Limite de functii reale de o variabila reala

1. Limite de functii reale de o variabila reala.

Definitie. Fie o functie reala de o variabila reala si un punct de acumulare pentru . Spunem ca numarul este limita functiei in punctul si scriem , daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. .

Observatie. (1). Se observa ca in punctul functia nu este neaparat definita si daca este definita atunci in definitia limitei se ia .

(2). Daca se tine seama de definitia vecinatatii unui punct, atunci este limita functiei in punctul daca si numai daca pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. oricare ar fi si sa avem .

(3). Numarul este limita functiei in punctul daca si numai daca oricare ar fi sirul de puncte din , cu si sa avem .

Limita exista si este finita daca si numai daca astfel ca, oricare ar fi , si sa avem .

Limita functiei in punctul este (respectiv ) si scriem , daca si numai daca astfel ca, oricare ar fi , cu sa avem (respectiv ) sau echivalent pentru orice interval exista un interval centrat in a.i. oricare ar fi sa avem .

Limitele laterale finite ale functiei in , punct de acumulare pentru , se definesc astfel:

limita la dreapta: a.i. oricare ar fi punctul , cu sa avem .

limita la stanga: a.i. oricare ar fi , cu sa avem .

Propozitie. Fie o functie reala de o variabila reala si un punct de acumulare pentru . Daca limita functiei in punctul exista, atunci aceasta limita este unica.

Demonstratie. Daca are limita in punctul , atunci oricare ar fi sirul , , avem , deci toate sirurile au limita unica .

Propozitie. (1). Daca atunci ;

(2). Daca atunci (deoarece daca );

(3). Daca atunci este posibil ca sa nu existe;

Exemple:

(a). nu exista, dar ; (b). nu exista, dar .

Observatie. Fie si . Atunci cand dorim sa punem in evidenta unele informatii despre comportarea acestor functii in punctul , folosim uneori notatiile:

). (citim: functiile si sunt asimptotic echivalente cand ) daca si numai daca

.

). (citim: functia are un ordin mai mic decat functia , cand ) daca si numai daca .

). (citim: functia are acelasi ordin cu functia , cand ) daca si numai daca

unde este o constanta independenta de .

Evident, in aceste definitii admitem ca ambele functii sunt bine definite intr-o vecinatate si diferite de zero in orice , exceptand eventual cazul .

Exemple

) deoarece .

) deoarece .

) . 4) .

) . 6) .

2. Functii reale continue de o variabila reala

Definitie. Fie o functie reala de o variabila reala si un punct de acumulare pentru . Spunem ca functia este continua in punctul daca limita lui in este egala cu , adica

.

Teorema. (caracterizarea continuitatii intr-un punct). Fie si un punct de acumulare pentru . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

functia este continua in punctul ;

(2) pentru orice vecinatate exista o vecinatate a.i. ;

(3). a.i. oricare ar fi , cu sa avem ;

(4). oricare ar fi sirul de puncte din si sa avem ;

oricare ar fi vecinatatea atunci este o vecinatate a lui inclusa in ; altfel spus, functia intoarce vecinatatile din ale lui in vecinatati ale lui din .

Functia se numeste continua pe daca si numai daca este continua in orice punct din .

Functia este continua pe , daca si numai daca oricare ar fi multimea deschisa ,

atunci este multime deschisa in (definitia globala a continuitatii).

Daca nu este continua in punctul , atunci spunem ca este discontinua in sau ca punctul este punct de discontinuitate pentru . Deoarece este continua in punctele izolate ale lui , atunci orice punct de discontinuitate al lui este punct de acumulare pentru si evident .

Observatie. Daca un punct nu apartine domeniului de definitie al lui , atunci nu are sens sa se puna problema continuitatii sau discontinuitatii in acest punct, chiar daca este punct de acumulare pentru domeniul de definitie al lui .

Daca este discontinua in punctul si exista limite laterale si , finite si , atunci este punct de discontinuitate de speta intai. In acest caz diferenta

, (1.1)

se numeste saltul lui in .

In caz contrar, punctul se numeste punct de discontinuitate de a doua speta.

