Olimpiada de matematica etapa locala clasa a viii-a

OLIMPIADA DE MATEMATICA

ETAPA LOCALA

CLASA a VIII-a

1. Sa se rezolve in R R ecuatia: , unde  reprezinta partea intreaga a numarului real x.

Propusa de prof. Dumitru Asoltanei

2. Se dau multimile:

a)     Aflati card

b)     Aflati card B

c)     Aflati card C.

Propusa de prof. Ivan Ion si Mihut Ioan

3. Fie cubul ABCDA′B′C′D′ cu AB=a. Calculati distanta dintre dreptele CA′  si AD′ .

4. Fie un cub de latura 1 cm. Sa se arate ca oricum am alege 28 de puncte in interiorul cubului, cel putin doua au distanta dintre ele mai mica sau egal cu cm.

Nota: Toate subiectele sunt obligatorii

Timp de lucru:  3 ore

OLIMPIADA DE MATEMATICA ETAPA LOCALA 30 IANUARIE 2010

CLASA a VIII-a BAREM

NU EXISTA PUNCT DIN OFICIU

1. Ecuatia data se poate scrie astfel: 7p
2. Numarul este mai mare ca 2010.

Se demonstreaza relatia

Si se aplica sumei de fractii din x. <2011.          2p

Aflati card =0.              1p

B= deci card B=1    1p

Card =4020          1p

dar sau sau.

Daca

, etc.1p

Card C = 4020 1p

3. (A′B′C) (AD′B)  2 p

AD′ A′B′C AD′ ∩ A′B′C 1 p

MP A′C, PI A′C d A′C ,AD′ = MP                             2 p

MP= 2 p

4. Impartim cubul in 27 cubulete egale de muchie 1/3 cm. Oricum alegem cele 28 de puncte interioare, cel putin 2 se afle in interiorul sau pe fetele unui cubulet. Lungimea segmentului dintre aceste 2 puncte este mai mica sau egal cu diagonala cubuletului.  7p