Serii de puteri de variabila complexa

Serii de puteri de variabila complexa

Definitia 1. Se numeste serie de puteri de variabila zIC o serie de forma

, (1)

unde constantele a_kC se numesc coeficientii seriei de puteri.

Observatia 1. Polinoamele sunt serii de puteri pentru orice zIC ( numite functii intregi ) de un tip particular, unde iar k este gradul polinomului respectiv.

Teorema 1. (Abel, 1826). Pentru orice serie de puteri, putem asocia un numar real pozitiv R (eventual nul sau infinit) astfel incat:

i) seria converge absolut pentru z, cu ;

ii) seria este divergenta pentru cu .

Numarul R I ] se numeste raza de convergenta a seriei date si evident depinde numai de coeficientii ai seriei.

Demonstratie. i). Presupunem ca exista a.i. seria este convergenta (exista , eventual ). Atunci ( ) a.i. , deci

.

Urmeaza ca seria este convergenta pentru toate valorile lui z situate in interiorul cercului , fiind majorata de progresia geometrica cu ratia subunitara .

ii). Daca seria este divergenta in z₀ atunci, pentru orice zIC, cu , seria este divergenta .

Daca seria converge pentru orice z cu si este divergenta pentru valorile lui z cu , atunci .

Observatia 2. Daca nu exista alte puncte de convergenta decat atunci, .

Calculul razei de convergenta ( Cauchy 1821 si ulterior Hadamard ).

Teorema Cauchy-Hadamard. Daca exista limita superioara , atunci raza de convergenta a seriei are valoarea (criteriul raportului).

Daca exista , atunci raza de convergenta R este egala cu (criteriul radacinii) si putem scrie

. (2)

Se pot considrea serii de puterii de forma

. (3)

Folosind notatia , rezultatele de mai sus se aplica seriei de puteri

,

care este convergenta in cercul de convergenta .

Fie si . In seria de puteri (1) este absolut convergenta, adica seria

, ()

este convergenta. Evident, pentru orice care este situat in discul ,

are loc inegalitatea

.

De aici rezulta ca in discul plin seria (1) este uniform convergenta pentru ca termenii ei sunt majorati respectiv, de termenii seriei numerice care sunt independenti de .

In concluzie, pentru orice , seria de puteri (1) converge absolut si uniform in si este divergenta daca . Pe circumferinta cercului de convergenta, deci in punctele pentru care , nu putem afirma nimic care sa ramana valabil pentru orice serie (1). Pe circumferinta cercului de convergenta pot exista puncte de convergenta absoluta, de convergenta sau de divergenta.

Definitia 2. Spunem ca functia , definita in domeniul , este reprezentabila printr-o serie de puteri in D, daca pentru orice z₀ID exista un disc si o serie de puteri (3) care converge la pentru toti .

Operatii algebrice cu serii de puteri

Fie seriile de puteri si , cu razele de convergenta respectiv R₁ si R₂ atunci,

a) seria are raza de convergenta care satisface una din relatiile

daca sau daca (4)

si pentru orice zIC cu are loc egalitatea

. (5)

b) seria produs are raza de convergenta egala cu care satisface conditia si egalitatea

, (6)

are loc numai pentru zIC, cu .

Exercitiul 1. Aratati ca daca seriile de puteri si au respectiv, razele de convergenta R₁, R₂ si R, iar atunci .

Vom presupune ca seriile de puteri si converg simultan in . Atunci, seria de puteri converge in si deci . Aratam ca R nu poate fi strict mai mare decat . In adevar, daca atunci, putem alege astfel incat si deci seria numerica este divergenta iar seriile si sunt convergente. Aceasta concluzie este imposibila deoarece .

Exercitiul 2. Fie seriile de puteri si cu razele de convergenta , respectiv si fie raza de convergenta a seriei suma , iar raza de convergenta a seriei produs.

i). Dati exemple de serii de puteri astfel incat sa fie superior lui .

ii).Dati exemple de serii de puteri astfel incat sa fie superior lui .

