Despre simbolurile (semnele) matematice

DESPRE SIMBOLURILE (SEMNELE) MATEMATICE

Orice text matematic, de orice nivel si in orice limba, este mai mult sau mai putin impregnat de o serie de semne (simboluri) care faciliteaza exprimarea si comunicarea notiunilor (obiectelor matematice), propozitiilor, relatiilor si calculelor matematice - deci intreaga Gandire Matematica.

Rolul utilizarii semnelor matematice nu se reduce numai la scrierea prescurtata si simbolica a propozitiilor matematice, deoarece numai cu ajutorul unui sistem de semne matematice s-au putut elabora calcule matematice ce s-au transformat uneori intr-un algoritm - premisa necesara aparitiei calculatoarelor electronice. Dezvoltarea notiunilor si metodelor matematice (deci, dezvoltarea matematicii) este strans legata de dezvoltarea simbolicii matematice. Semnele matematice ce reprezinta numerele (adica cifrele) au precedat aparitia scrisului. Calculul literal aparut in sec.XIV a fost precedat de reprezentarea unor marimi sub forma de segment - de exemplu in Elementele lui Euclid marimile erau notate cu doua litere (AB sau CD), iar, mai tarziu, la Arhimede, cu o singura litera. De multe ori simbolurile matematice, alese si folosite cu chibzuinta, faciliteaza chiar actul de creatie; sa ne gandim numai, spre exemplu, la calculul operational sau calculul tensorial ce orizonturi deschid mintii celui ce le manevreaza si utilizeaza in mecanica, fizica etc.

Textele matematice reprezinta o combinatie intre anumite simboluri si cuvintele limbii in care este scris acel text in scopul comunicarii informatiei matematice. Printre primele simboluri matematice pe care le invata copilul in clasele primare, sunt cele zece cifre: 0, 1, 2, , 9 si diversele moduri de asamblarea lor, prin concatenare, zecimalizare si exponentiere si semnele operatiilor cu numerele astfel construite: +; -; x (sau ); : (sau /); ; ; etc. Tot in primele patru clase primare, copilul invata anumite semne (notatii sau simboluri) pentru numarul important care reprezinta raportul intre lungimea unui arc si diametrul sau (=3,14159), sau simbolul "grad" ca in 30⁰ sau 45⁰, precum si o serie de grupuri de semne ca: ; ; ; =;< >; ; . Toate aceste semne si multe altele ce le invata un elev sau student in decursul instruirii sale, dau unei pagini dintr-o carte de matematica un aspect mistic care, de multe ori, produce repulsie pentru neinstruiti sau ramasi la un stadiu inferior cu studiile. Cat priveste rolul si importanta simbolurilor (semnelor) matematice s-au exprimat in decursul istoriei o serie de mari ganditori. Iata ce scria in lucrarea "Sfaturi pentru profesorii de matematica" N. I. Lobacevschi (1794-1856): "Dupa cum darul vorbirii ne imbogateste cu ideile altora, tot astfel limbajul semnelor matematice constituie un mijloc si mai perfect, mai precis si mai clar pentru a ne transmite unul altuia notiunile pe care le-am castigat, adevarurile pe care le-am dobandit si legatura dintre datele pe care le-am descoperit. Insa, dupa cum o idee poate fi falsa daca intelegem in alt mod cuvintele respective, tot asa si in matematica ajungem la o concluzie gresiti indata ce nu luam semnele matematice in intelesul lor adevarat".

