Principiul contractiei

Principiul contractiei

1.6. Aplicatii

Observatia 1.6.1. Conditia , care apare in definitia contractiei, este esentiala pentru existenta punctului fix. Intr-adevar, fie spatiul metric al numerelor reale cu distanta naturala, (se stie ca este spatiu metric complet) si aplicatia , definita prin

.

Atunci, aplicatia verifica conditia , conditie care nu este suficienta pentru existenta punctului fix.

Intr-adevar, pentru orice , avem si atunci

, oricare ar fi .

Deci functia nu admite un punct fix desi avem :

si .

Aplicand teorema lui Lagrange pe intervalul rezulta ca exista a.i.

.

De unde deducem ca .

Observatia 1.6.2. Fie un interval inchis al axei reale si o functie continua si derivabila pe Daca exista a.i. , atunci ecuatia are o solutie unica pe , notata cu . Aceasta solutie se obtine cu sirul aproximatiilor succesive , cu , ales arbitrar. (avem ).

Mai mult, valoarea absoluta a erorii cu care un termen oarecare al sirului aproximeaza solutia exacta admite majorarea:

, unde este lungimea intervalului .

Intr-adevar, functia verifica conditiile teoremei lui Lagrange pe orice interval si atunci putem scrie

,

unde . Asadar, este contractie pe (care este spatiu metric complet (!)) si atunci putem aplica principiul contractiei.

Vom nota cu , valoarea absoluta a erorii care se comite atunci cand dorim sa inlocuim punctul fix cu termenul de rang din sirul aproximatiilor succesive. Atunci, o majorare a valorii absolute a erorii se obtine din succesiunea de evaluari:

In multe situatii este posibil ca functia , un interval inchis care contine o solutie a ecuatiei , sa nu fie contractie pe si atunci se impune alegerea unei functii construita de exemplu, cu urmatoarea

Propozitia 1.6.1 (Metoda lui Newton). Daca , interval si este o functie care verifica conditiile:

(i). si oricare ar fi ;

(ii). exista si este marginita pe ;

(iii). ;

Atunci functia (sugerata de metoda tangentei)

, (1.6.1)

este contractie pe si mai mult, sirul aproximatilor succesive

, cu oarecare, dar fixat,

converge catre solutia exacta a ecuatiei .

Mai mult, valoarea absoluta a erorii , cu care un termen oarecare al sirului aproximeaza solutia exacta , admite majorarea:

, (1.6.2)

unde este lungimea intervalului .

Demonstratie. Natural, ecuatia are solutie in intervalul . Cum este nenula pe , rezulta ca derivata pastreaza semn constant pe si in consecinta, ecuatia are o unica solutie pe .

Deoarece este continua pe si derivata nu se anuleaza pe , atunci este marginita inferior pe . Fie si . Functia , definita de formula (6.1.1) este derivabila si avem

si . (1.6.3)

Deci, este suficient sa cerem ca pentru orice (functia este continua pe ) sa cerem ca

, (1.6.4)

pentru ca metoda aproximatiilor succesive sa poata fi aplicata desigur, pentru alegerea lui oarecare.

Exercitiul 1.6.1. Folosind principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a ecuatiei

.

Solutie. Vom observa ca ecuatia are doua solutii exacte, notate cu .

Ecuatia este echivalenta cu ecuatia . Fie . Atunci ultima ecuatie se scrie sub forma .

Ecuatia data are o solutie negativa in intervalul . O conditie suficienta ca sa fie contractie este ca .

Observam ca are loc incluziunea si pentru orice , avem . Asadar, functia este contractie pe intervalul compact , interval care in raport cu metrica indusa este spatiu complet. Alegem si construim sirul aproximatiilor succesive, . Avem

.

Atunci

,

unde , reprezinta lungimea intervalului .

Analog se aproximeaza solutia pozitiva care se afla in intervalul .

Exercitiul 1.6.2. Folosind principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a ecuatiei

.

Solutie. Fie . Atunci si conduce la punctele critice (maxim local) si (minim local). Folosind sirul lui Rolle deducem ca exista o singura radacina reala .

Alegem . Ecuatia data este echivalenta cu . Deoarece atunci nu este contractie pe si in consecinta, ecuatia nu poate fi rezolvata cu teorema de punct fix pentru .

Daca alegem functia

, ,

sugerata de sirul aproximatilor succesive din metoda lui Newton (metoda tangentei), atunci avem:

pe si pe , deci nu este contractie pe .

Vom observa ca ecuatia poate fi scrisa sub forma echivalenta .

Alegem functia si deoarece

,

atunci conditia suficienta ca sa fie contractie pe este verificata si desigur, avem . Luand si obtinem .

Eroarea comisa admite majorarea (vezi formula (1.6.1))

.

Exercitiul 1.6.3.

(a) Ecuatia are doua solutii situate respectiv in intervalele si . Scriind ecuatia sub forma echivalenta

,

atunci functia este contractie pe respectiv pe . Determinati solutiile aproximative cu o eroare mai mica decat .

(b) Ecuatia admite o solutie situata in intervalul .

Aratati ca functia este contractie pe . Aplicand principiul contractiei sa se determine eroarea cu care termenul , al sirul , aproximeaza solutia ecuatiei date.

