APLICATII TRIGONOMETRICE IN GEOMETRIA PLANA

APLICATII TRIGONOMETRICE IN GEOMETRIA PLANA

1. Rezolvarea triunghiurilor

Fie ABC un triunghi. Numerele a = BC, b = AC, c = AB si A = m (BAC),

B = (ABC), C = m (ACB) reprezinta elementele principale ale triunghiului.

Triunghiul ABC este bine determinat daca se cunosc elementele sale. Elementele principale ale triunghiului ABC caracterizeaza acest triunghi si, sub aspect metric, ele caracterizeaza oricare triunghi congruent cu ABC. Pentru a determina elementele unui triunghi este suficient sa fie cunoscute trei dintre ele, si anume cele care corespund cazurilor de congruenta ale triunghiurilor.

A rezolva un triunghi inseamna a determina elementele triunghiului cunoscand trei dintre acestea.

a)     Rezolvarea triunghiului cand se cunosc laturile (cazul de congruenta L.L.L.)

In acest caz elementele cunoscute sunt a, b, c, iar elementele necunoscute sunt A, B, C (figura 1).

Din teorema cosinusului se obtine:

, relatii care duc la determinarea elementelor A, B, C.

b)     Rezolvarea triunghiurilor cand se cunosc doua unghiuri si latura comuna (cazul de congruenta U.L.U.)

Elementele cunoscute sunt, de exemplu, a, B, C, iar elementele necunoscute sunt b, c, A (figura 2).

n acest caz , iar din teorema sinusurilor :

si

c)     Rezolvarea triunghiurilor cand se cunosc doua laturi si unghiul cuprins intre ele (cazul de congruenta L.U.L.).

Elementele cunoscute sunt, de exemplu, a, B, c, iar elementele necunoscute sunt b, A, C.

In acest caz, cu teorema cosinusului, se obtine b² = a² + c² - 2ac cos B, iar din teorema sinusurilor si .

2. Raza cercului circumscris si raza cercului inscris unui triunghi

Fie C (O, R) un cerc si punctele A, B pe acesta. Notam cu M simetricul lui A in raport cu O. Din triunghiul dreptunghic ABM obtinem si rezulta ca AB = 2R sin α sau . Asadar, raportul dintre o coarda si sinusul unghiului inscris in cerc care subintinde aceasta coarda este constant si egal cu 2R.

TEOREMA

In oricare triunghi ABC, raza R a cercului circumscris verifica egalitatea .

Demonstratie

Fie C (O, R) cercul circumscris triunghiului ABC (figura 2). Conform proprietatii anterioare avem : AB = 2R sin C, AC = 2R sin B si BC = 2R sin A. Din aceste relatii rezulta ca si teorema este demonstrata.

TEOREMA

Raza r a cercului inscris intr-un triunghi este egala cu raportul dintre aria S a triunghiului si semiperimetrul acestuia : .

Demonstratie

Fie I centrul cercului inscris in triunghiul ABC si D, E, F proiectiile acestuia pe laturile triunghiului (figura 3). Rezulta :

si astfel .

Formule pentru aria triunghiului

APLICATII

Capitolul 1

Cercul trigonometric

1. Sa se reduca la cel mai mic argument :

i) sin 600° ;

sin 600° =

ii) cos 1200° ;

sin 1200° =

iii) tg 1125° ;

tg 1125° =

iv) ctg 1500

ctg 1500° =

2. Sa se calculeze sin 135°, , , , , .

sin 135° = sin(180° - 135°) = sin 45° =

FUNCTIILE TRIGONOMETRICE ALE UNEI SUME SI ALE UNEI DIFERENTE DE UNGHIURI

1. Sa se demonstreze identitatea :

sin (a - b) + sin (a + b) = -

= ctg a - tg b

FUNCTIILE TRIGONOMETRICE ALE UNGHIULUI DUBLU SI ALE UNGHIULUI TRIPLU

1. Sa se verifice identitatea :