Folosirea analogiei in predarea geometriei in spatiu

Aspecte metodice

Inca din clasa a IV-a, elevii s-au familiarizat cu unele corpuri geometrice. La baza acestei familiarizari a stat cercetarea directa cu ajutorul simturilor( vazul, pipaitul) a unor corpuri materiale, a formelor si a intinderilor.

Tot atunci, s-a urmarit ca pe baza acestei cercetari directe a corpurilor materiale, sa stabilim unele insusiri comune, sa formam la elevi reprezentari care ulterior sa stea la baza acelor entitati mintale, ca punctul, dreapta, planul, pe care sa le supunem unor operatii logice.

In clasa a VIII-a, cand se abordeaza studiul riguros al geometriei in spatiu, prezentarea corpurilor materiale este reluata. Atunci cand elevii au trecut de la cercetarea directa a corpurilor materiale la redarea prin desen a imaginii generale pe care si-au format-o despre ele, s-au realizat unii pasi spre abstractizare si generalizare.

Frigura geometrica desenata reda unele proprietati ale corpurilor, din mediul inconjurator al elevilor. Desenarea corpurilor geometrice nu este, de fapt , numai o simpla conventie, ci o imagine pe hartie care sa o sugereze pe cea din spatiu.

In general, consider ca este necesar ca in predarea geometriei in spatiu, sa parcurgem urmatoarele etape:

Prezentarea unor modele materiale ale teoremelor privind pozitiile relative ale elementelor fundamentale ale corpurilor geometrice pe care dorim sa le definim. Aceasta prezentare trebuie sa fie insotita de unele comentarii, intuitive, fara pretentii deosebite, privind rigoarea afirmatiilor, comentarii prin care atragem atentia asupra unor insusiri pe care dorim sa le abstractizam;

Realizarea prin desen a unor figuri plane care sa redea aspectele spatiale ale modelelor materiale cercetate;

Realizarea rationamentelor in care vom opera cu abstractiunile initial intuite, atat prin modele materiale, cat si prin desenele respective;

In realizarea rationamentelor nu vom opera cu elemente ale modelului material, ci cu notiunile, care, bineinteles, sunt abstracte. Vom face referiri mai mult la figurile geometrice, care au un caracter intuitiv-abstract.

Modelul material folosit este conceput de catre profesor si realizat anterior lectiei folosindu-se de trusa stereometrica sau de trusa de corpuri geometrice.

Este necesar ca toate propozitiile din capitolul privind pozitiile relative ale elementelor fundamentale sa fie insusite temeinic de catre elevi. De asemenea, este necesar ca elevii sa capete deprinderea de a apela, in fiecare etapa de rationament, la acele propozitii din capitolul privind pozitiile relative ale punctelor, dreptelor si planelor, care le asigura fundamentarea logica a solutiilor problemelor si nu vor da solutii incomplete unor probleme, mai ales din capitolul    " Poliedre".

Definitiile poliedrelor, a elementelor lor, nu pot fi intelese daca nu se cunosc bine pozitiile relative in spatiu ale punctelor, dreptelor si planelor. Spre exemplu, definitia inaltimii piramidei nu poate fi inteleasa daca elevii nu cunosc atat definitia dreptei perpendiculare pe un plan, cat si teoremele privitoare la aceasta.

Elevii trebuie sa dobandeasca capacitatea de a vedea o linie, o fata a uni corp, un punct al sau, dintr-o problema data, intr-o propozitie definita in capitolul privind pozitiile relative. Ei trebuie nu numai sa situeze corect elementele fundamentale in spatiu, ci sa poata desprinde si unele concluzii din aceasta situare.

Un rol important in aceasta etapa il are desenul, profesorul trebuie sa realizeze un adevarat cult al desenului , va trebui sa precizeze unele conventii de reprezentare in plan a corpurilor cu trei dimensiuni.

Problema din exemplul urmator precizeaza modul de implicare a propozitiilor privind pozitiile relative ale punctelor, dreptelor, planelor.