Functia se numeste continua la stanga (respectiv, continua la dreapta) in , daca (respectiv . Asadar, rezulta ca functia este continua in daca si numai daca exista limitele laterale ale lui in si avem .

Definitie. Fie , doua multimi si functia . Spunem ca functia realizeaza un omeomorfism de la la , daca se verifica conditiile:

functia este bijectiva;

functia si functia inversa sunt functii continue.

Exemple. (1). Functia , definita prin este un omeomorfism de la intervalul la intervalul si are inversa , definita prin , oricare ar fi .

Fie functia , definita prin , . Vom nota cu si functiile coordonate ale lui . Atunci

(1). este functie continua;

(2). si , unde este cercul trigonometric.

(3). este functie injectiva pe si pe , adica restrictiile si sunt functii injective si corespondenta prin intre si cercul trigonometric este omeomorfism.

(4). Multimea , formata din parametrizarea , si din imaginea din a parametrizarii: care se numeste drum parametrizat din .

Demonstratie. (1). Fie proiectiile canonice, , , definite prin si si functiile . Atunci continua si derivabila daca si numai daca proiectiile sunt functii continue si derivabile.

(2). Aratam incluziunea. Fie , atunci exista astfel incat sa avem . Deci, , si atunci , de unde rezulta ca .

Pentru a arata incluziunea , fie oarecare si . Atunci si avem si .

Definim . Atunci, din relatia obtinem ca , de unde rezulta .

Avem situatiile:

(i). daca atunci ;

(ii). daca atunci ; asadar, .

Observatie. Continuitatea unei functii este o notiune punctuala, ea depinde de fiecare punct in care este definita functia. In continuare vom defini notiunea de uniform continuitate, care depinde de intreaga multime pe care este definita functia.

Definitie. Fie , o multime care nu contine puncte izolate si o functie. Spunem ca functia este uniform continua pe , daca

a.i. oricare ar fi , cu sa avem ;

Se demonstreaza imediat, afirmatiile:

O functie uniform continua pe este continua pe .

Daca functia este lipschitziana pe , adica,

daca exista a.i. , oricare ar fi ,

atunci este uniform continua pe (se alege ).

functia nu este uniform continua pe daca si numai daca cu proprietatea ca

exista doua puncte din , fie acestea si , a.i. .

Teorema lui Weierstrass . Fie , o multime compacta si o functie continua pe , atunci functia este marginita si isi atinge marginile.

Demonstratie. Aratam ca este marginita. Presupunem prin absurd canu este marginita pe si, pentru a fixa ideile vom presupune ca nu este marginita superior. Atunci exista un sir de puncte din , cu proprietatea ca sirul . Cum sirul este continut in care este marginita, rezulta ca este marginit, deci contine un subsir care este convergent (lema lui Cesaró) catre punctul (multime inchisa). Deoarece este continua pe , atunci este continua in si putem scrie ca . Pe de alta parte, subsirul , al sirului care este convergent si tinde la , va tinde catre . Asadar, avem ceea ce contrazice faptul ca ia valori in , deci este marginita superior. Analog se arata si marginirea inferioara a lui . In consecinta, exista , a.i. , . Desigur, si . Aratam ca exista , a.i. si respectiv . Vom arata prima afirmatie, adica exista a.i. . In caz contrar, am avea , oricare ar fi . Definim functia , . Atunci este functie continua pe si ia valori pozitive. Asadar, este

marginita pe , adica exista a.i. , oricare ar fi .

Rezulta ca , ceea ce contrazice faptul ca este cel mai mare minorant .

Observatie. Daca multimea nu este inchisa, dar este marginita, atunci nu este neaparat marginita, sau daca este marginita, nu isi atinge marginile. De exemplu, functia , definita prin , este continua si marginita pe , insa nu isi atinge marginea superioara care este egala cu si nici marginea inferioara egala cu . Functia , definita prin , este continua pe si nu este marginita superior, pentru ca .

Teorema lui Heine. Fie , o multime compacta si o functie continua pe , atunci functia este uniform continua pe .