Indicatie. i). Este necesar ca . Fie si atunci, seriile de puteri si au razele de convergenta egale, si deci sunt convergente in multimea .

Seria

, (7)

are raza de convergenta .

ii). In acest caz vom considera doua exemple:

Exemplul 1. Fie seria ( cu coeficientii nuli pentru ). Aceasta serie se reduce la un polinom si, in consecinta, are raza de convergenta .

Seria

( cu coeficientii , ( ) nIN

are raza de convergenta .

Deducem ca seria produs,

, unde , (8)

are coeficientii de forma:

(9)

Pe de alta parte, avem

, pentru orice zIC,

si

, pentru orice zIC, cu .

De aici deducem ca seria produs are forma

, (10)

cu raza de convergenta , iar egalitatea (10) are loc pentru zIC, cu .

Exemplul 2. Consideram seriile de puteri

, cu raza de convergenta (11)

si

cu raza de convergenta R₂=1. (12)

Atunci, seria produs are forma

, (13)

si are raza de convergenta .

Fie seria de puteri , convergenta pentru , atunci suma sa defineste, pe multimea de convergenta, o functie notata .

Daca

si . (14)

sunt respectiv, sirul numerelor partiale si restul de rang n al seriei de puteri, atunci pentru orice z cu au loc egalitatile:

. (15)

Altfel spus, seria de puteri este convergenta pe multimea daca si numai daca astfel incat

. (16)

Seria de puteri este uniform convergenta pentru daca si numai daca astfel incat ( ) cu sa avem

. (17)

Teorema 2. Fie o serie de puteri si fie R raza sa de convergenta. Atunci

i) Seria de puteri converge uniform in .

ii) Suma seriei de puteri este o functie , continua in interiorul cercului de convergenta .

iii) Daca raza de convergenta a seriei de puteri este nenula () atunci seria de puteri se poate deriva termen cu termen in si seria derivatelor are aceeasi raza de convergenta R.

Observatia 3. Coeficientii ai seriei de puteri

, (18)

in cercul de convergenta sunt definiti de formulele

. (19)

iar seria

,

se numeste seria Taylor pentru functia .

Demonstratie. i) Fie si , atunci iar seria numerica este convergenta. Din criteriul lui Weierstrass rezulta ca seria de puteri este uniform convergenta (r poate fi luat oricat de aproape de R).

ii) Fie unde este raza de convergenta a seriei de puteri. Atunci, din uniform convergenta seriei de puteri, rezulta ca pentru astfel incat si cu .

Fie acum, fixat astfel incat si , si pentru orice astfel incat , . Atunci pentru avem

(aici s-a folosit faptul ca este o suma finita de functii continue in , deci astfel incat pentru ).

iii) Notam cu , atunci functiile sunt continue si derivabile pentru orice si au derivate egala cu

Seria converge in discul si are suma f(z), iar seria derivatelor , converge absolut in si uniform in . In adevar, termenul general admite majorarea

in si folosind notatia rezulta ca seria numerica convergenta , majoreaza seria . Deci aceasta serie este uniform convergenta in catre o functie .

Afirmatia ca rezulta din Observatia 3.

Observatia 4. Daca seria de puteri este convergenta in , atunci seria de puteri are raza de convergenta unde , iar este derivata de ordinul k a functiei si in plus are loc egalitatea

pentru orice cu proprietatea .

In adevar, fie , atunci pentru orice avem

si deci, seria numerica , este convergenta.

Pe de alta parte, se poate scrie

Calculand derivatele de ordin j ale functiei in punctul obtinem

si atunci

care inlocuita in relatia de mai sus arata ca seria

,

este convergenta in cercul si deci pentru raza de convergenta a seriei exista relatia . Daca in plus se alege z astfel incat , avem

Observatia 5. Daca este o serie de puteri convergenta in atunci

.