" Un tetraedru [ VABC] are baza [ ABC] un triunghi echilateral de latura "a" si fata [ VAC] de asemenea un triunghi echilateral, al carei plan este perpendicular pe planul bazei. Sa se calculeze aria laterala si volumul tetraedrului

Se implica esential in rezolvarea acestui caz teorema: "Daca doua plane sunt perpendiculare, perpendiculara dusa dintr-un punct al unui plan pe celalalt plan este continuta in primul plan"

Oricat de corect ar rationa un elev, daca nu situeaza piciorul inaltimii tetraedrului V pe segmentul [AC] si il va situa intr-un punct O AC, nu poate da o solutie corecta a problemei. El va trebui sa recunoasca ca inaltimea triunghiului [VAC] corespunzatoare laturii[AC] este inaltimea tetraedrului. Va trebui sa demonstreze implicatia VO AC T VO (ABC).

Nu poate demonstra aceste implicatii daca nu invoca propozitia corespunzatoare din primul capitol: " Daca doua plane sunt perpendiculare, atunci perpendiculara pe muchia diedrului format de ele si continuta intr-unul din plane, va fi perpendiculara pe celalalt plan".

Pentru a gasi aria laterala este necesar sa se observe ca (VA)s(VC) si D VAB s D VBC. In consecinta D VAB si D VBC au arii egale. Aria unuia dintre triunghiuri s-ar putea calcula si cu ajutorul formulei lui Heron. Mai simplu se calculeaza daca se duce OM BC, VO ( ABC) si OM ( BC) T VM BC( teorema celor trei perpendiculare)

Iata, deci ca pentru rezolvarea acestei probleme este necesar sa folosim trei teoreme studiate in primul capitol al manualului( bineinteles daca acesta le contine).

Este total gresita conceptia potrivit careia la primul capitol, unde problemele au mai putine calcule, se poate rezolva un numar mai redus de aplicatii.

Este necesar sa se rezolve, fie in clasa, fie acasa, aproape toate problemele propuse in manual.

Multe din problemele de concurenta se rezolva prin "metoda reducerii la absurd" sau prin metoda indirecta. Aceasta metoda are la baza echivalenta logica directa dintre teorema directa si contrara teoremei reciproce. Contrara reciprocei unei propozitii adevarate este tot o propozitie adevarata si se obtine inlocuind in teorema directa ipoteza cu negatia concluziei si concluzia cu negatia ipotezei.

Exemplu: " Sa se arate ca perpendicularele in centrele cercurilor circumscrise fetelor unui tetraedru sunt concurente"

Se stie ca perpendiculara ridicata in centrul cercului circumscris unui triunghi, pe planul acestuia, este locul geometric al punctelor egal departate de varfurile triunghiului.

Fie "O₁" centrul cercului circumscris triunghiului [ABC] si "d" perpendiculara in O₁ pe (ABC). Daca [ABCD] este tetraedrul dat, atunci D (ABC). Planul mediator a al segmentului [BD] taie dreapta "d" in O. Daca planul mediator al lui [BD] nu ar taia pe "d", ar rezulta ca el este paralel cu "d", deci ca BD ar fi paralela cu(ABC) sau continuta in el.

Cum BD are punctul B comun cu planul, ar rezulta ca BD este

inclusa in plan, ceea ce contrazice o propozitie echivalenta cu ipoteza D (ABC).

Din OId T (OA)s(OB) s(OC) (1), iar din OIaT(OB) s(OD) (2)

Relatiile (1) si( 2) dau (OA)s(OB)s(OC) s(OD)

a)     (OA)s(OB)s(OC) T O I perpendicularei in centrul cercului circumscris D ABD;

b)     (OA)s(OC) s(OD) T O I perpendicularei in centrul cercului circumscris D ACD;

c)     (OB)s(OC) s(OD) T O I perpendicularei in centrul cercului circumscris D BCD.

Rezulta ca perpendicularele in centrele cercurilor circumscrise fetelor unui tetraedru sunt concurente.

