Distanta dintre doua puncte

Distanta dintre doua puncte

Fie xOy un sistem cartezian ortogonal si fie A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) doua puncte din acest sistem. Formula de calcul a distantei dintre cele doua puncte , de altfel si formula de calcul a lungimii unui segment este urmatoarea :

Pentru a demonstra acest lucru vom lua in considerare urmatoarele trei cazuri:

Cazul I: dreapta AB este o dreapta orizontala ( vezi fig. 1).

Fie A' si B' proiectiile punctelor A si B pe axa Ox. Atunci AB=A'B'=|x_A-x_B­|. Pe de alta parte in acest caz y_A= y_B si deci

ceea ce demonstreaza formula.

Cazul II: dreapta AB este o dreapta verticala ( vezi fig. 2). Se trateaza la fel ca si cazul I doar ca de aceasta x_A= x_B.

Cazul III: dreapta AB este o dreapta oblica ( vezi fig. 3). In acest caz vom construi prin A o paralela la axa Ox si fie C proiectia punctului B pe paralela dusa din A conform desenului. Evident punctul C va avea coordonatele x_B si y_A si in plus AC=|x_A-x_C|=|x_A-x_B|, BC=|y_C-y_A|=|y_A-y_B| Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ACB obtinem

ceea ce trebuia demonstrat.