![]() | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
OPERATORI LINIARI PE SPATII VECTORIALE
Nucleul si imaginea unui operator liniar
Fie spatii vectoriale
peste acelasi corp K.
Definitie
O
functie se numeste operator
liniar daca satisface:
Observatie Proprietatile 1 si 2 din
definitie se pot inlocui cu:
Exemple: 1.
operator identitate pe
X
2. operatorul de derivare
3.
Propozitie Operatorul
liniar are
proprietatile:
a)
b)
c)
Notam
L multimea operatorilor liniari din spatiul X in spatiul Y.
Pe aceasta multime introducem operatiile:
-
adunarea operatorilor (operatie bine definita, i.e. este operator liniar)
L
L
-
inmultirea operatorilor cu scalari (op bine def, i.e. este operator liniar)
L
L
Observatie (L) estespatiu vectorial peste corpul K.
- compunerea operatorilor (op bine def: U ○ T operator liniar)
|
|
U ○ T I L |
|
- inversarea operatorilor (op bine definita: T-1 operator liniar)
L
, T functie bijectiva
L
a.i.
Definitie
Se numeste
nucleul operatorului liniar T, multimea notata:
Definitie Se numeste imaginea operatorului liniar T multimea notata:
Propozitie ker T este subspatiu vectorial al lui X, iar ImT este subspatiu liniar al lui U
Definitie Se numeste defectul lui T , dimensiunea subspatiului kerT, iar rangul lui T, dimensiunea subspatiului ImT
Propozitie , X spatiu de dimensiune finita
Observatie |
|
|
|
X finit dimensional |
|
|
T bijectie |
Matricea atasata unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.
Fie
o baza in X,
o baza in Y.
Fie cu coordonate in G
:
Definitie Matricea
se numeste matricea operatorului T in bazele E si G. Notam A sau AT
Se obtine astfel
o corespondenta intre mai precis un
izomorfism
F:,
si
Scrierea operatorului T cu ajutorul matricii atasate AT
T
Adunarea operatorilor:
; E, G baze in X si Y ;
matricile
atasate.
,
i.e.
Inmultirea operatorilor cu scalari:
, aIK
Modificarea matricii unui operator la schimbarea bazelor.
cu A matricea
atasata in bazele E si G. In spatiul X trecem de la baza E
la baza F
(1) unde
In spatiul Y trecem de la baza G la baza H: (2) unde
|
|
|
|
A = matricea
atasata lui T in baza E si facem o schimbare de baza de la
E la F.
Rezulta ca noua matrice atasata lui T
in baza F este:
Vectori si valori proprii, diagonalizarea unui operator
Fie
Definitie Se numeste vector propriu al lui T, un vector x≠0 pentru care
( lIK a.i. T(x)=lx
l se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu x.
Definitie Multimea se numeste subspatiu propriu corespunzator
lui lIK
Propozitie Xl este subspatiu liniar al lui X , Xl X.
Algoritmul de determinare a valorilor si vectorilor proprii unui operator liniar sau matricii asociate lui.
Fie dimX=n si E= baza in X.
AT=matricea operatorului
T in baza E.
este un sistem liniar omogen de ,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute xi
,
si admite solutii nenule det(A-lI)=0 care se numeste ecuatia
caracteristica a operatorului T
Solutiile acestei ecuatii sunt valorile proprii ale operatorului T.
P(l)=det(A-lI) se numeste polinomul caracteristic lui T. Acesta e un polinom de grad ,,n" cu coeficienti in K , iar daca KsCTP(l) are ,,n" radacini(C este corp algebric inchis).
Propozitie Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte doua cate doua sunt liniar indepedenti.
Consecinta Daca operatorul T are n valori proprii distincte, atunci exista o baza in care matricea sa are forma diagonala si pe diagonala se gasesc valorile proprii.
Definitie O matrice patratica are forma diagonala daca aij=0 ( ) i j
Definitie Un operator liniar este diagonalizabil daca exista o baza in care matricea sa are forma diagonala. Atunci o matrice patratica A este diagonalizabila daca exista o matrice C nesingulara, astfel incat C-1AC sa fie o matrice diagonala.
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate