Consideram o multime de evenimente asociate unui corp de cunostinte imprecise si incerte, evenimente vazute ca submultimi ale unei multimi de referinta , numita cadrul de discernamant sau universul de discurs. este evenimentul intotdeauna cert iar multimea vida este evenimentul intotdeauna imposibil. Presupunem ca fiecarui eveniment i se poate asocia un numar real furnizat de un individ care are acces la corpul de cunostinte, sau de o procedura de tratare a informatiilor stocate in memoria unui sistem informatic. masoara increderea in aparitia evenimentului .

Exemplul 1. Fie multimea infarcturilor miocardice si multimea bolilor de care poate suferi un pacient. masoara increderea in afirmatia 'este adevarat ca pacientul prezinta un infarct miocardic'.

Daca este eveniment cert se ia , iar daca este eveniment imposibil se ia . In particular

si . (1)

Totusi, (respectiv ) nu inseamna ca evenimentul este cert (respectiv imposibil).

Cea mai simpla axioma ce poate fi imaginata pentru a asigura un minim de coerenta exprima faptul ca daca evenimentul implica evenimentul , atunci avem cel putin atata incredere in aparitia lui cata avem in aparitia lui :

(2)

Definitia 1. Functia ce satisface conditiile (1) si (2) este o masura de incertitudine.

Din axioma de monotonie (2) rezulta

(4)

(5)

unde (respectiv ) semnifica aparitia simultana a evenimentelor si (respectiv cel putin a unui eveniment din cele doua).

Definitia Functia ce satisface relatia (4) cu egalitate

(6)

se numeste masura de posibilitate.

- Daca este evenimentul complementar al lui , atunci

, (8)

relatie ce spune ca din doua evenimente contrare cel putin unul este posibil.

Fie evenimentele elementare ale lui ; din (6) rezulta

.

Deci, masurile de posibilitate pe sunt caracterizate de o multime de valori , care definesc distributia de posibilitate atasata lui .

In cazul cand universul este infinit, axioma (6) se generalizeaza la

. (9)

Definitia 3. Functia ce satisface (5) cu egalitate

(11)

se numeste masura de necesitate.

Este evident ca verifica (11) daca si numai daca functia definita prin

(12)

este o masura de posibilitate, adica verifica (6). Aceasta relatie de dualitate permite construirea unei masuri de necesitate plecand de la distributia de posibilitate prin

. (13)

Masurile de necesitate satisfac relatia

(14)

adica doua evenimente contrare nu pot fi simultan necesare. Din (8) si (14) rezulta proprietatile

(15)

(16)

care implica

(17)

adica un eveniment este mai intai posibil si apoi necesar. Din (8), (12) si (14) rezulta relatii mai tari decat (17):

.

Cand cunostintele referitoare la aparitia evenimentelor sunt disponibile sub forma de frecvente asociate evenimentelor elementare, masura de incertitudine satisface axioma de aditivitate

(18)

adica devine masura de probabilitate. Relatia (18) este echivalenta probabilista a relatiilor (6) si (11), iar cu este echivalenta cu (10) si (13). Corespondenta relatiilor (15) si (16) este

. (19)

Pentru a putea realiza operatii de combinare si propagare a incertitudinii in cadrul proceselor inferentiale, este necesar ca masura de incertitudine utilizata sa fie decompozabila.

Prade postuleaza ca gradul de incredere in reuniunea a doua evenimente disjuncte depinde numai de gradul de incredere in fiecare din evenimentele respective. Deci, exista o operatie interna astfel incat verifica relatia

. (20)

Am intalnit anterior cazurile (probabilitate) si (posibilitate). Punand , si pentru , operatia trebuie sa verifice proprietatile:

(P1)

(P2)

(P3)

(P4) daca atunci .

(P1) si (P2) exprima compatibilitatea cu reuniunea multimilor, (P3) rezulta din , iar (P4) rezulta din proprietatea de monotonie a lui .

Dar, proprietatile (P1)-(P4) sunt identice cu (S1)-(S4) din definitia (1.19); deci, operatia este o t-conorma. Relatia (20) este echivalenta cu

(21)

Luand se obtine

(22)

relatie care generalizeaza pe (8) si (19).

Daca , prin descompuneri succesive rezulta

. (23)

Termenii sunt analogi distributiei de posibilitate sau densitatii de probabilitate si verifica urmatoarea conditie de normalizare

, (24)

presupunand ca .

Particularizand conorma in relatiile de mai sus, se obtin altele interesante:

ii) luand , adica masura de posibilitate a lui Zadeh,

relatia (24) devine

(24')

- utilizand notatia pentru masura de posibilitate, relatia (23) da

(25)

- in cazul cand este multime infinita, relatia (25) se extinde la

(25')

unde distributia de posibilitate este normalizata: .

Fie o masura de incertitudine; duala sa in sensul negatiei se defineste prin

.

Daca verifica relatia (20) atunci

(27)

unde este t-norma -duala cu .

Au loc relatii similare cu (21) - (24):

-    

- (28)

- daca atunci

unde

- (29)

Particularizand in (21) - (24) si in relatiile anterioare, se obtin altele interesante din punct de vedere practic:

ii) luand , relatia (27) se transforma in

. (30)

Masura de incertitudine satisfacand (30) este duala masurii de posibilitate si asa cum au sugerat Dubois si Prade [41] poate fi numita masura de necesitate, caci necesitatea , notata in continuare prin , a unui eveniment este gradul imposibilitatii evenimentului opus; adica este , unde este duala lui .

O clasa importanta de masuri de incertitudine sunt cele care coincid cu duala:

. (31)

Daca se regaseste masura de probabilitate, iar relatia (31) devine

Avand in vedere importanta deosebita a t-normelor, t-conormelor si negatiilor in construirea masurilor de incertitudine, prezentam in continuare cateva posibilitati de obtinere a acestor operatori. O prima posibilitate consta in folosirea relatiilor (1.3) - (1.5). O metoda mai generala consta in a genera o t-norma (t-conorma) plecand de la o t-norma (t-conorma) data.

Teorema 4. [100] Daca este o t-norma si este o functie strict monotona pe un interval din R cu , atunci

este o t-norma.

Teorema 5.[100] Daca este o t-conorma si este o functie strict monotona pe un interval din R cu , atunci

este o t-conorma.

O metoda mai generala este data de urmatoarele doua teoreme:

Teorema 6. [77] Fie o functie continua si strict descrescatoare si cu proprietatile:

(6.1)

(6.2)

(6.3) daca cu egalitate daca si numai daca

(6.4) este continua

(6.5)

pentru orice si . Atunci

este o t-norma. Daca , se obtine o t-norma stricta.

Demonstratie. Se verifica cerintele din definitia (1.18).

Exemplul [77] Pentru , , obtinem t-norma

Teorema 7. [77] Fie si o aplicatie ce satisface urmatoarele conditii, pentru

(7.1) - (7.4) identice cu (6.1) - (6.4)

(7.5) exista astfel incat

(7.6) exista astfel incat si

este o functie continua si strict descrescatoare

(7.7) fie si o functie continua si strict

crescatoare cu si numar finit.

Atunci este o negatie stricta pentru orice .

Exemplul 3. [77] Pentru , , si obtinem .

T-normele, t-conormele si negatiile sunt folosite pentru a reprezenta cunostintele incerte. Fiecarei propozitii ii asociem un grad de incredere . Daca t-normele (t-conormele) obisnuite sunt utilizate pentru combinarea unui numar mare de informatii cu grade de incredere mari (mici) se obtin, in general, rezultate ce nu concorda cu cele asteptate, in sensul ca gradul de incredere al faptului compus se micsoreaza (mareste) foarte mult. [79]

Pentru a depasi acest inconvenient era nevoie de o noua metoda de a construi t-operatori, metoda care sa difere de cea a lui Ling. Primul rezultat de acest gen a fost dat de Pacholczyk in a130s, prin prezentarea unui exemplu de operatori, numiti cu prag . Operatorii de acest tip au fost folositi cu succes pentru construirea sistemului expert SEQUI [3], care proceseaza cunostinte incerte. In [77] si [79] a fost generalizat rezultatul lui Pacholczyk si a fost introdusa si o clasa noua de operatori cu prag. Prezentam in continuare aceste rezultate. Ramanem in conditiile teoremei 7 si scriem . Luam cu urmatoarele proprietati:

(i) daca si numai daca si

(ii) este camp.

Fie si elementul invers al lui in raport cu operatiile si respectiv . Pentru simplificarea scrierii vom nota si .

Teorema 8. [79] Fie ,

si

Atunci si sunt negatii stricte astfel incat si .

Demonstratie. Vom schita ideea demonstratiei. La inceput se arata ca pentru avem:

(i)

(ii)

apoi se utilizeaza regulile de calcul intr-un corp, pentru a verifica cerintele din definitia 1.17.

Observatia Relatia (ii) spune ca daca este o masura de incredere in propozitia , atunci este un prag incepand de la care increderea in este mai mica decat Aceasta proprietate sugereaza numele de negatie cu prag. Vom numi t-norma (t-conorma) cu prag o t-norma (t-conorma) obtinuta utilizand o negatie cu prag.

