Functii diferentiabile. Derivate partiale.

Functii diferentiabile. Derivate partiale

. Fie functia , . Aratati ca este diferentiabila in orice punct si avem .

Solutie. Potrivit definitiei diferentiabilitatii, putem scrie

.

Atunci, definim functia

Se verifica usor ca este continua pe si . Asadar, este diferentiabila in .

. Aratati ca functia , nu este diferentiabila in punctul .

Solutie. Presupunem ca ar fi diferentiabila in . Atunci exista unic numarul si functia , continua in , cu a.i.

.

Asadar, daca , din aceasta relatie, deducem urmatoarea expresie pentru functia :

,.

Deoarece , atunci functia , daca exista, are expresia

Din continuitatea lui deducem ca , ceea ce arata ca ramane nedeterminat si, in consecinta, nu este diferentiabila in origine.

Exista functii care au derivate partiale de ordinul intai intr-un punct fara sa fie continue in acel punct (vezi si exemplul 9). De exemplu, functia definita prin

nu este continua in origine, desi are ambele derivate partiale in origine. Intr-adevar, daca alegem sirul de puncte , cand , unde , atunci , deci nu are nici macar limita in origine. Functia admite derivate partiale in origine si avem:

si

Functia definita prin , este continua in origine insa nu este derivabila partial in raport cu in origine, deci nu este diferentiabila in origine.

Intr-adevar, deoarece pentru , avem , atunci ,

deci este continua in origine. Studiem posibilitatea existentei derivatelor partiale in origine.

Avem

.

Functia , nu are limita in si atunci derivata partiala a lui in raport cu nu exista in origine.

Daca este diferentiabila intr-un punct atunci este continua in acel punct. Reciproc, nu este adevarat. De exemplu, functia , este continua pe , insa functiile

si ,

nu au limite in , respectiv in si deci nu are derivate partiale in origine, deci nu este diferentiabila in origine.

Fie , multime deschisa si . Daca este diferentiabila in punctul atunci continua si are derivate partiale in raport cu si in punctul . Reciproca acestei afirmatii nu este adevarata (vezi observatia (v)).

Intr-adevar, daca este diferentiabila in punctul , atunci exista discul si numerele reale si functia , continua pe , cu proprietatea ca si a.i.

.

Din relatia deducem

, cand ,

relatie care arata ca este continua in .

Din , daca alegem si , deducem

, cand ,

relatie, care arata exista . Analog, daca in relatia se alege si , se arata ca exista si derivata partiala .

Exista functii continue intr-un punct, care au derivate partiale in acel punct si totusi functia nu este diferentiabila in acel punct. Deci continua in , exista si si nu este diferentiabila in .

De exemplu, functia definita prin , este continua in (0,0), admite derivate partiale in origine, insa nu este diferentiabila in origine.

Intr-adevar, este continua peste tot cu exceptia originii si deoarece

, atunci avem si deci este continua si in . Derivatele partiale exista in origine si acestea sunt nule:

Presupunem ca este diferentiabila in origine. Atunci exista si si exista o vecinatate (alegem vecinatatea originii ca fiind un discul cu centrul in origine de raza ) si functia , continua pe cu proprietatea ca a.i.

.

Asadar, putem scrie

,

Din forma functiei observam ca aceasta este continua in orice vecinatate a originii cu exceptia punctului . In acest punct functia nu are limita, deci nu este diferentiabila in punctul .

De exemplu, putem descrie implicatiile intre continuitate, derivabilitate si diferentiabilitate ca in tabloul urmator:

3.4. Exercitii propuse

Se considera functia definita prin . Sa se calculeze derivatele partiale: .

Solutie. In orice punct , avem

Functia definita prin

.

Sa se arate ca exista toate derivatele partiale de ordinul al doilea, , in orice punct din , iar derivatele mixte nu sunt egale in origine, adica avem .

Solutie. Daca , atunci avem

si .

In punctul exista derivatele partiale de ordinul intai si avem

si .

Pentru obtinem , iar pentru rezulta .

Asadar, putem scrie

.

.

Fie punctele si apartinand multimii .

Aratati ca functia

, (1)

verifica ecuatiile cu derivate partiale

si . (2)

Functia se numeste solutia fundamentala a ecuatiei de conductie a caldurii (2).

. Fie . Folosind definitia diferentialei sa se calculeze valoarea aproximativa a functiei in punctul , unde .

Solutie. Alegem punctul unde si . Atunci este diferentiabila in punctul si inlocuind cresterea functiei, adica , prin diferentiala sa

,

putem scrie aproximarea

,

respectiv,

Deoarece,

si ,

rezulta

.

. Inlocuind cresterea functiei prin diferentiala sa calculati cu aproximatie numerele

a). b). c). .

Solutie. a) Alegem functia si din definitia diferentialei lui in punctul de coordonate , putem scrie

.

Consideram punctele si . Atunci cresterile si , iar derivatele partiale ale lui in punctul au forma

.

Asadar, avem aproximarea

.

Se poate arata ca eroarea este mai mica decat .

b) Alegem care este diferentiabila in punctul . Consideram si cresterile ; ; . Rezulta .

c) Alegem si , . Atunci cresterile se calculeaza in radiani: .

.

. Fie functiile

i). ; ii). ; iii). .

a) Pentru fiecare din functiile date mai sus, determinati domeniile maxime de definitie si calculati prima derivata, .

. Fie , definita astfel atunci .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia este continua pentru . In punctul putem scrie si . Deci este continua pe .

Pentru avem .

Daca atunci . Deci

.

Asadar, derivata in exista si este egala cu zero. Rezulta ca este diferentiabila pe si derivata are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci .

De exemplu, functia este de clasa pe .