Ecuatia si inecuatia de gradul al II-lea

Ecuatia si inecuatia de gradul al II-lea

Forma unei ecuatii de gradul II

ax² bx + c = 0

Rezolvarea unei ecuatii de gradul II

∆ = b² - 4ac

Cazul I > 0 → ecuatia are doua radacini reale diferite (are doua solutii)

;

Cazul II = 0 → ecuatia are doua radacini reale egale (are o singura solutie)

Cazul III < 0 → ecuatia nu are radacini reale

Cazuri particulare de ecuatii de gradul II

1. Daca ecuatia nu are termen liber, metoda rapida de rezolvare este urmatoarea :

5x² + 7x = 0

Se da x factor comun : x (5x + 7) = 0

Egaland fiecate termen cu 0 se obtin cele doua solutii :

x = 0 → x₁ = 0

5x + 7 = 0 → x =

2. Daca lipseste termenul ce contine pe x, metoda rapida de rezolvare este urmatoarea :

4x² - 9 = 0 → 4x² = 9

Rezolvarea unei inecuatii de gradul II (Semnul unei functii de gradul II)

Se transforma inecuatia in ecuatie.

Se rezolva ecuatia de gradul II.

Se face tabelul de semn functie de ∆.

Cazul I : ∆ > 0

Cazul II : ∆ = 0

Cazul III : ∆ = 0

Din tabel se alege semnul corespunzator inecuatiei :

Daca inecuatia are semnul < din tabel se alege semnul cu paranteze rotunde

Daca inecuatia are semnul > din tabel se alege semnul +, cu paranteze rotunde

Daca inecuatia are semnul ≥ din tabel se alege semnul +, cu paranteze drepte la cifre

Daca inecuatia are semnul ≤ din tabel se alege semnul -, cu paranteze drepte la cifre

Exemplu :

→ ecuatia nu are solutii reale

Se construieste tabelul de semn

Din tabel se va alege semnul corespunzator semnului inecuatiei ≤ adica - → pentru ca se observa ca nu apare semnul - in tabel.

Functia de gradul II

Varful functiei este prima coordonata se numeste abscisa, a doua ordonata.

Valoarea minima sau maxima a functiei este

Graficul functiei este tangent axei OX daca

Distanta intre doua radacini este egala cu .

Semnul unei functii de gradul II :

Distanta intre punctele de intersectie ale graficului unei functii de gradul al II-lea cu axa ox se determina calculand diferenta dintre radacini.

Relatiile lui Viete pentru o ecuatie de gradul II

Fie ecuatia :

Relatiile lui Viete sunt :

Daca intr-un exercitiu apar radacinile x₁ si x₂ atunci este obligatoriu a se folosi relatiile lui Viete.

Se mai folosesc in calcule urmatoarele doua formule :

Daca se da si si se cere ecuatia de gradul II cu aceste radacini, atunci forma generala a ecuatiei este :

Daca se cere sa se descompuna o ecuatie de gradul II in produs de factori de grad I atunci se rezolva ecuatia, se obtin radacinile iar forma finala a ecuatiei scrisa sub forma de produs va fi :

Semnul radacinilor unei ecuatii de gradul II

Radacinile unei ecuatii au acelasi semn daca .

Radacinile unei ecuatii semne diferite daca .