele cu fetele prin aceste puncte de diviziune vom obtine 3 6 = 72 de cuburi cu muchia de . Cum intr-un cub cu muchia de 1 m sunt 6 6= 216 cuburi cu muchia de , volumul unui cub cu muchia de este de =. Deci volumul paralelipipedului va fi V=72 =

3. Volumul paralelipipedului dreptunghic cu muchiile avand lungimi egale cu numere reale a,b,c I R₊.

Demonstratie

Pentru a putea face accesibile consideratiile ce urmeaza , putem considera un paralelipiped dreptunghic cu muchiile a=1m, b=2m , c=m.

Dupa ce vom justifica , intuitiv doar atat cat este veridic , ca volumul acestui paralelipiped este 1 m³ , vom face observatia ca generalizarea problemei nu a fost restransa si ca la fel am fi procedat si in cazul cand doua dimensiuni ar fi fost exprimate prin doua numere rationale pozitive oarecare , iar cea de-a treia dimensiune printr-un numar irational oarecare.

De la algebra elevii stiu ca ,de asemenea mai stiu ca extragand radacina patrata

din 2 si oprindu-ne de exemplu la 5 zecimale obtinem ca 1,41421. Asadar putem scrie

.

Vom construi un paralelipiped cu dimensiunile: a = 1m , b = 2m , c = 1,4m. Stim ca volumul sau ( conform cazului 2 prezentat mai sus) este =1 1,4 m³ care, evident, este mai mic decat volumul paralelipipedului dat. Deci <V. Construim , de asemenea, un paralelipiped dreptunghic de aceeasi baza , dar cu inaltimea c =1,5m. Volumul sau este V₁=1 1,5 m³ si V<V₁.

( am aplicat proprietatea de monotonie a functiei volum). Diferenta V₁-₌ 2 0,1= 0,2 m³. Construim apoi cate un paralelipiped dreptunghic cu aceeasi baza dar cu inaltimile 1,41m si respectiv 1,42m. Volumele lor vor fi =1 1,41 m³, respectiv V₂=1 1,42 m³ si <V< V_2. Calculand diferenta     V₂ -=2 ( 1,42 - 1,41 )=0,02 m³. Continuand procedeul , diferentele vor fi de 0,002; 0,0002, 0,0002, . . la fiecare etapa ele micsorandu-se de 10 ori.

Cum obtinem astfel o aproximare a volumului V al paralelipipedului atat prin lipsa cat si prin adaos care in cele din urma vor duce la calculul volumului V cu o eroare extrem de mica , aproape zero.

Consideram ca procedeul prezinta interes pregatind elevii pentru intelegerea conceptului de limita si chiar pentru intelegerea definitiei numarului irational, ca limita a unui sir de numere rationale . Astfel de imagini intuitive vor reveni mereu in mintea elevilor atunci cand unele din dimensiunile corpurilor carora le calculam volumele sunt exprimate prin numere irationale.

Comparand modalitatea de a introduce volumul pornind de la cub cu cea in care incepem cu definirea volumului tetraedrului , putem spune ca ultima este cea mai riguroasa, nu suntem nevoiti sa admitem adevaruri nedemonstrate . Cea prezentata mai sus , apeleaza mai mult la imagini intuitive, dar unele propozitii privind congruenta multimilor de puncte din spatiu, numerele irationale, sunt acceptate fara demonstratie, ceea ce afecteaza rigurozitatea lor. La nivelul clasei a VIII-a , indiferent de calea care se adopta important este ca elevii sa inteleaga ca, definind volumul tetraedrului sau al cubului putem defini volumul oricarui poliedru si vom demonstra formulele pentru calculul volumelor poliedrelor particulare.