Fie o multime convexa, marginita si inchisa. Consideram functia , , care defineste ecuatia (sistemul de ecuatii)

. (1.6.5)

Presupunem ca ecuatia (1.6.5) are o solutie in . Vom observa ca ecuatia este echivalenta cu ecuatia .

Fie functia vectoriala , definita prin , avand componente ( sunt functii de variabile vectoriale cu valori reale). Atunci .

Folosind notatiile de mai sus, atunci ecuatia este echivalenta cu ecuatia

. (1.6.6)

Exista si alte metode de a pune ecuatia (sistemul) (1.6.5) sub forma (1.6.6).

Presupunem ca . Notam cu , si cu , matricea .

Propozitia 1.6.2 (Metoda aproximatiilor succesive). Daca si , atunci sistemul

,

admite o unica solutie in (un punct fix) care se obtine cu sirul aproximatiilor succesive

oarecare, dar fixat, in . (1.6.7)

Mai mult, termenul , al sirului (1.6.7), aproximeaza punctul fix, , cu eroarea , care admite majorarea

, (1.6.8)

sau, majorarea

. (1.6.9)

Demonstratie. Conform ipotezei, functiile sunt de clasa pe , care este multime convexa. Atunci, din teorema lui Lagrange, avem

.

Trecand la modul, putem scrie

.

Atunci avem

,

relatie care arata ca functia este contractie pe spatiul normat complet si, potrivit teoremei lui Banach, exista si este unic punctul , a.i. . Asadar, punctul fix este unica solutie a sistemului de ecuatii (1.6.5).

Din teorema de punct fix a lui Banach deducem evaluarea

, (1.6.10)

care arata cum orice termen al sirului (1.6.7) aproximeaza punctul fix cu o anumita eroare . Evaluarea (1.6.10) se obtine direct din definitia erorii si a faptului ca functia este contractie.

In cazul particular cand , rezultatul este prezentat in observatia 1.6.1.

Exemplul 1.6.1. Se considera sistemul de ecuatii

(1.6.11)

Aplicand principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a sistemului stiind ca ea afla in multimea .

Solutie. Incercam sa transformam sistemul dat intr-o problema de punct fix ca in propozitia 1.6.2. Pentru aceasta, vom pune sistemul sub urmatoarea forma echivalenta:

(1.6.12)

si alegem functia , definita prin

,

oricare ar fi .

Functia are doua componente pe care le vom nota cu

si (1.6.13)

si atunci sistemul (1.6.12) este echivalent cu sistemul (sau ).

Consideram restrictia functiei la multimea . Fie

.

Atunci, matricea , unde , , are forma

. Avem .

Deci, aplicatia este contractie.

Sirul aproximatiilor succesive are forma sau, scris pe componente,

,

unde alegem conditia initiala .

In continuare prezentam un program Mathcad pentru calculul sirului recurent. In acest program se precizeaza eroarea cu care termenul al cincilea si al zecilea aproximeaza solutia exacta.

Eroarea cu care termenul de rang al sirului aproximeaza solutia exacta este notata cu .

Exemplul 1.6.2. Se considera sistemul de ecuatii

(1.6.14)

Aplicand principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a sistemului stiind ca solutia exacta se afla in multimea . Este usor de vazut ca solutia exacta este .

Solutie. Vom pune sistemul sub urmatoarea forma echivalenta

. (1.6.15)

Alegem functia , astfel incat sistemul (1.6.14) sa fie transformat intr-o problema de punct fix, adica sistemul (1.6.14) sa fie echivalent cu sistemul

, .

Pentru aceasta este suficient sa alegem si .

Atunci avem

, .

Consideram restrictia functiei la multimea inchisa si convexa

si determinam matricea , cu elementele , . Avem

si atunci .

Deducem , conditie care arata ca aplicatia este

contractie. Sirul aproximatiilor succesive are forma , sau, scris pe

componente, sub forma

, si .

In continuare prezentam un program Mathcad pentru calculul sirului recurent. In acest program se precizeaza o majorare a eroarii cu care termenul al cincilea si al zecilea aproximeaza solutia exacta; in cazul cand majorarea se face cu formula (1.6.8) am notat eroarea cu "" si cu s-a notat eroarea in cazul cand am folosit formula (1.6.9).

Exercitiu . Se considera sistemul de ecuatii

(1.6.16)

Sa se transforme sistemul astfel incat sa putem aplica principiul contractiei, apoi sa se determine o solutie aproximativa a sistemului stiind ca solutia exacta se afla in multimea .

Solutie. Se verifica usor ca este unica solutie exacta situata in. Sistemul poate fi pus sub urmatoarea forma echivalenta

Fie functia , unde si . Atunci matricea

, unde , are forma .

Avem,

.

Deci, este contractie pe .

In continuare prezentam un program Mathcad pentru calculul sirului recurent. In acest program se precizeaza o majorare a eroarii cu care termenul al cincilea si al zecilea aproximeaza solutia exacta; in cazul cand majorarea se face cu formula (1.6.8) am notat eroarea cu "" si cu s-a notat eroarea in cazul cand am folosit formula (1.6.9).