In adevar, fie , din observatia 2, avem

Cum functia g(z) este continua in cercul cu centrul in z₀ si de raza si , atunci

Observatia 6 Fie seriile convergente si avand razele de convergenta respectiv . Daca exista astfel incat pentru orice z cu avem si atunci pentru avem

.

In adevar, deoarece in rezulta ca pentru orice cu si deci de unde obtinem . Din ultima egalitate rezulta .

Exercitiul 1. Sa se arate ca seriile de puteri, definite mai jos, au respectiv razele de convergenta specificate:

.

(Functia exponentiala, exp(z), este definita si converge uniform si absolut pe orice submultime marginita a planului).

Din convergenta absoluta a seriei exp(z) deducem ca are loc relatia:

.

Aceasta relatie arata ca pentru orice avem .

(Seriile de puteri care definesc functiile trigonometrice si converg uniform si absolut pentru orice zIC

.

.

.

.

, .

unde B_n sunt numerele lui Bernoulli:.

Indicatie. Considerand ca fiind catul dezvoltarilor functiei prin functia , dezvoltari care exista ( ) si, intrucat este functie impara, dezvoltarea ei va contine numai puterile impare ale lui z.

Numerele lui Bernoulli satisfac relatia

, (23)

care se obtine scriind formal relatiile si dupa ridicarea la putere va trebui sa inlocuim puterile cu coeficientii . Se poate arata ca toate numerele lui Bernoulli cu indice impar (afara de ) sunt nule.

Exercitiul 2. Sa se calculeze razele de convergenta pentru fiecare din seriile de puteri definite mai jos:

i).

Indicatie. Coeficientii seriei au forma , si din teorema Cauchy-Hadamard deducem ca raza de convergenta este egala cu . Deci seria este convergenta in multimea

ii).

Indicatie. Coeficientii seriei sunt , si raza de convergenta este

.

Deci, seria este convergenta in multimea .

iii). Seria intreaga are raza de convergenta .

iv).

Indicatie. Coeficientii seriei de puteri au forma

Deoarece nu are sens pentru orice atunci nu putem utiliza criteriul raportului de la serii de puteri.

Fie sirul Atunci

Asadar, sirul nu are limita. Cum acest sir are punctele de acumulare (puncte limita) si atunci, acest sir are limita superioara egala cu si din criteriul radacinii obtinem ca raza de convergenta a seriei de puteri date este .

Altfel. Folosind rezultatele de la serii numerice, vom nota cu si obtinem

.

Daca atunci si rezulta ca seria este convergenta deci, seria este absolute convergenta.

Daca atunci si rezulta ca seria este divergenta.

Prin urmare, raza de convergenta a seriei este egala cu .

v)..

Indicatie. Fie , coeficientii seriei de puteri. Atunci, cu criteriul radacinii gasim

,

si deci raza de convergenta a seriei este .

vi). unde (constanta).

Indicatie. Coeficientii seriei de puteri au forma

Este evident ca nu putem calcula deoarece raportul nu are sens pentru orice . Pe de alta parte, avem si atunci limita acestui sir nu exista. Deoarece avem rezulta ca sirul are punctele de acumulare si ; deci avem . Limita superioara a sirului fiind egala cu atunci, din criteriul radacinii lui Cauchy, rezulta ca seria de puteri are raza de convergenta egala cu .

Altfel. Din criteriul raportului pentru seriile numerice cu termenul general , cu notatiile obtinem .

Deci, daca atunci seria numerica .este convergenta si daca atunci seria numerica este divergenta. Rezulta ca raza ce convergenta a seriei de puteri este egala cu .