Demonstratie. Multimea este compacta este multime inchisa si marginita. Vom presupune ca nu este uniform continua pe . Atunci exista cu proprietatea ca oricare ar fi , in particular alegem , exista doua puncte din , fie acestea si , a.i. . Cum multimea este marginita, atunci sirul este marginit, deci contine un subsir convergent, fie acesta si, . Deoarece este punct aderent pentru multimea a termenilor sirului, deci pentru si, cum este inchisa, atunci . Deoarece este continua in avem . Analog se arata ca exista , a.i. si si cum , la limita rezulta ca , deci . Deoarece este continua in atunci putem scrie si . Din relatia

,

deducem ca si atunci diferenta devine oricat de mica dorim. Asadar, de la un anumit rang incolo, avem , ceea ce este in contradictie cu presupunerea facuta.

Criteriul lui Cauchy de la siruri (teorema 3 si propozitia 5), care stabileste conditia de existenta a limitei finite a unui sir de numere reale dat, conduce la urmatorul criteriu pentru functii:

Criteriul lui Cauchy. Fie , punct de acumulare pentru , situat la distanta finita. Conditia necesara si suficienta ca functia sa aiba limita finita in punctul este ca pentru orice sa existe o vecinatate a.i. pentru orice , sa avem .

Exercitiu. Aratati ca functia , are limita in vecinatatea originii.

R. Vom arata ca este satisfacut criteriul lui Cauchy in vecinatatea originii. In acest scop, fie si . Avem .

Fie , oarecare, dar fixat. Este suficient sa alegem astfel ca de indata ce si implica .

Deoarece , atunci si deci, .

Teorema Cauchy-Bolzano. Fie un interval si o functie continua pe . Atunci este un interval din .

Demonstratie. Daca nu se reduce la un punct, fie si cu , doua puncte distincte din . Aratam ca . Fie si functia , . Deoarece este continua pe iar si . Atunci exista un punct intre si a.i. si deci, exista intre si astfel incat .

Pentru a arata existenta punctului intre si a.i. , vom considera multimea nevida . Fie (exista cu aceasta proprietate deoarece multimea este marginita superior). Cum , daca atunci exista un interval centrat in pe care , dar acest fapt vine in contradictie cu . Daca ajungem din nou la contradictie deoarece . Asadar, ramane unica posibilitatea .

Observatie.O functie reala , definita si continua pe un interval compact , ia toate valorile intermediare cuprinse intre margini.

3. Oscilatia unei functii

Fie un spatiu metric si o multime oarecare. Definim diametrul multimii , notat cu sau , ca ajutorul numarului

.

Numarul

,

se numeste distanta de la punctul la multimea .

Daca este multime inchisa atunci .

Fie functia . Diametrul multimii , se numeste oscilatia functiei pe multimea si se noteaza prin

.

Daca este un punct oarecare din si multimea vecinatatilor lui , atunci numarul

,

defineste oscilatia lui in punctul .

Proprietati.

(1). Oscilatia este finita daca si numai daca este marginita pe si avem

.

(2). Daca .

(3). Functia este continua intr-un punct daca si numai daca oscilatia sa in acest punct este nula (adica ).

4. Spatii de functii. Algebre de functii

Fie si doua multimi. Atunci notam cu multimea functiilor .

Daca si sunt doua spatii metrice, atunci notam cu multimea functiilor continue . Evident, avem .

Definitie. Numim algebra (-algebra) orice inel pe care s-a dat o aplicatie , notata (inmultirea cu scalari) a.i. sa se verifice proprietatile:

(i). este -spatiu vectorial (grupul aditiv al inelului este organizat ca spatiu vectorial peste corpul ).

(ii). iar inmultirea din inelul verifica conditia oricare ar fi si .

Algebra este comutativa (respectiv asociativa, cu unitate, cu divizori ai lui zero), daca inelul este comutativ respectiv asociativ, cu element unitate unitate, cu divizori ai lui zero).

Fie o algebra. Prin definitie, baza spatiului vectorial este baza algebrei si dimensiunea spatiului vectorial este dimensiunea algebrei.

