Ajustarea seriilor dinamice - Metoda de ajustare grafica - Metode de ajustare mecanica

Ajustarea seriilor dinamice - Metoda de ajustare grafica - Metode de ajustare mecanica

Evolutia fenomenelor social-economice, modificarile care se produc de la un segment de timp la altul, sunt influentate de un complex de factori esentiali si neesentiali, care pot actiona intr-o paleta larga de forme: concomitent sau succesiv; cu o intensitate mai mare sau mai mica; in acelasi sens sau in sensuri diferite.

Factorii esentiali sau de natura obiectiva imprima fenomenului o evolutie bine determinata, care este reprezentata printr-o traectorie de dezvoltare constituita din doua componente: tendinta generala si tendinta periodica sau sezoniera. Factorii neeesentiali au o reprezentare aleatoare in structura factorilor de influenta si din acest motiv, din punct de vedere statistic, sunt considerati ca formeaza „termenul de eroare”.

Analiza unei serii dinamice impune cunoasterea clara a tendintei generale pe care o inregistreaza un fenomen sub actiunea factorilor obiectivi, amploarea modificarilor de natura sezoniera dar si modificarea cauzata de factorii cu actiune intamplatoare. Acest proces de cunoastere complexa este denumit, „ajustarea seriilor dinamice sau „modelarea statistica a seriilor dinamice”.

Pentru ajustarea seriilor dinamice pot fi utilizate mai multe modalitati statistice, si anume:

- metoda de ajustare grafica

- metode de ajustare mecanica

- metode de ajustare analitica

A) Metoda de ajustare grafica

Ajustarea grafica se bazeaza pe reprezentarea grafica a seriei dinamice sub forma cronogramei (historiogramei) si trasarea vizuala a unei linii drepte sau curbe, dupa caz, care este considerata ca sintetizeaza in mod corespunzator evolutia fenomenului respectiv.

Aceasta metoda are ca suport metodologic intuitia cercetatorului de a identifica tendinta generala atunci cand linia empirica nu sugereaza in mod direct imaginea tendintei fenomenului. Ajustarea grafica are un caracter orientativ si serveste, de regula, pentru alegerea functiei matematice (ecuatiei de trend) cand se procedeaza la aplicarea unor metode analitice de ajustare.

B) Metode de ajustare mecanica

Ajustarea mecanica a seriilor dinamice se realizeaza prin aplicarea in mod mecanic a unei metodologii sau formule considerata ca fiind adecvata pentru seria dinamica supusa analizei.

Metodele de ajustare a seriilor dinamice cu un suport metodologic mecanic de calcul sunt:

- metoda mediilor mobile

- metoda sporului (scaderii) mediu

- metoda indicelui mediu de crestere (scadere)

Ajustarea cu ajutorul mediilor mobile permite caracterizarea tendintei generale a evolutiei unui fenomen prin eliminarea totala sau numai partiala a variabilitatii cauzata de factorii cu actiune sezoniera precum si a termenului rezidual. Acest deziderat se realizeaza prin inlocuirea indicatorilor reali ai seriei dinamice cu indicatori medii calculati pe baza unui numar determinat de indicatori ai seriei initiale. Subperioadele de timp pentru care se calculeaza mediile mobile raman egale ca marime, deplasandu-se de la primul nivel al seriei dinamice cu cate un nivel la calculul fiecarei medii, pana la includerea in calcul a nivelului final al seriei.

Numarul nivelurilor reale care intra in calculul mediilor mobile se stabileste dupa o prealabila analiza calitativa a fenomenului studiat. In acest sens se mentioneaza ca este preferabil sa se aleaga acel numar de termeni ai seriei dinamice care corespund unor perioade de schimbari reale in evolutia fenomenului respectiv.

Ajustarea cu ajutorul sporului (scaderii) mediu

Procedeul sporului (scaderii) mediu se aplica cu suficienta incredere pentru ajustarea unei serii dinamice, atunci cand modificarile absolute calculate cu baza in lant din indicatorii de nivel initiali, sunt apropiate ca marime intre ele. Daca este indeplinita aceasta conditie, ajustarea se realizeaza cu ajutorul urmatoarei relatii:

in care,

reprezinta valoarea ajustata, care inlocueste termenul real

este unul din indicatorii reali, ales ca baza de ajustare, .