Acelasi rationament se foloseste pentru a rezolva si alte probleme cu enunt usor modificat:

" Sa se demonstreze ca exista un punct in spatiu egal departat de patru puncte necoplanare"

" Sa se arate ca oricarui tetraedru i se poate circumscrie o sfera si sa se construiasca centrul ei" ( aici se foloseste metoda reducerii la absurd doar intr-o etapa a demonstratiei)

FOLOSIREA ANALOGIEI IN PREDAREA GEOMETRIEI IN SPATIU

Rezolvarea problemelor de geometrie in spatiu prezinta doua serii de dificultati: imaginea figurii si rationamentul. In cazul in care rationamentul este strans legat de cel folosit intr-o problema corespunzatoare de geometrie plana este bine sa subliniem si sa folosim aceasta analogie. Odata analogia stabilita rezolvarea problemei de geometrie in spatiu comporta un punct de plecare logic si acesta dezvolta la elevi nu numai gandirea functionala ci si deprinderea de a incerca sa gaseasca noi posibilitati, noi proprietati, chiar generalizari pe baza celor cunoscute.

Este bine ca elevii , fiind numai dirijati de profesor, sa stabileasca analogia.

De obicei pentru descoperirea unei analogii se foloseste proprietatea de planimetrie ca pregatire a lectiei, adica elementele importante ale demonstratiei proprietatii plane sunt scrise de elevi intr-una din jumatatile tablei( tabla fiind impartita in doua coloane verticale),iar in cealalta jumatate se trec elementele importante ale demonstratiei proprietatii in geometria in spatiu ca in cele ce urmeaza:

Reamintind elevilor modul cum s-a calculat raza cercului inscris in triunghi prin metoda ariilor , le voi cere elevilor sa deduca analogic modul de calcul al razei sferei inscrisa in tetraedru. Cum triunghiul a fost descompus in trei triunghiuri cu varfurile in I si avand ca baze laturile triunghiului , la fel tetraedrul se va descompune in trei tetraedre avand varfurile in I ( centrul sferei inscrise in cerc) si ca baze fetele tetraedrului.

Este important ca rezultatele obtinute sa fie particularizate pentru triunghiul echilateral, respectiv pentru tetraedrul regulat.

Analogii - aplicatii.

In plan:

Fiind dat un triunghi de arie S si cercul sau inscris de raza R se duc trei tangente la acest cerc paralele cu laturile triunghiului. In acest mod se formeaza alte trei triunghiuri in interiorul triunghiului dat . notam cu S₁, S₂, S₃ ariile acestor triunghiuri, iar cu razele cercurilor inscrise in ele. Sa se arate ca :

a)

b)

Rezolvare :

In D ABC avem S, r, a,b,c ;

in D avem S₁, ;

in D avem S₂, ;

in D avem S₃, .

Notam inaltimile D ABC cu H_A, H_B, H_C. In D notam cu h_A- inaltimea din A;

in D notam cu h_B - inaltimea din B; in D notam cu h_C - inaltimea din C.

deci , dar H_A= h_A + 2r T H_A - 2r = h_{A .} Obtinem astfel:

Analog

Adunand relatiile (1), (2) si (3) T

T

T

T

T

T si (q.e.d).

In spatiu:

Fiind dat un tetraedru de volum V si sfera sa inscrisa de raza r se duc patru plane tangente la aceasta sfera paralele cu fetele tetraedrului . In acest mod se formeaza alte patru tetraedre in interiorul tetraedrului dat . Notam cu V₁, V₂, V_3, V₄ volumele acestor tetraedre , iar cu razele sferelor inscrise in ele. Sa se arate ca :

a)

b)

Rezolvare :

Notam :

, ,,

In tetraedrul [ABCD] avem V, r, H_A, H_B, H_C ,H_D;

in [] avem V₁, , h_A- inaltimea din A ;

in [] avem V₂, , h_B- inaltimea din B;

in [] avem V₃, , h_C- inaltimea din C;

in [] avem V₄, , h_D- inaltimea din D.

() //( BCD) , deci tetraedrul

[] este asemenea cu tetraedrul [ABCD].

Asadar avem: ; si atunci

T (1). Analog rezulta (2) ; (3); (4). Adunand relatiile (1)-(4) obtinem:

T

T

T

. Prin urmare obtinem ca

si ca ( q.e.d).