Spatiile vectoriale

Spatiile vectoriale

O multime V, nevida, se numeste spatiu vectorial real daca pe V sunt definite doua operatii algebrice:

una interna, + : VxV V, numita adunare si notata cu (x,y) | x + y

una externa, ^. : RxV V, numita inmultirea cu scalari si notata cu (a, x) | ax; operatii care satisfac urmatoarele axiome:

(SV1) (V, +) este un grup comutativ (sau abelian)

(SV2) a(x+y) = ax + ay; a apartine lui R

(SV3) (a b)x = ax + bx;

(SV4) a bx) = (ab)x;

(SV5) 1x = x;

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori.

La originea conceptului matematic de "vector" se gasesc notiunile fizice de forta, viteza, acceleratie, moment, etc., caracterizate prin determinari, "marime" , "directie" si "sens" ( eventual si prin "punctul de aplicare" al fortei), spre deosebire de marimile fizice "scalare" ca masa, densitate, energie, temperatura etc., care pot fi caracterizate doar prin "marime", deci printr+un numar (scalar). In cazul notiunii abstracte de "vector" - ca element al unui spatiu vectorial, s-au intretinut numai cele doua operatii cu forte, compunerea (adunarea) fortelor si multiplicarea intensitatii (marimi) fortei (inmultirea fortei cu un scalar) ale caror proprietati sunt reflectate in axiomele spatiului vectorial (SV 1-5) . De remarcat ca in acest cadru general, determinarea "marime" a fortei nici nu apare. Ea se defineste doar pentru vectorii abstracti dintr-un spatiu vectorial dotat cu un produs scalar, numit spatiu vectorial euclidian.

Fie doua spatii vectoriale (V, ) si (W, +, A). Daca putem determina o functie f: V W cu proprietatile:

i)            f este bijectiva;

ii)          f(x y) = f(x) + f(y), x, y IV

iii)        f(ax) = aA f(x); x IV, aIR,

atunci spunem ca spatiile V si W sunt izomorfe, functia f fiind izomorfismul dintre ele.

Combinatie liniara

Fie V un spatiu vectorial si S= V un sistem de p 1 vectori. Se numeste combinatie liniara a vectorilor x₁, x₂, x_p, (sau a vectorilor din S), orice vector de forma :

a x₁+ +a^px_p, unde a^hIR, h=1,p sunt scalari arbitrari, fixati; daca a a^p= 0, atunci combinatia liniara se numeste triviala.

Daca vectorul xIV, x 0, este o combinatie liniara a vectorilor x₁, x₂, x_p, deci exista a^hIR, h=1,p astfel incat x=a x₁+ +a^px_p, atunci se spune ca x este liniar dependent de vectorii x₁, x₂, x_p (sau se S).

Vectorii x₁, x₂, x_p se numesc liniar dependenti daca vectorul nul este o combinatie liniara netriviala a lor, adica a a^pIR nu toti nuli, a.i. a x₁+ +a^px_p = 0.

In caz contrar, vectorii x₁, x₂, x_p se numesc liniar independenti.

Un sistem S = _iII infinit de vectori se numeste liniar independent (respectiv dependent) daca orice subsistem finit al sau S S este liniar independent (respectiv dependent).

Se numeste baza (finita) intr-un spatiu vectorial V un sistem (finit) de vectori B V cu proprietatile:

(B.1) B este liniar dependent;

(B.2) xIV, x este liniar dependent de B; se spune in acest caz ca B genereaza pe V sau ca B constituie un sistem de generatori pentru V.

Un spatiu vectorial V in care exista o baza finita, se numeste finit dimensional si notam in acest caz dim V < ; in caz contrar, V se numeste infinit dimensionat si notam dim V =

O conditie suficienta pentru ca un spatiu vectorial sa admita o baza finita este ca el sa aiba un sistem finit de generatori.

Norma

Fie (V,+, ) un spatiu vectorial. Numim norma pe V orice functie N:V R avand proprietatile:

N1) N(x)=0 x = 0v

N2) N(ax) = |a| N(x), x IV, aIR

N3) N(x+y) N(x) + N(y), x, y IV.

Perechea (V, N) formata din spatiul vectorial V si norma N se va numi spatiu normat.

Norma se noteaza de obicei in loc N(x, y) cu ||x||.

Produs scalar

Fie V un saptiu vectorial real. Se numeste produs scalar pe V orice functie P: VxV R care indeplineste urmatoarele conditii:

(PS1) P(x, x) xIV

(PS2) P(x, x) = 0 x= 0v

(PS3) P(x, y) = P(y,x), x, yIV

(PS4) P(x+y, z)= P(x, z) + P(y,z); x, y, zIV

(PS5) P(ax, y) = aP(x, y), x, yIV, a IV

Perechea (V, P) formata din spatiul vectorial si produsul scalar definit pe acesta se va numi spatiu prehilbertian.

Produsul scalar se noteaza in loc de P(x, y) cu <x, y>

Aplicatii liniare

Fie doua spatii vectoriale (V, +, ) si (W, A). O functie f: V W se numeste liniara daca:

(Lin1) este aditiva:

f(x+y) = f(x) f(y), x, yIV

(Lin2) este omogena:

f(a x) = aAf(x), xIV, aIV

Vectori si valori proprii

Se considera V un spatiu vectorial, f: V V un operator liniar, iar l un scalar oarecare. Numim vector propriu al operatorului liniar f acel vector nenul xIV a carui imagine prin f este coliniar cu x. Adica exista scalarul l pentru care f(x) = lx. Scalarul care verifica aceasta egalitate, atunci cand ea are loc, se va numi valoare proprie a lui f.

