Punctul si dreapta incluse in plan. Proprietatile planelor simplu si dublu particulare.

Pozitii relative ale dreptei fata de plan. Reguli de vizibilitate

1. Punctul si dreapta incluse in plan

Fiind dat un plan oarecare se cere sa se verifice daca un punct, definit prin coordonate, apartine acelui plan. O astfel de problema poate apare ori de cate ori se cere construirea de poligoane, drepte (paralele sau perpendiculare fata de o alta dreapta) intr-un plan deja definit. In toate aceste situatii este nevoie sa se aleaga puncte care indeplinesc conditia de a apartine planului. Conditia ca un punct sa apartina unui plan se formuleaza astfel:

Observatii

1. In cazul unui plan dublu particular conditia de mai sus se poate reformula dupa cum urmeaza:

Fig. 1 Fig. 2

In figurile 1 si 2 punctul M(10, 30, 30) apartine planului de front [F] caracterizat prin departarea y = 30 deoarece y _M = y _[F]. Punctul N(35, 10, 13) nu apartine planului [F] deoarece y _N y _[F]. Astfel segmentul intersecteaza planul de front in punctul M.

2. In cazul unui plan simplu particular conditia de mai sus se poate reformula dupa cum urmeaza:

Fig. 3 Fig. 4

In figurile 3 si 4 punctul B(10, 18, 30) apartine planului de capat [P] deoarece proiectia verticala b' apartine urmei inclinate (urma verticala) a planului. Spunem ca: daca [P] [V] si (P_V) T [P]. In aceleasi figuri punctul A(28, 18, 30) nu apartine planului [P]. Segmentul este un segment de dreapta fronto-orizontala care intersecteaza planul [P] in .

b) Dreapta inclusa in plan

Problema apartenentei unei drepte la un plan dat intervine atunci cand se doreste construirea unui poligon sau a unui contur (inchis sau deschis) compus din segmente de dreapta si / sau arce de cerc, respectand conditia ca acesta sa fie plan.

Pentru a exprima conditia de apartenenta a unei drepte la un plan se foloseste reciproca definitiei planului. Deci, o dreapta apartine unui plan daca doua dintre punctele sale sunt cuprinse in plan

Grafic, in epura, aceasta conditie se aplica folosind punctele semnificative ale unei drepte, adica urmele sale (orizontala, verticala, laterala) si formularea conditiei anterioare devine cea de mai jos:

Observatie importanta: in cazul planelor simplu si dublu particulare este mai simplu sa se verifice apartenenta la plan a oricare doua puncte ale dreptei.

Exemplul nr. 1: Fie planul vertical [Q] ([Q] [H]) definit prin punctele Qx(40, 0, 0) si Qy(0, 40, 0). Se cere sa se verifice daca segmentul apartine planului [Q]. In figurile 5 si 6 sunt prezentate schita spatiala si respectiv epura care contine rezolvarea.

Fig. 5 Fig. 6

Varianta 1) Deoarece si definesc o dreapta oarecare, aceasta are trei urme: - urma orizontala, - urma verticala si - urma laterala, dintre care cu usurinta se determina H(h, h', h'') si W(w, w', w''). Din schita spatiala se observa ca urma orizontala apartine urmei orizontale (Q _h) a planului si urma laterala W apartine urmei laterale (Q _W) a planului. In epura (Q _h) si (Q _W) deci dreapta (CD) apartine planului [Q].

Varianta 2) In mod direct se constata ca si (proiectiile orizontale ale extremitatilor segmentului) apartin urmei orizontale (Q_h) a planului, deci cele doua puncte sunt in plan si in consecinta dreapta (CD) apartine planului.

Exemplul nr. 2: Fie planul de nivel [N] de cota z_N = 30 mm si dreapta definita de punctele E(28,5; 8,5; 30) si F(11,5; 22,5; 30). Sa se verifice daca dreapta astfel definita apartine planului [N] (figurile 7 si 8).

Varianta 1) In acest caz este evident ca punctele si apartin planului de nivel [N] deoarece z_E = z_F =z _[N] = 30 mm si deci dreapta determinata de ele este o dreapta de nivel.