Simbolurile matematice fiind intim legate de matematica, ele au aparut odata cu ea, iar dezvoltarea matematicii pe parcursul a doua milenii si jumatate a dezvoltat o imensa varietate de simboluri pentru aritmetica, geometrie, analiza matematica, algebra etc. De aici rezulta si istoria milenara si zbuciumata a simbolurilor matematice pana s-a ajuns la simbolistica actuala folosita in matematica zilelor noastre. Aproape fiecare simbol matematic actual isi are istoria sa intinsa uneori pe cateva sute de ani pana s-a ajuns la forma actuala. De exemplu simbolul sau isi are evolutia sa intinsa pe aproape 400 de ani (de la Leonardo din Pisa 1220, pana la olandezul A.Girard 1629). Analog, simbolul "=" isi are evolutia pana la actuala sa forma, intinsa pe aproape 200 de ani. La fel si cu multe alte simboluri. O interesanta si instructiva lucrare, care analizeaza evolutia simbolurilor matematice a fost scrisa de reputatul matematician si profesor american de la Universitatea din California, FLORIAN CAJORI, aparuta in 1929 in doua volume. Contributii la edificarea unei simbolistici matematice adecvate au adus aproape toti creatorii veritabili din matematica: Euclid, Arhimede, Diofante, Vičte, Newton, Descartes, Leibnitz, J.Bernoulli, Euler, Gauss, Cayley, Cauchy, Weierstrass etc. In literatura matematica din tara noastra se remarca aparitia la Edit. Sigma (in 2002) a unei interesante si utile lucrari a prof. Gheorghe Rizescu, intitulata "Simbolurile si ".

Edificarea simbolicei algebrei a avut loc in perioada secolelor XIV-XVII, fiind determinata mai ales de succesele aritmeticii aplicate si de studiul ecuatiilor, iar Descartes in 1637 a dat semnelor algebrice forma actuala: notand necunoscutele cu litere de la finele alfabetului latin: x, y, z, iar marimile date cu litere de la inceputul alfabetului latin: a, b, c. La fel pentru puteri, pentru scrierea coeficientilor, a monomului, polinomului etc.

In sec.XVII, odata cu aparitia calculului diferential si integral in lucrarile lui Newton si Leibnitz a aparut si o simbolistica specifica care difera la cei doi creatori. Simbolica: etc., introdusa de Leibnitz, s-a dovedit mai utila si mai adecvata decat cea introdusa de Newton pentru calculul fluxiunilor cum a numit el calculul derivatelor. Leibnitz acorda o mare atentie alegerii simbolurilor matematice. Iata ce sublinia el: "Arta generala a semnelor sau arta notatiilor, constituie un ajutor miraculos, deoarece descatuseaza imaginatia . . Trebuie sa avem grija ca notatiile sa fie comode pentru cercetari. Acesta este cazul in mare parte atunci cand notatiile exprima pe scurt si reflecta oarecum esenta cea mai intima a obiectivelor. In acest caz se micsoreaza uimitor efortul de gandire". Un rol deosebit in crearea simbolicei matematice l-a avut Euler. El a introdus pentru prima oara notiunea de variabila, semnul de functie f(x), functiile trigonometrice sin, cos, tg; notatia a, b, c pentru laturile unui triunghi; A, B, C pentru unghiurile unui triunghi; constantele e, ; i = etc. Meritul lui Euler in edificarea simbolicei matematice este enorm.

In secolul al XIX-lea, odata cu impetuoasa dezvoltare si diversificare a matematicii (fundamentarea analizei, mai ales prin Cauchy, crearea geometriilor neeuclidiene, a geometriei afine si proiective, a geometriei diferentiale prin Gauss, a algebrei moderne prin Galois etc.) rolul simbolicei creste si mai mult. Apar o serie de simboluri noi matematice: (pentru vector); pentru determinant; pentru congruenta; pentru apartenenta; conventia cu indicii muti a lui Einstein, simbolul lui Legendre in teoria numerelor etc. Efectul de bolta al simbolicei matematice apare odata cu crearea teoriei multimilor de catre G. Cantor unde era nevoie de o serie de semne noi. Enorma crestere si varietate a simbolurilor matematice duce implicit la necesitatea standardizarii semnelor matematice, mai ales ca fiecare matematician isi avea notatiile si simbolurile sale. Aparitia logicii matematice la finele sec. XIX, a facilitat o clasificare a simbolurilor matematice astfel:

A) semne pentru obiectele matematice: (pentru multimile numerice fundamentale: etc)

B) semne pentru operatii op. lui Lapalce; operatii in calcului vectorial, matricial; semnele ; ; simbolul lui Konecker ; simbolurile lui Cristoffel etc.

C) semne auxiliare pentru asocierea semnelor fundamentale (diversele tipuri de paranteze etc.)

Iata un scurt tabel cu unele simboluri din matematica actuala: