Masura volumelor

MASURA VOLUMELOR

Tema aceasta trebuie sa exploateze intens si eficace analogia plan - spatiu. Aceasta analogie apare implicata atat in linia generala de abordare a temei cat si in lectiile curente. Ea se refera la continutul stiintific, la metodele de demonstratie, precum si la tratarea sub aspect metodic.

Nivelul intuitiv de abordare a problematicii, care premerge predarii geometriei, tinand de fizica in masura mai mare decat cel consacrat ariilor, are ca obiective:

1. Formularea conceptului de volum al unui corp. Stabilirea si retinerea terminologiei specifice.

2. Intuirea proprietatilor functiei volum.

3. Masurarea volumelor unor corpuri, operatii cu unitati de volum, transformarea lor.

La nivel rational neformalizat putem distinge, ca si in cazul ariilor, doua modalitati de prezentare generate de puncte de plecare distincte: volumul tetraedrului si, respectiv, volumul cubului (paralelipipedului dreptunghic). Fiecare din acestea poate capata mai multe variante in functie de rigoarea dorita si de timpul disponibil. In continuare, descriem cele doua modalitati importante de derulare a temei si indicam pe scurt unele variante.

Oricare dintre variante are la baza functia volum. Inainte de a introduce aceasta functie trebuie sa-i precizam domeniul de definitie, cu alte cuvinte sa descriem suficient de precis figurile geometrice carora le vom asocia un volum. In ideea de a merge de la simplu la complex, se asociaza mai intai volume multimilor (corpurilor) poliedrale si ulterior corpurilor marginite de suprafete mai complicate decat planele. Multimea poliedrala este analoaga suprafetei poligonale (simple) in sensul ca este o multime care se exprima ca reuniune finita de tetraedre (piramide triunghiulare) cu interioare disjuncte doua cate doua.

Notam prin C multimea ale carei elemente sunt corpuri (multimi) poliedrale.

O functie v:C→R cu proprietatile

1) Daca doua tetraedre T₁ si T₂ sunt congruente, atunci v(T₁)= v(T₂)

2) Daca P₁ si P₂    sunt multimi poliedrale cu interioare disjuncte, atunci

v(P₁ P₂ )= v(P₁)+ v(P₂)

3) Daca U este un cub de muchie 1, atunci v(U)=1,

se numeste functie volum.

Proprietatile functiei volum pot ramane neexplicitate, dar subintelese pe baza intuitiei si experientei din clasele anterioare (in situatia a. de mai jos) sau se expliciteaza ca proprietati fundamentale ale volumelor (in situatia b. de mai jos).

a.Punct de plecare: volumul tetraedrului

- Se demonstreaza ca produsul dintre aria unei fete a unui tetraedru si inaltimea corespunzatoare este acelasi, oricare ar fi latura si inaltimea corespunzatoare.

- Se defineste volumul tetraedrului ca produsul de mai sus impartit la 3. Definitia este corecta. Asadar, analogia triunghi - tetraedru se continua in corespondenta arie - volum si se coreleaza cu trecerea de la 2 la 3.

- Se face observatia ca doua tetraedre congruente au acelasi volum si ca doua tetraedre cu ariile a doua fete respectiv egale si inaltimile corespunzatoare egale au acelasi volum.

- Se demonstreaza ca volumul unei prisme triunghiulare este dat de produsul intre aria bazei si inaltime prin descompunerea ei in trei tetraedre de acelasi volum. Aceasta descompunere este punctul cel mai delicat al temei si se impune tratarea lui cu atentie, insotita de desene si, eventual, de un model concret din lemn sau plastic, care, de obicei, se gaseste in trusa cu material didactic.

- Se deduce formula volumului unei prisme oarecare prin descompunerea in prisme triunghiulare. In particular, se da formula uzuala pentru volumul unui paralelipiped oblic, apoi pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic si apoi pentru cub, introducandu-se astfel unitatea de volum.

Se stabilesc formule de calcul pentru volumul piramidei si trunchiului de piramida.