Varianta 2) Se poate verifica apartenenta dreptei (EF) la plan determinand cele doua urme ale dreptei: V(v, v', v'') si W(w, w', w'') (o dreapta de nivel nu are urma orizontala). Se constata ca (proiectia verticala a urmei verticale ) apartine urmei verticale (N _V ) a planului: (N_V) si (proiectia laterala a ) apartine urmei laterale (N _W) a planului: (N _W).

Fig. 7 Fig. 8

2. Proprietatile planelor simplu si dublu particulare

a) Proprietatile planelor simplu particulare

Datorita pozitiei lor in spatiu planele simplu particulare au urmatoarele proprietati, numite proprietati metrice. In cele ce urmeaza ele sunt prezentate pentru planul fronto-orizontal.

Fig. 9 Fig. 10

Aceasta proprietate este o consecinta a pozitiei planului fronto-orizontal (perpendicular pe planul lateral). Proiectanta oricarui punct din plan fata de planul lateral este o dreapta a planului fronto-orizontal si intersecteaza [W] intr-un punct ce apartine atat planului lateral cat si planului fronto-orizontal, deci intr-un punct apartinand urmei laterale a planului. In figurile 9 si 10 fiecare dintre punctele A(35, 30, 5), B (10, 30, 5) si C(10, 5, 30) apartin planului fronto-orizontal definit prin punctele P_Z (0, 0, 40) si P_Y(0, 40, 0) pentru ca proiectiile lor laterale apartin urmei laterale.

Fig. 11

In figura 11 unghiul a din spatiu dintre planele [P₁] si [P₂] se masoara in planul [Q] D [P₁] ∩ [P₂], intre dreptele (D₁) si (D₂), (D₁) [P₁] ∩ [Q] si (D₂) [P₂] ∩ [Q].

Pe baza acestei defintii se poate enunta urmatoarea proprietate a planului fronto-orizontal:

Se constata din figura 9 ca unghiul dintre planul fronto-orizontal [P] si planul vertical este unghiul masurat in planul [W] intre dreptele de intersectie (OZ) [P] ∩ [V] si (P_W) [P] ∩ [W]. In epura se rega-seste acelasi unghi intre (OZ) si (P_W).

b) Proprietatile planelor dublu particulare

Proprietatile planelor dublu particulare reprezinta particularizari ale proprietatilor planelor simplu particulare.

Astfel, pentru planul de profil [R] [H] si [R] [V] T [R] [W] proprietatile P6 si P7 devin:

Pentru ca planul de profil este paralel cu planul lateral, acestor doua proprietati li se adauga o a treia:

Fig. 12 Fig. 13

In figurile 12 si 13 este exemplificat cazul unui plan de profil [R] care contine un cerc de centru C(30, 25, 23) de raza r = 14 mm. Toate punctele semnificative ale cercului - centrul C si punctele diametral opuse 1, 2, 3, 4 - apartin planului si cercul se proiecteaza in adevarata marime pe planul lateral dar    deformat pe planul orizontal (ca segmentul (2-4) si pe planul vertical ca segmentul (1' -3').

3. Pozitii relative ale dreptei fata de plan

In raport cu un plan o dreapta se poate gasi in una dintre urmatoarele pozitii relative: a) paralelism;    b) concurenta. Perpendicularitatea unei drepte fata de un plan este un caz particular al concurentei (intersectiei) dintre o dreapta si un plan (unghiul dintre dreapta si plan fiind de 90

a) Dreapta paralela cu planul

Fiind dat un plan oarecare si un punct exterior lui, se cere sa se construiasca prin punct o dreapta paralela cu planul. Rezolvarea se bazeaza pe teorema cunoscuta din geometria in spatiu:

Observatie: pentru ca intr-un plan se pot construi / alege o infinitate de drepte, rezulta ca se poate construi o infinitate de drepte paralele cu planul dat, ceea ce inseamna ca formularea problemei permite o infinitate de solutii. Pentru a obtine o solutie unica este nevoie si de o a doua conditie care sa precizeze directia dreptei ce indeplineste conditia de perpendicularitate.