Exemplu: Fie o multime nevida, atunci multimea in care s-au definit operatiile:

(adunarea functiilor );

(inmultirea functiilor );

( inmultirea functiilor cu scalari );

pentru orice si formeaza o algebra comutativa.

Fiind data o algebra , submultimea se numeste subalgebra a lui , daca pentru orice si avem .

Numim algebra de functii pe orice subalgebra .

Exemplu. Fie un spatiu metric, atunci este algebra de functii.

Definitie Orice algebra pe care s-a definit o norma ( este spatiu vectorial, deci are sens notiunea de norma) care verifica proprietatea

oricare ar fi ,

se numeste algebra normata.

O algebra normata si completa se numeste algebra Banach.

Exemple.

(1). Daca este o multime, atunci multimea functiilor marginite definite pe cu valori reale, notata cu , pe care s-a definit norma , este algebra Banach.

(2). Daca este spatiu metric compact, atunci este algebra Banach.

Intr-adevar, daca este spatiu metric compact, atunci orice functie continua este uniform continua; , deci este algebra de functii pe orice spatiu metric ; cu norma convergentei uniforme , devine algebra normata, deoarece putem scrie

.

5. Functii diferentiabile de o variabila reala

Definitie. Fie un interval nedegenerat, ( este punct interior intervalului ) si functia . Spunem ca functia este derivabila in daca si numai daca exista si este finita limita

, notata cu ; (5.1)

Numarul real se numeste derivata functiei in punctul .

Uneori, derivata functiei in punctul va fi notata prin ; daca se folosesc notatiile , , atunci si derivata functiei in punctul este limita raportului dintre "cresterea functiei " si "cresterea argumentului in jurul punctului ", cand .

Daca facem translatia , atunci din (5.1) obtinem (evident, daca )

; (5.2)

Daca functia este derivabila in orice punct spunem ca este derivabila pe si datorita relatiei (5.2) putem scrie

, oricare ar fi . (5.3)

Daca si este derivabila pe , se mai scrie ; uneori, pentru a pune in evidenta argumentul in raport cu care se face derivarea, se folosesc si notatiile .

Propozitie. Fie functia . Daca functia este derivabila in punctul atunci este continua in .

Demonstratie. Deoarece functia este derivabila in atunci limita (5.1) exista si este finita. Trecand la limita relatia, , obtinem

deci, , care arata continuitatea functiei in punctul .

Reciproca acestei propozitii, in general, este falsa. De exemplu, functia , definita prin

nu este derivabila in .

Derivabilitatea acestei functii depinde de existenta limitei raportului in punctul . Ori, in acest caz avem si , deci limita acestui raport nu exista in si atunci, functia modul nu este derivabila in origine.

Definitie. Daca este punct de acumulare pentru si exista limita finita

, cu , (5.4)

atunci aceasta limita se numeste derivata la stanga a functiei in . Asemanator se defineste derivata la dreapta a functiei in , notata cu .

Daca , atunci derivabilitatea lui in punctul (respectiv in ) revine la faptul ca functia este derivabila la dreapta lui (respectiv la stanga lui ).

Propozitie. Fie , multime deschisa si functia . Functia este derivabila in punctul daca si numai daca derivatele laterale si exista, sunt finite si egale intre ele si atunci putem scrie

.

Demonstratie. "". Presupunem ca este derivabila in . Atunci exista finita limita (5.1) si, evident, exista si , deci .

"". Presupunem ca exista si sunt egale derivatele laterale ale lui in . Vom nota cu valoarea comuna a acestor derivate, . Aratam ca

. (*)

Fie , o vecinatate oarecare a lui . Atunci exista vecinatatile si ale lui a.i. pentru orice si sa avem si pentru orice cu sa avem . Consideram vecinatatea . Atunci pentru orice vom avea fie , deci , fie si deci . Aceste afirmatii arata ca se verifica definitia limitei cu vecinatati si, in consecinta, relatia (*) este verificata.

