MINISTERUL EDUCATIEI, CERCETARII SI INOVARII

INSPECTORATUL SCOLAR JUDETEAN IASI

LICEUL DE INFORMATICA "GRIGORE T. MOISIL" IASI

CONCURSUL DE MATEMATICA

FLORICA T. CAMPAN

ETAPA INTERJUDETEANA, 21 MARTIE 2009

SOLUTII SI BAREME

Clasa a VII-a

1.Luandu-se dupa harta care a apartinut piratului Supernegru, pentru a gasi comoara fabuloasa (adica o supercomoara) ascunsa de acesta candva, undeva in Caraibe, patru supercautatori trebuie sa caute in interiorului patrulaterului NESV situat pe un teren plat si obtinut astfel: din acelasi punct O, fiecare dintre cei 4 merge, in linie dreapta, primul face b pasi spre nord pana in N, al doilea c pasi spre est pana in E, al treilea a pasi spre sud pana in S si ultimul a pasi spre vest pana in V (a,b,c numere naturale). Stiind ca intre N si E sunt exact a pasi si ca lungimea pasului fiecaruia dintre cei 4 este aceeasi si constanta, aratati ca suprafata patrulaterului NESV are aria exprimata printr-un numar natural (unitatea de masura este patratul cu latura de 1pas). Este posibil ca aria patrulaterului sa fie egala cu aria unui patrat de latura 6 pasi ?

Solutie

I Observam ca , deci ; cum cel putin unul dintre numerele si este numar par. Sa presupunem, prin reducere la absurd, ca si sunt ambele impare si sa mai observam ca . Daca presupunem ca a este impar, atunci b si c trebuie sa fie, ambele, pare, de unde si sunt pare si din par, adica a par, contradictie. Daca a este par, atunci b si c trebuie sa fie ambele impare.

a par multiplu de ; fie si , atunci , adica este multiplu de 4 plus 2. Cum este adevarata, ajungem la o contradictie. Ramane ca, macar unul dintre numerele , este par.

II si deci este multiplu de 4 este multiplu de 2

Barem

Modeleaza geometric situatia descrisa de problema: patrulaterul NESV este ortodiagonal cu lungimile diagonalelor si . 2

. 1

.. 1

Presupune, prin R.A. ca si sunt ambele impare . 1

Daca a impar, arata ca se ajunge la o contradictie . 3

Daca a par, arata ca se ajunge la o contradictie .. 4

Finalizare .. 1

2.i) Fie numere reale pozitive. Demonstrati ca este media geometrica a lui si daca si numai daca

ii) Fie punctul de intersectie a diagonalelor patrulaterului convex. Demonstrati ca daca si numai daca

Solutie

i)

ii)Notam si si observam ca si Conform i) avem (1). Fie si , , .

si acum (1) , q.e.d.

Barem

i) aducerea corecta la acelasi numitor . 1p

2p

ii) observa ca se poate folosi i) si arata ca 3p

arata ca si . 3p

. 2p

3p

3. Rezolvati in multimea numerelor intregi ecuatia:

Solutie

Notam si . .. .. .. . 1p

Ecuatia devine .. .. .. .. 1p

Grupand convenabil, obtinem .. .. .. 4p

Rezulta .. .. .. .. . 2p

Apar urmatoarele patru posibilitati

sau sau sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2p

Numai primul si ultimul au solutii intregi: (0,1),(1,0),(-6,1),(,-6) .. .. .. .. . 1p

Prin urmare solutiile ecuatiei sunt . . 2p