Fig. 14

In figura 14 este prezentata o schema intuitiva si constructia grafica a unei drepte paralele cu un plan determinat prin urmele sale. Asa cum s-a aratat anterior, printr-un punct exterior unui plan se pot construi o infinitate de drepte paralele cu planul dat, fiecare din ele fiind paralela cu o dreapta continuta in plan. Astfel, daca in planul [P] se aleg dreptele (D ) si (D ), prin [P] se pot construi doua drepte (D₁) D ) si (D₂) D ) care astfel sunt paralele cu [P].

Problema construirii unei drepte paralele la un plan are solutie unica doar daca se impune o con-ditie suplimentara (directia dreptei in spatiu, apartenenta ei la un alt plan etc.). In figura 14 este exem-plificata constructia prin a unei drepte (G₁) care: a) este paralela cu [P] si b) este o orizontala, adica (G₁) [H].

Pentru a fi paralela cu [P], (G₁) trebuie sa fie paralela cu o dreapta din [P] iar pentru a fi orizontala, trebuie ca insasi dreapta din plan sa fie orizontala.

Prin [P] s-a construit dreapta (G). Ea este o orizontala pentru ca :

1) proiectia verticala (g') a fost construita prin paralela cu axa (OX): (g') (OX);

2) proiectia laterala (g'') a fost construita prin paralela cu axa (OY'): (g'') (OY');

3) proiectia orizontala (g) a fost construita prin paralela cu urma orizontala a planului: (g) (P_h);

Dreapta (G) astfel construita este o dreapta continuta in planul [P] deoarece:

1) contine punctul B, B (G) iar acesta apartine planului;

2) urma sa verticala V₁ (v₁, v₁' ) are proiectia verticala v₁' situata pe urma verticala a planului, (P_V), ceea ce inseamna ca V₁ apartine planului [P]. Astfel (G) are doua puncte ce apartin planului [P] deci este continuta in acesta.

Prin urmare dreapta (G₁) construita prinparalela cu (G) este paralela cu [P].

De asemenea este paralela cu [P] dreapta (D₂) construita prinparalela cu dreapta (VH) din plan.

b) Dreapta concurenta cu planul

O dreapta intersecteaza un plan daca are doar un punct comun cu planul respectiv. Gasirea acestui punct comun este foarte usoara in cazul intersectiei dreptelor cu planele simplu si dublu particulare datorita proprietatilor acestora. Problema intersectiei dintre o dreapta si un plan oarecare se poate rezolva fie direct, fie transformand planul oarecare intr-un plan simplu particular. Ambele rezolvari presupun notiuni suplimentare.

1) Intersectia dintre o dreapta si un plan simplu particular

Fie planul vertical ([Q] [H]) definit prin punctele Q_X (40, 0, 0), Q_Y (0, 40, 0) si segmentul . Din figurile 15 si 16 se observa ca punctul D(20, 20, 20) este punctul de intersectie dintre planul [Q] si segmentul deoarece el apartine atat segmentului cat si planului.

Determinarea grafica, in epura, a punctului de intersectie se bazeaza pe rationamentul de mai jos.

1) Deoarece [Q] [H], punctele cuprinse in plan au proiectiile orizontale situate pe (Q_h), urma sa orizontala.

2) Un punct de intersectie dintre segmentul de dreapta si plan este cel a carui proiectie orizontala apartine concomitent proiectiei orizontale a segmentului si urmei orizontale a planului. Aceasta conditie o inde-plineste doar punctul notat d care rezulta din intersectia (ab) si (Q _h), adica d (ab) ∩ (Q _h).

3) Deoarece punctul de intersectie dintre plan si segmentul de dreapta este un punct al segmentului, el va avea proiectia verticala d' situata pe proiectia verticala a segmentului (a'b') iar proiectia laterala d'' apartine proiectiei laterale a segmentului (a''b'').

Fig. 15 Fig. 16

2) Intersectia dintre o dreapta si un plan dublu particular

In figurile 17 si 18 este prezentata determinarea punctului de intersectie dintre planul de nivel [N] avand cota z_[N] = 20 mm si segmentul . Rationamentul este asemanator cu cel prezentat anterior.

1) Deoarece [N] [H], atunci toate punctele cuprinse in plan au proiectiile verticale situate pe urma verticala (N _V ) a planului iar proiectiile laterale apartin urmei laterale a planului, (N _W).

