Derivarea si integrarea seriilor de puteri

Derivarea si integrarea seriilor de puteri

. Fie seria de puteri .

(a). Sa se determine raza de convergenta a seriei cat si multimea de convergenta a acestei serii.

(b). Sa se arate ca, pe multimea de convergenta, suma seriei este functie continua si indefinit derivabila.

(c). Daca , atunci seria este integrabila termen cu termen.

(d). Aratati ca seria numerica este convergenta si are suma egala cu .

Solutie. (a). Seria de puteri are termenul general , format din functii continue si derivabile. Coeficientii seriei de puteri sunt egali cu . Raza de convergenta a seriei de puteri este:

.

Asadar, seria de puteri este absolut si uniform convergenta pe multimea , unde , iar suma seriei este functia continua . In punctele , care reprezinta capetele intervalului de convergenta, avem: pentru , obtinem seria numerica convergenta , iar pentru , obtinem seria numerica divergenta . Deci, multimea de convergenta a seriei de puteri este si , .

(b). Seria derivatelor este formata din functii continue si fiind uniform convergenta pe multimea , atunci suma acestei serii este functia continua . Avem , pentru orice .

(c). Pe orice interval inchis inclus in seria este uniform convergenta si avem

.

(d). Daca , din ultima relatie obtinem .

Observatia 4.3.1. Fie functia . Dezvoltarea functia in serie de puteri, dupa puterile lui , are forma (s-a folosit seria de puteri de la exercitiul (4.e))

,

oricare ar fi cu ; deci, seria este obsolut si uniform convergenta in multimea . Seria de puteri obtinuta, datorita teoremei 2, poate fi integrata termen cu termen pe orice interval inchis continut in . Luand cate o primitiva in ambii membrii ai relatiei

,

obtinem

,

deci, putem scrie

, , constanta.

Constanta de integrare se poate determina, de exemplu, observand ca pentru , seria este convergenta avand suma egala cu zero. Avem .

Asadar,

.

Luand cate o primitiva in ambii membri ai ultimei egalitati obtinem (seria este uniform convergenta)

.

.

. Fie functia

(a). Sa se dezvolte functia in serie de puteri dupa puterile lui .

(b). Determinati multimea de convergenta a seriei respective.

(c). Studiati posibilitatea integrari si derivarii termen cu termen a seriei de puteri obtinuta.

Solutie. (a). Functia poate fi scrisa sub forma .

Inlocuind in seria geometrica cu , obtinem seria de puteri:

.

(b). Seria de puteri are raza de convergenta si este absolut si uniform convergenta pe multimea , oricare ar fi . Multimea de convergenta este . Pe multimea , seria de puteri este divergenta.

(c). Seria de puteri obtinuta este uniform convergenta oricare ar fi si deci, poate fi integrata termen cu termen pe orice interval inchis . Fie . Integrand seria de puteri pe intervalul obtinem o noua serie de puteri, uniform convergenta pe , de forma

.

In intervalul de convergenta, suma seriei este functie continua si indefinit derivabila.

. Determinati intervalul de convergenta al seriilor de puteri:

(a). .

(b). .

(c). .

(d). .

(e). .

(f). .

4. Schimbarea indicelui de insumare a seriei. Indicele de insumare intr-o serie de puteri este un indice fictiv (pe post de marioneta) intocmai ca variabila de integrat la integrala definita.

(i). De exemplu, in seria de puteri se poate scrie

.

(ii). Seria de puteri

, (1)

poate fi scrisa a.i. sa aiba termenul generic egal cu in loc de . Pentru aceasta notam

si pentru.

si avem

. (2)

(iii). In cazul seriei de puteri,

, (3)

daca dorim sa o scriem cu termenul generic , vom pune:

si pentru

si atunci seria de puteri poate fi scrisa sub forma

, (4)

(iv). Identitatea

, (5)

cu notatiile:

() avem ;

() avem ,

poate fi scrisa astfel:

.

Ultima identitate se scrie

. (6)

Din (6) obtinem identitatile

Altfel. Identitatea (5) se poate scrie sub forma

. (5')

Daca notam cu ; pentru si identitatea (5') se va scrie

.

Desigur, identitatea (5) poate fi scrisa si sub forma

. (5')

Daca notam cu ; pentru si identitatea (5') se scrie

.