Exercitiul 3. Aratati ca:

a). Orice serie de puteri , avand raza de convergenta , converge uniform in cercul .

b). Suma seriei de puteri este o functie continua in interiorul cercului de convergenta.

c). Seria obtinuta prin derivarea seriei date, converge absolut in cercul si uniform in cercul . In adevar,

, unde

si cum seria este convergenta pentru , rezulta ca seria data este convergenta.

d).Fie raza de convergenta a seriei de puteri ,

atunci aceasta serie poate fi derivata termen cu termen in cercul si seria derivata are aceeasi raza de convergenta cu a seriei date.

Exercitiul 4. Sa se determine raza de convergenta pentru urmatoarele serii intregi:

i)..

Indicatie. Coeficientii seriei intregi au forma

Rezulta ca sirul nu are limita.

Deoarece sirul are doua puncte de acumulare, 0 si 1, atunci . Deci seria are raza de convergenta egala cu .

Altfel. Pentru ca ia valorile sau rezulta . Prin urmare, pentru , seria este convergenta si atunci seria este convergenta. Pentru , termenul nu converge la zero, pentru si deci, seria este divergenta. Deducem ca raza de convergenta a seriei de puteri este egala cu .

ii). , constanta.

Indicatie. Fie , termenul general al seriei. Atunci

si deci seria converge pentru orice cu . Asadar, seria , fiind majorata de seria convergenta cu cu termenul general , converge pentru si deci, seria data este absolut convergenta in Prin urmare putem scrie ca raza de convergenta verifica inegalitatea .

Fie acum , astfel ca . Deoarece , rezulta ca si deci seria este divergenta. In concluzie, seria de puteri are raza de convergenta , egala cu .

iii). .

Indicatie. Din inegalitatile , rezulta ca seria converge absolut pentru si este divergenta pentru .

Exercitiul 5. Sa se determine raza de convergenta , a seriei

i).constanta.

Indicatie. Pentru determinarea lui , cercetam raza de convergenta a seriei derivate

,

are este aceeasi cu a seriei obtinuta evident, prin inmultirea cu a seriei derivate.

In continuare vom privi seria ca suma a seriilor si , care au respectiv razele de convergenta si , egale cu .

Daca atunci si obtinem ca raza de convergenta a sumei celor doua serii este egala cu numarul

.

Daca atunci si deci . In acest caz, pentru a preciza valoarile lui , fie , unde Atunci si daca vom presupune atunci astfel incat si seria sa fie convergenta. Fie , atunci pentru termenul general al acestei serii convergente obtinem evaluarea

,

pentru orice , cu ales oarecare. Ultima inegalitate arata ca

(evident, pentru ).

Ori aceasta concluzie este falsa, de exemplu pentru alegerea (cand ). Deci, rezulta ca daca si atunci raza de convergenta a seriei este egala cu .

Exercitiul 6. Se considera ecuatia diferentiala

.

i). Sa se arate ca exista o solutie a ecuatiei date, care verifica conditia si care se poate scrie sub forma seriei de puteri

.

ii).Exprimati functia cu ajutorul functiilor elementare.

Indicatie. i).Presupunem ca este o solutie a ecuatiei diferentiale. Atunci seria considerata are o raza de convergenta si pe multimea sunt justificate operatiile algebrice cu serii de puteri cat si derivarea lor termen cu termen.

Deci si si ecuatia data devine

.

Dupa efectuarea inlocuirilor necesare, ultima ecuatie poate fi scrisa dezvoltat sub forma

sau

Pentru a organiza calculul, in ultima suma vom nota si atunci ; pentru rezulta , apoi facem inlocuirile respective si in final, dupa renuntarea la virgule, obtinem

sau, echivalent

.

Prin identificarea cu zero se obtin urmatoarele relatii:

sau

Asadar, putem scrie

si .

Ultima egalitate arata ca toti coeficientii sunt nenuli si pot fi exprimati in functie de si sub urmatoarea forma

.

Deci, este necesar ca functia sa aiba forma

.

Seria de puteri fiind convergenta (avand raza de convergenta egala cu ) putem justifica existenta unei solutii functie intreaga.

ii). Din scrierea

,

rezulta ca solutia are forma .