Ariile suprafetelor poligonale

ARIILE SUPRAFETELOR POLIGONALE

In predarea acestei teme nivelul intuitiv corespunde claselor I-V si deci premerge studiului propriu-zis al geometriei. Mentionam, totusi, cateva obiective care trebuie atinse la acest nivel pentru a se trece apoi fara efort la nivelul rational neformalizat.

1. Formularea conceptului de arie. Stabilirea si fixarea terminologiei uzuale.

2. Intuirea faptului ca figurile congruente au aceeasi arie.

3. Intuirea si folosirea proprietatii de aditivitate a functiei arie.

4. Deprinderea de a calcula ariile unor suprafete poligonale simple si de a opera transformari de unitati de masura ale ariei.

Aceste obiective se realizeaza prin activitati practice (care pot include si jocuri) in care elevul este pus sa manipuleze modele concrete. Modalitati    de realizare a acestor obiective ar trebui sa aiba ca baza teoretica ideile lui Piaget privind formarea conceptelor fundamentale la copii.

Nivelul rational neformalizat are ca obiective cunoasterea de catre elevi a demonstratiilor pentru formulele de calcul de arii pentru suprafete poligonale incepand cu cele simple: triunghi, dreptunghi, paralelogram etc., precum si consolidarea proprietatilor functiei arie, fie ca acestea sunt explicitate sau nu.

Exista doua modalitati importante de realizare a acestor obiective, diferentiate prin punctul de pornire: aria triunghiului si, respectiv, aria dreptunghiului (patratului). Fiecare din aceste modalitati poate avea doua variante depinzand de reluarea sau nereluarea problematicii privind aria la nivel axiomatic, formalizat. Apar astfel patru posibilitati esentiale de predare a acestui subiect la clasa a VII-a . Schitam ordinea de desfasurare a activitatilor in fiecare din cele patru situatii.

1) Punct de plecare: aria triunghiului

- Se demonstreaza ca produsul dintre lungimea unei laturi a unui triunghi si inaltimea corespunzatoare este acelasi oricare ar fi latura si inaltimea corespunzatoare ei.

- Se defineste aria triunghiului.

- Se observa ca doua triunghiuri congruente au arii egale.

- Se demonstreaza ca raportul ariilor a doua triunghiuri asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare.

- Se demonstreaza o varianta simpla a proprietatii de aditivitate:

(fig. 1)

Fig. 1

- Se arata ca pentru un patrulater (fig. 2), avem .

Fig. 2

- Se defineste aria patrulaterului.

- Se deduc formulele de calcul pentru aria paralelogramului (dreptunghi, romb, patrat) si a trapezului.

- Se propun probleme care sa trateze situatii particulare de aditivitate a ariei pentru a sugera forma generala a acestei proprietati precum si ideea ca prin "triangulizarea" unei suprafete poligonale (convexe) putem obtine aria ei ca suma ariilor triunghiurilor care o compun. Acest fapt va servi la deducerea formulei de calcul a ariei unui poligon regulat cu n>4 laturi.

Observam ca pe calea propusa punem pe elevi in situatia de a demonstra foarte multe, aspect favorabil pentru formarea lor si totodata ii plasam intr-o pozitie de pe care pot sesiza proprietatile fundamentale ale functiei arie (neexplicitate totusi) si modul in care ele intervin in definirea ariei si in deducerea formulelor de calcul.

2) Punct de plecare: aria triunghiului

Lucram in ipoteza ca problematica ariei figurilor plane nu se mai reia la nivel axiomatic formalizat. Este deci necesara o insistenta mai mare pe "functia arie".

Ordinea de prezentare poate fi urmatoarea:

- Se introduce termenul de suprafata poligonala simpla: poate fi descompusa intr-un numar finit de triunghiuri care au doua cate doua interioarele disjuncte.

- Se defineste functia arie ca o functie pe multimea suprafetelor poligonale simple cu valori reale (a se vedea definitia de mai jos). Ca figura unitate de arie se poate lua triunghiul dreptunghic cu catetele de 1 si respectiv 2 unitati de lungime. Se poate folosi limbajul specific pentru functii introdus deja la Algebra.

Se defineste aria triunghiului (ca la 1) ).

- Se demonstreaza ca definitia data conduce la o functie arie pe multimea triunghiurilor (doua triunghiuri congruente au aceeasi arie si proprietati de aditivitate, unele date in 1) ca probleme).

- Se extinde functia arie la patrulatere prin justificarea invariantei la triangulizari si se sugereaza extinderea ei la suprafete poligonale simple. Aici raman multe aspecte fara demonstratie.