- Se evidentiaza pe unele corpuri particulare ca raportul volumelor a doua corpuri poliedrale asemenea este egal cu cubul raportului de asemanare.

In aceasta modalitate de predare elevii sunt pusi in situatia de a demonstra suficient de mult fara a intalni dificultati conceptuale semnificative. Demonstratiile tin efectiv de domeniul geometriei in spatiu.

a) Punct de plecare: volumul cubului

Lucram in ipoteza ca problematica ariei figurilor plane nu se mai reia la nivel axiomatic formalizat. Este deci necesara o insistenta mai mare pe "functia arie".

Ordinea de prezentare poate fi urmatoarea:

- Se introduce functia volum (sau se introduc proprietatile ei ca proprietati fundamentale).

- Se arata ca volumul unui cub de latura a este a³ prin descompunerea lui in cuburi de latura 1. cazul a irational ridica dificultati similare cu cele de la aria patratului. Se trateaza analog.

- Se demonstreaza ca volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu produsul dimensiunilor sale. Se poate proceda prin descompunerea in cuburi de latura 1 cu dificultatile ridicate de situatia in care una sau mai multe laturi au lungimi numere irationale. O cale mai accesibila este cea propusa in capitolul urmator. Se arata mai intai ca volumele a doua paralelipipede dreptunghice cu aceeasi baza se raporteaza ca inaltimile lor si se aplica succesiv acest rezultat paralelipipedelor dreptunghice de dimensiuni 1, 1, 1; a, 1, 1; a, b, 1; a, b, c.

- Volumul paralelipipedului oblic se reduce la calculul volumului unuia dreptunghic prin decupare si completare convenabila.

- Volumul prismei triunghiulare se gaseste prin completare la un paralelipiped, iar al prismei oarecare prin descompunere in prisme triunghiulare.

- Formula pentru volumul tetraedrului se obtine ca in situatia a).

- Se deduc formulele de calcul pentru volumului piramidei si trunchiului de piramida.

Remarcam ca de la un moment dat modalitatile a) si b) devin identice.

Nivelul axiomatic presupune definirea riguroasa, fara elemente intuitive a multimilor poliedrale, formularea axiomelor volumului (exact proprietatile functiei volum) si demonstrarea existentei functiei volum (in fond un model pentru axiome).

Semnalam posibilitatea de a deduce formulele de calcul pentru volumele corpurilor uzuale, inclusiv a celor numite uneori "rotunde": cilindru, con, sfera, pe baza principiului lui Cavalieri .

In sfarsit, mentionam ca exista numeroase probleme de geometrie in spatiu care se rezolva prin consideratii de volume. Cele mai multe se refera la relatii metrice.

BIBLIOGRAFIE

1. Manualele de geometrie pentru gimnaziul si liceu, editii de dupa 1982.

2. Manualul de geometrie pentru clasele VII-IX, elaborat de A.V. Pogorelov si tradus in limba romana pentru scolile din Republica Moldova de I. Goian si I. Chitoroaga, 1990.

3. Achiri I. s.a., Metodica predarii matematicii, Vol. I, Chisinau, Ed. Lumina, 1992.

4. Anastasiei M., Metodica predarii matematicii, Univ. "Al. I. Cuza", Iasi, 1985.

5. Bell s.a., Arie, masa, volum, Bucuresti, EDP, 1981.

6. Mihaileanu N. N., Lectii complementare de geometrie, Bucuresti, EDP, 976.

7. Miron R., Geometrie elementara, Bucuresti, EDP, 1968.

8. Miron R., Branzei O., Fundamentele aritmeticii si geometriei, Bucuresti, Ed. Academiei Romane, 1983.

9. Moise E., Geometrie elementara dintr-un punct de vedere superior, Bucuresti, EDP, 1980.

10. Moise E., Downs F., Geometrie, Bucuresti, EDP, 1983.

11. Popescu O. Radu V., Metodica predarii geometriei in gimnaziu, Bucuresti, EDP, 1983.

12. Kolmogorov A. N. s.a., Algebra si elemente de analiza X-XI, Chisinau, Ed. Lumina, 1991.