Introducerea notiunii de volum

Introducerea notiunii de volum.( a functiei volum)

In manualele din gimnaziu putem observa doua modalitati de introducere a poliedrelor. Una este cea in care studiul a inceput cu prisma , iar teoria volumului avea la baza definirea volumului paralelipipedului dreptunghic, iar cea de-a doua este cea in care studiul poliedrelor a inceput cu piramida, iar teoria volumului avea la baza definirea volumului tetraedrului.

A doua modalitate are avantajul ca teoria volumului nu mai face apel la demonstratii care implica numarul irational , pe de o parte, iar pe de alta parte volumele celorlalte corpuri pot fi calculate pornind de la definirea volumului tetraedrului, ceea ce va fi tratat pe scurt si in cele ce urmeaza.

Pe larg : in introducerea notiunii de volum trebuie sa pornim de la necesitatea de a compara " intinderile corpurilor" , sa incercam ca fiecarui corp geometric sa-i atasam un numar real si apoi sa comparam aceste numere. ( sau putem sa amintim elevilor ca asa cum am precedat cu ariile figurilor in clasa a VII-a ( intai s-a considerat ca aria patratului cu latura de lungime 1u este egala cu 1u², si apoi s-a dedus aria patratului cu latura de lungime l, dupa care aria dreptunghiului, aria triunghiului dreptunghi, apoi aria triunghiului oarecare si abia apoi aria suprafetei poligonale) similar putem preceda cu determinarea volumelor pentru cub, paralelipiped dreptunghic, etc).

Pentru inceput ar fi suficient daca am reusi sa construim o astfel de functie-volum definita pe multimea poliedrelor particulare, sau chiar pe multimea tetraedrelor. Functia astfel definita , care va face ca fiecarui poliedru sa ii corespunda un numar real, trebuie sa aiba anumite proprietati.

Definitie Daca P este multimea poliedrelor si R₊ este multimea numerelor reale pozitive , functia V: P R₊ este o functie volum daca:

Orice poliedru are volum, deci ( ) PI P exista V(P)

Daca P₁ I P, P₂ I P si P₁ P₂ I P, int P1 int P2 = atunci V(P₁ P₂)=V(P₁) + V(P₂)

Doua poliedre congruente au volume egale

Daca un poliedru P₁ iste inclus intr-un poliedru P₂ atunci V(P₁) < V(P₂)

Volumul unui cub avand lungimea muchiei egala cu unitatea de masura a lungimilor

( 1U) este egal cu (1 U³).

Este greu sa demonstram elevilor de clasa a VIII-a ca o astfel de functie exista, dar comentariile care insotesc introducerea notiunii de volum trebuie sa-i pregateasca pentru a observa ca functia construita are aceste proprietati . De exemplu , monotonia functiei volum poate fi pusa in evidenta de urmatoarea experienta: intr-un vas transparent in care se afla apa pana la o anumita inaltime se introduc poliedre carora l-i s-a calculat volumul prin metode cunoscute din clasele anterioare. Se constata ca atunci cand se introduce corpul caruia i-am asociat un numar mai mare , apa "se ridica" mai mult decat atunci cand introducem corpul caruia i-am atasat un numar mai mic.

La nivelul clasei a VIII-a elevii trebuie sa stie ca volumele se pot aduna si sa precizeze in ce situatii putem efectua aceasta operatie.

O functie volum se poate construi pornind de la tetraedru. Astfel se poate demonstra ca in orice tetraedru produsul dintre aria unei fete si inaltimea corespunzatoare ei este aceeasi oricare ar fi fata si inaltimea corespunzatoare ei. Aceasta inseamna ca putem face ca fiecarui tetraedru sa ii corespunda un numar real si numai unul si anume a treia parte a produsului dintre aria unei fete si inaltimea corespunzatoare ei. Deci , in acest mod putem defini o functie pe multimea tetraedrelor in spatiu si cu valori in multimea numerelor reale pozitive. Cum oricare dintre poliedrele particulare care se studiaza in clasa a VIII-a se poate descompune in tetraedre insemna ca putem defini volumul oricaruia dintre poliedrele particulare studiate. Se poate verifica ca functia-volum astfel definita are toate proprietatile unei functii-volum. Aceasta abordare are avantajul ca nu mai aduce in discutie natura dimensiunilor tetraedrului (naturale, rationale, irationale).

Un alt mod de a introduce volumul este urmatorul:

Presupunem ca aceste numere ,pe care le numim volume indeplinesc conditiile 1)- 4) din definitia anterioara. In aceste coditii putem demonstra urmatoarea teorema:

Teorema : Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria unei baze si inaltimea corespunzatoare ei.