- Se deduc formulele de calcul pentru ariile suprafetelor poligonale simple in ordinea si maniera de la 1).

Observam ca materia vizand variantele 1) si 2) este aproximativ aceeasi. Punctele de vedere diferite induc schimbari in forma si ordinea de prezentare.

3) Punct de plecare: aria dreptunghiului

- Se defineste aria dreptunghiului ca produsul dintre lungimea si latimea sa.

- Se demonstreaza apoi formulele de calcul pentru aria unui triunghi dreptunghic (o doime dintr-un dreptunghi), a unui triunghi oarecare prin descompunerea in suma (diferenta) de triunghiuri dreptunghice, apoi a paralelogramului si trapezului.

- Problemele propuse pun in evidenta proprietati ale functiei arie acceptate intuitiv si folosite ca atare mai sus.

Varianta aceasta este prea mult simplificata. Simplificarea provine din aceea ca am acceptat o ipoteza foarte tare: formula pentru aria dreptunghiului.

Putem lua ca premisa ceva mai putin: aria patratului de latura a este . Pentru a deduce formula ariei unui dreptunghi de dimensiuni a si b completam dreptunghiul la un patrat de latura (fig. 3). Cele doua dreptunghiuri formate sunt congruente si acceptam intuitiv ca au aceeasi arie. Proprietatea de aditivitate (subinteleasa intuitiv) conduce la egalitatea (a+b)²= a²+b²+ 2A de unde obtinem A= ab.    Fig. 3

Se continua apoi ca mai sus.

4) Punct de plecare: aria dreptunghiului

Aceasta varianta se poate folosi, de asemenea, in cazul in care nu se mai trateaza nivelul axiomatic.   

- Se introduce notiunea de suprafata poligonala simpla.

- Se defineste functia arie si se accepta existenta ei (se dau proprietatile functiei arie ca proprietati fundamentale sau axiome).

- Se deduce formula de calcul pentru aria unui dreptunghi. Anume, se arata mai intai ca ariile a doua dreptunghiuri de lungimi egale se raporteaza ca latimile lor si apoi se aplica aceasta comparand dreptunghiul cu patratul unitate. Demonstratia este destul de riguroasa dar face apel la proprietatea lui Cantor conform careia intre orice doua numere reale exista un al treilea, deci nu putem evita aspecte de structura a multimii numerelor reale.

- Se deduc apoi formulele de calcul pentru ariile triunghiului, paralelogramului etc. ca la 3)

In programele analitice construite in spirala (cum este cazul programei romanesti) problematica legata de arii se reia si se insista pe nivelul axiomatic.

Sistemele axiomatice (Hilbert sau Birkhoff) permit definirea interiorului unui poligon convex si apoi a unei suprafete poligonale convexe ca reunire a liniei poligonale cu interiorul poligonului convex. Mai general, se pot considera suprafete poligonale definite ca reuniuni finite de suprafete poligonale convexe care, luate doua cate doua, au interioare disjuncte. Echivalent, se spune ca o suprafata poligonala se descompune intr-un numar finit de suprafete poligonale convexe. In particular, avem suprafete triunghiulare, suprafete patrulatere s.a.m.d. Printr-o inductie finita dupa numarul laturilor n se demonstreaza ca o suprafata poligonala convexa cu n>3 laturi se descompune in 2−n suprafete triunghiulare si, in consecinta, orice suprafata poligonala se descompune intr-un numar finit de suprafete triunghiulare. Asadar, ele sunt simple in sensul definit anterior.

Numind unitate de suprafata un patrat U de latura 1 se introduce functia arie definita pe multimea S a tuturor suprafetelor poligonale simple.

O functie A S R₊ cu proprietatile proprietatile:

Daca suprafetele poligonale S₁ si S₂ I S sunt congruente atunci A(S₁)= A(S₂)

Daca suprafata poligonala S se descompune in suprafetele S₁ si S₂ cu interioarele disjuncte atunci A(S)= A(S₁) + A(S₂)

Daca U este o unitate de suprafata atunci A(U)=1.

se numeste functie arie

Se reformuleaza, fara demonstratie

Teorema. Daca unitatea de suprafata U este fixata, atunci exista o singura functie arie.

Demonstratia acestei teoreme revine la a arata ca aria unei suprafete poligonale nu depinde de "triangulizarile" ei.

Formulele de calcul se stabilesc similar cu varianta 3) dupa ce se arata ca aria patratului de latura a este a². Pentru a rational, prin divizare in patrate mai mici, se obtine usor formula.

