Rotatia unui sistem de coordonate fata de un alt sistem de coordonate

Rotatia unui sistem de coordonate fata de un alt sistem de coordonate

Fie un corp mobil care a fost rotit cu un unghi θ=90⁰ in jurul unei axe, fata de un corp fix numit baza.

Fie sistemul ortonormat atasat corpului fix.

Fie sistemul ortonormat atasat corpului mobil.

Se considera un punct P care apartine corpului mobil.

Problema consta in reprezentarea pozitiei punctului P de pe corpul mobil fata de sistemul de coordonate atasat bazei.

Atat timp cat punctul P apartine corpului mobil, coordonatele lui P fata de sistemul M raman neschimbate dar vor varia fata de sistemul F atunci cand corpul este rotit.

Cele doua multimi de coordonate ale punctului P se exprima astfel:

.

Rezolvarea problemei consta in gasirea coordonatelor punctului P fata de sistemul F daca se cunosc coordonatele lui P fata de sistemul M. Aceasta este o problema de transformare de coordonate. Pentru sisteme ortonormate solutia este urmatoarea:

;

transformare generalizata de coordonate din sistemul M in sistemul F.

Observatie

Sistemele fiind ortonormate, produsele scalare intre vectorii f^k si m^j sunt chiar cosinusii directori intre f^k si m^j.

Transformarea inversa care transforma coordonate F in coordonate M este data prin A^-1 unde:

.

1.1. Rotatii fundamentale

Daca sistemul de coordonate mobil M este obtinut din sistemul de coordonate fix F prin rotirea lui M in jurul uneia dintre axele unitate ale lui F atunci matricea transformarii de coordonate este numita matrice fundamentala de rotatie.

.

In spatiul R³ exista trei posibilitati:

M se roteste in jurul axei f¹ a sistemului F.

M se roteste in jurul axei f² a sistemului F.

M se roteste in jurul axei f³ a sistemului F.

1.2. Rotatii compuse

Cand sunt inmultite un numar de matrici fundamentale de rotatie, matricea produs reprezinta o secventa de rotatii in jurul vectorilor unitate. Rotatiile multiple de aceasta forma se numesc rotatii compuse. Folosind rotatiile compuse putem stabili o orientare pentru terminalul din figura de mai jos:

Cele trei rotatii fundamentale sunt:

Yaw (deriva)- rotatie in jurul axei f¹

Pitch (angaj rotatie in jurul axei f²

Roll - rotatie in jurul axei f³.

Fiecare rotatie fundamentala este reprezentata printr-o matrice.

2) Translatia unui sistem de coordonate fata de un alt sistem de coordonate

Aceasta transformare geometrica are ca efect numai modificarea pozitiei unui sistem fata de celalalt sistem, astfel un vector de transformare p=(p¹, p², p³)^T unde p¹, p², p³ sunt translatiile de-a lungul axelor x,y,z defineste cu precizie si in totalitate orice translatie.

Transformarile geometrice generale nu numai ca nu se pot limita numai la rotatii sau numai la translatii dar pot fi transformari de tip roto-translatie iar existenta unei descrieri care sa inglobeze atat translatia cat si rotatia unui sistem fata de celalalt ar fi binevenita.

Pentru omogenizarea reprezentarilor se introduce matricea transformarilor omogene T, de dimensiune (4x4) ce poate fi privita ca fiind compusa din 4 submatrici separate. Astfel:

unde:

R - matricea de rotatie, de dimensiune (3x3); determina orientarea sistemului de coordonate mobil fata de sistemul de referinta fixat;

p - vectorul de translatie, de dimensiune (3x1); reprezinta originea sistemului de coordonate mobil fata de sistemul de referinta fixat;

- factor de scala; in general =1;

vector de perspectiva, (1x3); in studiul cinematicii este vectorul nul.

Cu ajutorul acestui operator T se definesc urmatoarele matrici fundamentale:

;

unde:

- matricea fundamentala de rotatie, omogena, de ordin k;

- matricea fundamentala de rotatie de ordin k;

Tran(p) - matricea fundamentala de translatie, omogena, de ordin k.

Observatie: Puterea coordonatelor omogene consta in faptul ca pot fi folosite de asemenea matrici pentru a reprezenta translatia.

Se observa ca:

;

.

In general insa miscarea unei arhitecturi robotice nu se poate separa numai in miscari de rotatie sau numai miscari de translatie fapt ce duce la oportunitatea studierii transformarilor omogene compuse. Deoarece inmultirea matricilor nu este comutativa este importanta ordinea in care sunt realizate miscarile efectuate. Pe de alta parte, miscarea se poate realiza atat in raport cu sistemul de coordonate fix F cat si in raport cu sistemul de coordonate mobil M.

Pentru a rezolva ambiguitatile in legatura cu modul in care se construieste matricea transformarilor omogene se foloseste urmatorul algoritm:

Se initializeaza matricea T cu matricea I ceea ce corespunde alinierii celor doua sisteme de coordonate F si M.

Se reprezinta rotatiile si translatiile utilizand operatorii elementari omogeni Tran(p) si Rot(θ,k).

Daca sistemul de coordonate M este rotit sau translatat in jurul unei axe a sistemului F, transformarea globala se obtine prin premultiplicarea (inmultirea la stanga) a transformarii initiale cu ultima transformare impusa.

Daca sistemul de coordonate M este rotit sau translatat in jurul unei axe proprii, transformarea globala se obtine prin postmultiplicarea (inmultirea la dreapta) a transformarii initiale cu ultima transformare impusa.

Daca sunt mai multe transformari aplicate sistemului M se reia algoritmul de la pasul 3, daca nu STOP.