Definitie. Fie un interval deschis si functia . Functia se numeste diferentiabila in punctul daca si numai daca exista numarul real si o functie , continua in , cu a.i. sa aiba loc relatia

. (5.5)

Numarul daca exista este unic determinat si avem (se citeste, este derivata lui in punctul ), iar partea lineara se numeste diferentiala lui in si uneori se noteaza prin

. (5.6)

sau, daca se noteaza , atunci se obtine notatia uzuala

. (5.7)

Lema 3. Fie , interval deschis si , si fie functia . Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

Functia este diferentiabila in .

Exista o aplicatie lineara si o functie , continua in , cu , a.i. sa aiba loc relatia

. (5.8)

Demonstratie. "". Deoarece este diferentiabila in punctul , vom nota cu si

definim functia

. (5.9)

Este evident ca este continua in si .

"". trivial.

Observatie. Egalitatea (5.8) poate fi scrisa sub urmatoarea forma

. (5.10)

Intr-adevar, din definitia functiei deducem ca in vecinatatea avem

.

Definitie. Fie , multime deschisa. Functia se numeste diferentiabila pe daca este diferentiabila in orice punct si avem definita prin si se citeste "derivata lui in punctul ". Deci , , fixat.

Atunci, folosind notatia uzuala, scriem

. (5.11)

Spunem ca functia este de clasa pe si scriem daca si numai daca este diferentiabila (derivabila) in orice punct din si derivata continua pe .

Observatie. Daca este diferentiabila pe , atunci ia valori in .

Deci si deoarece se identifica izometric cu , atunci putem considera pe ca o functie definita astfel .

Teorema (Operatii cu functii derivabile).

Fie , multime deschisa, si .

(1). Daca si sunt diferentiabile in atunci functia este diferentiabila in si avem .

(2). Daca este diferentiabila in si atunci functia este diferentiabila in si avem .

(3). Daca , deci este functie lineara atunci diferentiabila in orice punct si avem .

(4). Daca si sunt diferentiabile in atunci functia este diferentiabila in si avem .

Demonstratie. Vom observa ca proprietatile (1) si (2) arata ca derivata este un operator (o aplicatie lineara) linear, adica si .

(1). Scriem ca sunt functii diferentiabile in : exista aplicatiile lineare si continue si functiile continue in :, a.i.

unde .

unde .

Adunand aceste relatii si folosind notatiile , si , deducem ca functia este diferentiabila in .

(2). Din faptul ca este functie diferentiabila in rezulta existenta aplicatiei lineare si continue si a functiei continua in , a.i.

unde .

Inmultind aceasta relatie cu , deducem ca este diferentiabila in , si are derivata .

(3). Din faptul ca este aplicatie lineara putem scrie

si luand si , rezulta afirmatia din enunt.

(4). Datorita ipotezei putem scrie

si.

Inmultind prima relatie cu si pe cea de a doua cu si apoi adunam aceste relatii, obtinem

,

unde si . Relatia obtinuta arata ca este diferentiabila in .

Observatie. Orice functie diferentiabila in este continua in .

Definitie. Fie , multime deschisa, si . Functia este de doua ori diferentiabila in daca:

(i). exista o vecinatate , , a.i. este diferentiabila pe ;

(ii). functia este diferentiabila in .

In aceste conditii se noteaza .

Observatie. Functia este de doua ori diferentiabila pe daca este de doua ori diferentiabila in orice punct din ;

Functia este de clasa daca si numai daca este de doua ori diferentiabila pe si derivata este continua pe .

Generalizarea acestor definitii se poate face pentru orice intreg si derivata .

Exercitiul 1. (Derivata functiei compuse). Fie intervale deschise, functia , diferentiabila in , functia diferentiabila in . Atunci functia compusa este diferentiabila in si are loc relatia

Exercitiul 2. (Derivata functiei inverse). Fie intervale deschise si functia , continua si bijectiva. Daca este diferentiabila in si atunci functia inversa este diferentiabila in si are loc relatia

Exercitiu 3. Daca si sunt derivabile in punctul (sau pe ) atunci functia , daca este derivabila in (sau pe ) si avem

.

Daca sunt derivabile de ori in (sau pe ) atunci este derivabila de ori in (sau pe ) si are loc formula lui Leibniz

. (5.12)

Exercitiul 4. Fie functiile si diferentiabile, astfel incat are sens functia care este diferentiabila (vom scrie, ). Atunci are loc relatia

.