Pentru a irational apar dificultati conceptuale in care structura multimii numerelor reale este din nou implicata. .

Observatie. Se pare ca este mai accesibil sa deducem mai intai aria dreptunghiului ca in varianta 4).

Functiile lungime si arie se extind la figuri mai complicate decat cele discutate mai sus. Astfel, functia lungime se extinde la liniile curbe (in particular la cerc), iar functia arie se extinde la regiuni plane marginite de linii curbe (in particular la discuri). Nu ne ocupam de aceste extensiuni, in particular, de lungimea cercului si aria discului pentru ca in scoala generala ele nu pot depasi nivelul intuitiv si retinerea mecanica a formulelor. Evident ca unele consideratii de natura intuitiva cu menirea de a favoriza retinerea formulelor, sunt binevenite. Astfel de observatii, mai mult sau mai putin extinse, se gasesc, de obicei, in manuale, indiferent de modalitatea de abordare a ariilor suprafetelor poligonale.

Exista numeroase incercari de a prezenta riguros lungimea si aria cercului la nivel elementar, prin exploatarea proceselor de trecere la limita implicate in aceste notiuni. Multe din acestea sunt foarte interesante si sunt accesibile elevilor foarte buni. Fiind, totusi, complicate, ele nu pot constitui o pregatire pentru intelegerea notiunii de limita, care se poate explica pe situatii mai simple. Consideram ca revenirea asupra lungimii si ariei cercului dupa studiul limitelor de siruri si functii este extrem de favorabila sub aspect formativ, pentru o mai buna integrare a cunostintelor.

Nu putem incheia acest paragraf fara a ne referi la problemele de geometrie in care notiunea de arie este implicata.

Pe langa problemele-exercitii de aplicare a formulelor de calcul si a celor in care se cer diverse relatii cu arii, semnalam ca notiunea de arie poate servi la demonstrarea unor teoreme sau rezolvarea unor probleme care prin enunt nu trimit sub nici o forma la aceasta notiune. Fenomenul este suficient de prezent pentru a se putea vorbi de metoda areolara ca metoda de rezolvare a unor probleme de geometrie.

Sarcina de a introduce o clasificare a problemelor rezolvabile prin metoda areolara este foarte dificila. Se poate doar observa ca mai multe dintre aceste probleme se refera la relatii metrice. Astfel, exista mai multe demonstratii prin arii ale teoremei lui Pitagora, a teoremei fundamentale a asemanarii . Prin consideratii de arii se obtin formulele intr-un triunghi (notatii standard). Pentru lungimea bisectoarei din varful A al unui triunghi se obtine formula

Unele relatii aparent complicate sunt consecinte ale unor relatii simple cu arii.

Fie un triunghi ABC, un punct M in planul sau si A' intersectia dreptelor AM si BC. Atunci

(1)

(2)

Pentru a demonstra (1) proiectam B si C pe A'A in punctele E si, respectiv, F. O asemanare de triunghiuri ne da

Pentru a obtine (2) proiectam A si M pe BC in A₁si M₁ , respectiv, si avem:

.

Consecinte ale relatiei (1):

- Pentru M≡A sau M≡ A' obtinem

(1')

iar pentru A' mijlocul lui BC gasim S_ABA' =S_ACA'

- Fie A' piciorul bisectoarei interioare (exterioare) din A. Din (1') obtinem ,

pentru ca unghiurile BA'A si AA'C fiind suplimentare au acelasi sinus. Am gasit astfel teorema bisectoarei.

- Fie B' si C 'intersectiile dreptelor BM cu AC si CM cu AB. Atunci avem

(3) (relatia lui Ceva)

Se poate arata prin reducere la absurd ca relatia lui Ceva asigura concurenta dreptelor cand punctele A', B', C' sunt pe laturile triunghiului ABC sau doua sunt pe prelungirile laturilor si unul pe o latura.

Ca o consecinta a teoremei bisectoarei se obtine concurenta bisectoarelor.

- Combinand (1) cu (2), cu notatiile folosite se obtine usor

(4) (relatia lui Van Aubel).

Semnalam urmatoarele consecinte ale relatiei (2). Cu notatiile de mai sus avem:

.

Pentru M ≡ G, centrul de greutate al ΔABC , relatia (5) este banal verificata. In acest caz se obtine, de asemenea, ca . Interesant este ca G este singurul punct din planul triunghiului ABC cu aceasta proprietate.

- Pentru M ≡ I , centrul cercului inscris in ΔABC , deoarece , relatia (5) se reduce la

(6)

Relatii similare implicand razele cercurilor exinscrise pot fi de asemenea stabilite .