Forme liniare

O forma liniara este un caz particular de aplicatie liniara.

Fie V un spatiu vectorial. Orice aplicatie liniara w : V R se numeste forma liniara.

Multimea V* = L(V, R) a formelor liniare pe un spatiu vectorial V este un spatiu vectorial numit spatiul vectorial dual al lui V.

Daca dim V = n, atunci dim V* = n.

Formele biliniare pe un spatiu vectorial V sunt forme liniare de doua variabile. Ele se identifica in mod natural cu aplicatiile liniare V V*. Prin restrictia formelor biliniare simetrice la diagonala produsului cartezian VxV se obtin formele patratice. Aceste notiunu constituie punctul de plecare spre topici, ca, de exemplu, calculul tensorial, calculul exterior (pe spatii vectoriale) si spatii vectoriale dotate cu forme biliniare ( spatii vectoriale euclidiene).

Se numeste forma biliniara pe un spatiu vectorial V, orice aplicatie

g:VxV R liniara in fiecare argument, si care satisface relatiile :

g(ax +by, z) = ag(x,z) + bg(y, z),

g(x, ay +bz) = ag(x,y) + bg(x, z), x, y,z IV, a bIR

Multimea tuturor formelor biliniare pe spatiul vectorial V, notata cu L₂(V, R), este un saptiu vectorial, operatiile fiind definite prin :

(g+h) (x, y) = g(x, y) + h(x, y),

(ag) (x, y) = ag(x, y), x, yIV, aIR

Forme biliniare simetrice si antisimetrice

Definitie!

i)            gIL₂(V, R) se numeste forma biliniara simetrica (pe V) daca:

g(x, y) = g(y, x), x, yIV

ii)          gIL₂(V, R) se numeste forma biliniara antisimetrica (pe V) daca:

g(x, y) = - g(y, x), x, yIV

Multimile, L₂^sim(V, R) a tuturor formelor biliniare simetrice pe V si L₂^asim(V,R) a tututror formelor biliniare antisimetrice pe V, constituie subspatii vectoriale ale lui L₂ (V,R)

Propozitie! L₂^sim (V, R) L₂^asim (V, R) = L₂ (V,R)

Avand un spatiu vectorial V si o functie biliniara f: VxV R. Functia definita prin ỹ: V R, ỹ(x) = f(x, x), xIV, se numeste forma patratica asociata lui f. De obicei, vom nota forma patratica asociataunei functii biliniare f tot prin litera f .

In cazul spatiului k-dimensinal V intotdeauna va exista o baza(nu neaparat unita) numita baza canonica B' = in raport cu care expresia unei forme patratice se simplifica, anume, pentru orice vector x= x m x m x_km_k avem f(x) = l x + l x + + l_k x_k , numita forma canonica a formei patrate f iar l l l_k IR vor fi coeficientii canonici ai formei patratice. Cum am amintit mai sus, in general baza canonica a unei forme patratice nu este unic determinata ceea ce inseamna ca atat forma canonica cat si coeficienti canonici nu sunt unic determinati. Putem afirma insa ca exista o anumita constanta in prezentarea unei forme canonice si anume, indiferent de baza canonica aleasa numarul coeficientilor canonici nenuli este acelasi si este egal cu rangul matricei asociate formei patratice. De asemenea este constant numarul coeficientilor canonici pozitivi, resprectiv negativi. Mai mult, daca toti coeficienti canonici sunt nenuli atunci forma patratica se va numi nesingulara sau nedegenerata, in caz contrar ea se va numi singulara. Formele patratice sunt implicate in studiul calitativ al functiilor de mai multe variabile, mai precis in determinarea punctelor de extrem ale acestora, de aceea studiul asupra lor a dus ;a anumite clasificari ale acestora.

Definitie! Forma patratica f definita pe spatiul vectorial V se numeste pozitiv (negativ) definita daca pentru orice vector xIV avem f(x) 0 (respectiv f(x)

In cazul unui spatiu vectorial finit dimensional vom putea afirma ca o forma patratica este pozitiv (negativ) definita daca si numai daca intr-o forma canonica a ei toti coeficienti canonici sa fie pozitivi (negativi) devenind astfel important de stiut in ce fel putem aduce la forma canonica o forma patratica. Prezentam doua asemenea metode si in incheiere o metoda prin care se determina daca o forma patratica este pozitiv sau negativ definita fara a fi obligati sa determinam forma canonica a acesteia.

Metoda 1. Consideram forma patratica forma patratica

f(x) = b₁₁a + b₁₂a a + b₁₃a a + + b_kka_k

Grupam pentru inceput toti termenii care contin a si completam cu termenii aditionali pana formam un patrat perfect. Repetam procedeul cu restul termenilor dupa gruparea in functie de una din coordonatele a_i ramase pana obtinem o suma de patrate. Aceasta va reprezenta forma canonica a formei patratice iar numerele cu care se inmultesc aceste patrate vor fi coeficientii canonici. Desigur, nu este obligatoriu sa incepem neaparat cu coordonarea a ci cu oricare alta iar baza canonica