Polinomul de interpolare - Lagrange

Polinomul de interpolare - Lagrange

Polinomul de interpolare LAGRANGE

Una dintre cele mai cunoscute formule de interpolare este construita de Lagrange subforma unui polinom de interpolare.

Sa presupunem ca in intervalul [a,b] sunt specificate n valori ale argumentului x1, x2, . . . ,xn, si valorile corespunzatoare ale unei functii f(x)

f(xi)=yi, i=1,2,.,n

Se cere construirea unui polinom Lm(x) care ia in punctele specificate xi aceleasi valori ca si functia f(x)

Lm(xi)=yi, i=1,2,.,n (1)

(1)

Pentru aceasta sa construim mai intai un polinom pi(x) pentru care

(2)

Deoarece polinomul cautat, pi(x), se anuleaza in cele (n-1) puncte x1, ., xi-1, xi+1, ., xn, el are expresia

unde Ci este un coefficient constant, iar

Luind x=xi si avand in vedere ca pi(xi)=1 obtinem . Cu acestea, gasimpentru polinomul pi(x) care satisface conditiile (2).

 (3)

Revenind acum la problema initiala a construirii polinomului Lm(x) care satisface conditiile (1), acesta poate fi scris sub forma

 (4)

Intr-adevar, deoarece polinoamele pi(x), sunt de ordinul (n-1), si Lm(x) este de ordinul (n-1) si satisface conditiile (1)

Inlocuind expresia (3) a polinoamelor pi(x) in (4) rezulta formula de interpolare a lui Lagrange

Vom crea o fucntie numita Lagrange cu cinci parametri :

ni - numarul de punctelor de interpolare

xi si yi - tablouri care contin coordonatele punctelor de interpolare

x - argumentul pentru care se calculeaza valoarea polinomului Lagrange de interpolare

y - valoarea de iesire a functiei

Programul urmator prezinta implementarea in C++ a polinomului Lagrange intr-un punctdat x.

#include<iostream.h>

float xi[20], yi[20], x, y;

int ni;

float lagrange(float xi[], float yi[], int ni, float x)

return y;

void main(void)

cout<<' Vector y = '<<endl;

for(i=1;i<=ni;i++)

cout<<'Dati valoarea punctului pt. care se calculeaza polinomul =';

cin>>x;

y=lagrange(xi,yi,ni,x);

cout<<'Valoarea pentru '<<x<<' este '<<y<<endl;

Executia programului :

n=4

vector x =

vector y =

valoarea punctului pt. care se calculeaza polinomul = 3

Valoarea pentru 3 este 17.22221