2) Un punct comun al segmentului de dreapta si al planului este cel a carui proiectie verticala apartine concomitent proiectiei verticale a segmentului si urmei verticale a planului. Aceasta conditie o indeplineste doar punctul notat q' care rezulta din intersectia (m'p') si (N _V ), adica: q' (m'p') ∩ (N _V ).

3) Deoarece punctul de intersectie dintre plan si segmentul de dreapta este punct al dreptei, el satisface conditiile: proiectia orizontala q apartine proiectiei orizontale a segmentului (mp) si proiectia laterala q'' apartine proiectiei laterale a segmentului (m''p'').

Fig. 17 Fig. 18

i

4. Reguli de vizibilitate

Reprezentarea in tripla proiectie ortogonala are la baza conventia ca un observator studiaza un obiect din spatiu privindu-l dupa trei directii, normale la planele de proiectie si ale caror sensuri sunt indicate in figura 19. De exemplu pentru a obtine proiectia pe planul vertical directia de privire este in sens invers sensului

pozitiv al axei OY. Este evident ca dintre punctele obiectului studiat, o parte sunt vizibile pentru observator iar altele invizibile.Regula dupa care se determina vizibilitatea unui punct din spatiu fata de alte puncte intr-o proiectie este:

In fig. 19 varfurile 1 si 5 ale parale-lipipedului 1-2-3-4-5-6-7-8 au proiectii verticale confundate dar vizibil este varful 1 deorece el este mai apropiat de observator (sau altfel spus distanta sa fata de planul vertical este mai mare decat distanta varfului 5 fata de acelasi plan).

In problemele de intersectie dintre drepte si plane este necesar sa se determine vizibilitatea dreptei in raport cu planul pe care il intersec-teaza, asa cum se arata in figurile 15, 16 si 17, 18.

Fig. 19

APLICATIE

Fie placa ABC si segmentul a ca-ror pozitie reciproca este cea din fig. 20. Sa se determine grafic punctul lor de intersectie si sa se justifice vizibilitatea segmentului in raport cu placa. Se dau coordonatele: A(5, 5, 5), B(13, 35, 10), C(45, 10, 30), M(45, 20, 0), N(15, 20, 30).

REZOLVARE

Se observa ca este un segment de front (y _M = y _N = 20) iar placa apartine unui plan de capat (proiectiile a', b' si c' sunt coliniare). Datorita faptu-lui ca planul placii este un plan simplu particular, punctul de intersectie I (i, i', i'') are proiectia verti-cala i' in punctul de intersectie al proiectiei ver-ticale (m"n") cu urma planului (a'c'). Celelalte doua proiectii i si i'' se determina la intersectia liniilor de ordine cu proiectiile (mn) si (m''n''), deoarece punctul I apartine segmentului .

Fig. 20

Vizibilitatea in proiectia orizontala se stabileste pe baza urmatoarelor rationamente:

- de la n la punctul de concurenta aparenta cu latura (cb) segmentul (nm) este evident vizibil;

- punctului de concurenta aparenta (1=2) ii corespund doua puncte din spatiu: punctul 1 aparti-nand laturii si punctul 2 apartinand segmentului, proiectiile lor verticale fiind notate cu 1' si 2'. Deoarece cota punctului 1 este mai mare decat cota punctului 2 (z ₁ > z ₂) rezulta ca va fi vizibila latura (cb) sau, altfel spus, segmentul (nm) devine invizibil de la punctul de concurenta aparenta;

- segmentul (nm) se mentine invizibil pana cand intersecteaza (strapunge) placa in i si astfel devine din nou vizibil.

Vizibilitatea in proiectia laterala se stabileste in mod asemanator, comparand abscisele punctului 1 ce apartine laturii si punctului 3 ce apartine segmentului .

BIBLIOGRAFIE

1. VRACA Ileana DESEN INDUSTRIAL Editura Tehnica Bucuresti 1984 (Cap. 7 Reprezentarea, sectionarea si intersectarea corpurilor geometrice uzuale pag. 75 - 77)

2. PRECUPETU Paul, DALE Constantin PROBLEME DE GEOMETRIE DESCRIPTIVA CU APLICATII IN TEHNICA Editura Tehnica Bucuresti 1987 (Cap. 1.3 Planul pag. 39 -58)