Exercitiul 5. Fie functia , . Sa se arate ca este diferentiabila in orice punct si .

R. Potrivit relatiei (5.5), putem scrie (pentru ), .

Atunci, definim functia

Se verifica usor ca este continua pe si . Asadar, este diferentiabila in .

Exercitiul 6. Aratati ca functia , nu este diferentiabila in punctul .

R. Presupunem ca ar fi diferentiabila in . Atunci exista unic numarul si functia , continua in , cu a.i.

.

Asadar, daca , din aceasta relatie, deducem urmatoarea expresie pentru functia :

,.

Deoarece , atunci functia , daca exista, are expresia

Din continuitatea lui deducem ca , ceea ce arata ca ramane nedeterminat si, in consecinta, nu este diferentiabila in origine.

6. Functii continue pe portiuni. Functii etajate. Functii netede pe portiuni

Definitie. Fie un spatiu metric si un interval inchis al axei reale. Functia se zice continua pe portiuni (continua pe bucati) daca exista o partitie finita (diviziune finita) a lui si aplicatiile continue , unde , a.i. , adica sa avem , pentru orice .

Altfel spus, functia este continua pe portiuni daca este continua in orice punct din cu exceptia unui numar finit de puncte, iar in aceste puncte exista limitele laterale ale lui . Asadar, multimea punctelor de discontinuitate ale lui este finita si acestea sunt puncte de discontinuitate de prima speta (exista si sunt finite limitele laterale si ). Este clar ca in nu exista , iar in nu exista .

Definitie. Functia , se zice etajata (functie in scara) daca exista o partitie finita (o diviziune finita) a lui a.i. , unde sunt constante, ; altfel spus, sa avem , pentru orice , .

Observatie. Functia etajata ia un numar finit de valori, ; Orice functie etajata, care ia valori finite, se poate scrie sub forma

unde , este functia caracteristica a intervalului .

Daca una sau mai multe din constantele iau valorile sau , formula de mai sus ramane valabila daca se face conventia .

Propozitia 1. Multimea functiilor etajate pe formeaza un spatiu vectorial peste corpul numerelor reale.

Demonstratie. Fie si , atunci avem , deci este functie etajata. Fie doua functii etajate. Atunci exista doua partitii finite ale lui , fie acestea si a.i. ia valorile pe si ia valorile pe . Deci, putem scrie si . Deoarece este fie multimea vida, fie un interval din si atunci, este o partitie finita a lui . Asadar, ia valori constante pe fiecare din intervalele partitiei si avem

deci, este functie etajata. Evident, daca este cazul, se face conventia de calcul .

Propozitia 2. Produsul a doua functii etajate pe este o functie etajata.

Intr-adevar, fie si , atunci formeaza o partitie a lui si putem scrie

.

Din cele doua propozitii rezulta ca multimea functiilor etajate pe formeaza o algebra de functii.

Definitie. Functia , spatiu metric, se zice neteda pe portiuni (neteda pe bucati) daca exista o diviziune a lui si functiile , , , a.i. , adica sa avem , pentru orice .

Daca este neteda pe portiuni, atunci este diferentiabila in orice punct din si in orice punct exista si sunt finite derivatele laterale si ), iar in exista numai si in exista numai si atunci este definita astfel:

(i). este derivata lui in orice , daca aceasta exista;

(ii). ia valori arbitrare in punctele .

Observatie. Functiile continue pe portiuni, formeaza o algebra de functii.

Exemplul 1. Fie intervalul si diviziunea , care realizeaza o partitie finita a lui si functia etajata definita prin (graficul este realizat cu programul Mathcad).

Exemplul 2. Fie si diviziunea , care realizeaza o partitie finita a lui . Functia definita mai jos, este neteda pe portiuni (graficul lui este realizat cu programul Mathcad).

Exemplul 3. Fie si functia , definita prin . Atunci este continua pe . Fie partitia si intervalele si Evident, functia are derivate continue pe si pe si avem