Observatia 3. Daca atunci pentru ; adica increderea in negatia unei afirmatii creste odata cu pragul.

Teorema 9. [79] Fie o pereche de operatori (t-norma, t-conorma) -duali, cu . Atunci

(i) pentru si

(ii) pentru si .

Teorema 10. [79] Fie si o pereche (t-norma, t-conorma) de operatori -duali, cu Atunci

(i)

este o t-norma; are aceeasi semnificatie ca in teorema precedenta.

(ii)

este o t-norma; are aceeasi semnificatie ca in teorema precedenta.

Exemplul 4. [77] Luand se obtine rezultatul lui Pacholczyk:

Exemplul 5. [77] Pentru si avem

Exemplul 6. [79] Pentru si obtinem

unde

Plecand de la operatorii cu un singur prag apare naturala ideea de a construi operatori cu mai multe praguri. In [81] si [85] este demonstrata existenta operatorilor cu prag dublu iar in [88] este prezentata o clasa de astfel de operatori.

Teorema 13. [88] Daca si au semnificatiile stabilite anterior si atunci

este o negatie stricta si admite pe ca punct fix.

Teorema 14. [88] Fie o t-conorma si . Pentru

este t-conorma.

Teorema 15. [88] Fie o pereche (t-norma, t-conorma) de t-operatori duali in raport cu , si este t-norma duala cu in raport cu aceeasi negatie (deci, ). Pentru definim

unde , si . Atunci este t-norma - duala cu t-conorma .

5.1. Masuri de incertitudine bazate pe indici de intersectie si

reuniune

Pentru simplificarea scrierii, vom nota o multime fuzzy prin in loc de . Plecand de la conceptul de posibilitate introdus de Zadeh [186], se poate utiliza pentru masurarea posibilitatii unui eveniment fuzzy un evaluator de acoperire partiala intre si multimea fuzzy de baza ce defineste o distributie de posibilitate

(32)

Pentru obtinem ceea ce Kaufmann [98] numeste admisibilitate. Notand , au loc proprietatile de mai jos [38]:

Daca reuniunea este definita folosind operatorul , atunci pentru orice operator de intersectie avem

Necesitatea unui eveniment fuzzy corespunde incluziunii lui in si se exprima prin [38]:

unde este un operator de reuniune, iar un operator de complementare.

Daca si sunt operatori -duali, atunci

.

Cand notam , iar cand notam . Au loc urmatoarele proprietati [38]:

pentru orice ;

daca intersectia este definita folosind operatorul , atunci

In continuare multimea o notam cu iar ca operatori de intersectie si reuniune folosim pe si ; formulele (32) si (33) devin

(35)

. (36)

5. Masuri de incertitudine bazate pe R-implicatii

Un mare numar de lucrari din teoria multimilor fuzzy lucreaza cu operatorul de maximizare numit operatorul lui Pedrycz

Definitia 4. [21] Se numeste operator de maximizare (sau operatorul lui Pedrycz) atasat t-normei , o aplicatie cu proprietatile

(i)    daca

(ii)

(iii) .

Definind pe prin conditiile

daca

(38)

se obtine definitia data de Pedrycz. Diferenta dintre operatorul din definitia 4 si cel definit de conditiile (38) se vede usor daca luam : conditiile (38) dau operatorul al lui Sanchez definit de

iar definitia 4 da

(i) Ramanem, in continuare, in conditiile definitiei 4

Teorema 25. [83] Fie o functie continua si strict descrescatoare si o functie ce satisface conditiile:

1)

2)

3) daca , cu egalitate

este o aplicatie continua

5) si

6) exista astfel incat si este o functie continua si strict descrescatoare pentru orice .

Fie ; atunci, operatorul de maximizare asociat t-normei exista si este dat de expresia

Consideram urmatoarele implicatii [46, 165, 168] , numite R-implicatii

unde este o t-norma data de teorema 6, este o negatie stricta data de teorema 7, iar este t-conorma C-duala cu Din teoremele 22 si 25 obtinem

Definim

(42)

unde si sunt submultimi fuzzy normalizate ale universului , cu reuniunea si intersectia definite prin

.

Teorema 26. [83] si L sunt masuri de necesitate, iar si V sunt masuri de posibilitate.

Exemplul 8. [83] Pentru , si avem ; pentru obtinem

L

V

Observatia 5. [83] Masurile construite plecand de la R-implicatii le vom numi R-masuri.

Observatia 6. [83] Implicatia [38, 119] numita S-implicatie, genereaza prin metoda anterioara masurile date de relatiile (35) si (36).