Nivelul baza de ajustare se alege in urma unei ajustari grafice astfel: nivelul real care se apropie cel mai mult de o linie conventionala considerata ca exprima in mod satisfacator evolutia fenomenului se alege ca nivel baza de ajustare. Daca se apreciaza, insa, ca este o solutie mai buna, ca nivel baza de ajustare poate fi considerat si nivelul mediu al seriei dinamice care se pozitioneaza in mijlocul seriei sau, indicatorul real care se apropie cel mai mult de nivelul mediu.

este sporul sau diminuarea medie absoluta

Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere)

Aceasta metodologie de ajustare are ca suport aproximarea indicatorilor unei serii dinamice pe baza relatiei existente intre primul nivel al seriei (), indicele mediu de crestere sau scadere si nivelul final al seriei dinamice ().

Ajustarea cu ajutorul indicelui mediu de crestere (scadere) este recomandata atunci cand indicii de crestere (scadere) calculati cu baza in lant au valori apropiate ca marime intre ei.

In aceste conditii relatia pentru ajustare este,

in care,

este indicele mediu calculat cu media geometrica

Celelalte notatii au aceleasi semnificatii cu acelea precizate la ajustarea cu ajutorul sporului (scaderii) mediu

Exemplul.1

Exemplificarea metodologiei de ajustare a seriilor dinamice cu ajutorul metodei sporului (scaderii) mediu si respectiv a metodei indicelui mediu de crestere (scadere) o vom realiza pe baza unei serii statistice care exprima evolutia cifrei de afaceri inregistrata de o societate comerciala intr-o perioada de 8 ani (Tabelul 20).

Tabelul 2

Dinamica cifrei de afaceri

1) Ajustarea seriilor dinamice cu ajutorul metodei sporului (scaderii) mediu se deruleaza in urmatoarele etape:

a) - se reprezinta grafic seria dinamica a cifrei de afaceri si se procedeaza la ajustarea grafica a acesteia prin trasarea unei drepte,

Fig. 10

b) - se alege indicatorul real baza de ajustare,

Reprezentarea grafica si respectiv dreapta care ajusteaza seria dinamica a cifrei de afaceri ofera posibilitatea vizuala sa se aprecieze ca nivelul anului 4 se apropie cel mai mult de linia ajustarii grafice, .

c) - se calculeaza modificarea medie absoluta (sporul mediu),

d) - se calculeaza nivelurile ajustate ale cifrei de afaceri pe baza ecuatiei,

Seria de valori ajustate este prezentata in tabelul 20, coloana 3.

2) Metoda indicelui mediu de crestere (scadere), aplicata pentru ajustarea seriilor dinamice, se deruleaza intr-o modalitate de lucru similara cu metoda sporului (scaderii) mediu dar la calculul nivelurilor ajustate se foloseste ecuatia:

In aceasta varianta de calcul, indicatorul real care este ales drept baza de ajustare este nivelul anului 5, , deoarece ajustarea grafica, care sintetizeaza evolutia seriei dinamice, inregistreaza o usoara forma curbilinie (exponentiala), iar aceasta sugereaza ca nivelul anului 5 se pozitioneaza cel mai aproape de linia teoretica trasata.

Fig. 11

Indicele mediu anual de crestere este:

Seria de valori ajustate cu cu ajutorul indicelui mediu anual de crestere este prezentata in tabelul 2, coloana 4.

Se poate remarca faptul ca linia teoretica rezultata, atat in forma dreptei cat si a exponentialei pot fi considerate ca acceptabile pentru a sintetiza evolutia cifrei de afaceri in perioada supusa cercetarii. In cazul particular al seriei dinamice analizate, pentru a obtine o solutie teoretica superioara celor doua serii de indicatori ajustati se recomanda a se proceda si la aplicarea metodelor de ajustare analitice.

C) Metode de ajustare analitica

Pentru a caracteriza evolutia si tendinta fenomenelor cu ajutorul metodelor analitice se folosesc serii dinamice de date statistice referitoare la perioade reprezentative de timp. Daca este necesar, indicatorii analizati sunt supusi unor prelucrari preliminare pentru a asigura comparabilitatea acestora in timp prin operarea acelor corectii care au in vedere, de exemplu, nivelul indicelui inflatiei, respectiv transformarea indicatorilor din marimi nominale sau curente in marimi reale prin raportarea nivelului nominal la indicele inflatiei sau, pentru a corecta indicatorii inregistrati pe segmente de timp prin prisma numarului de zile aferente pentru a se referi la durate perfect comparabile etc..

De asemenea, comparabilitatea indicatorilor prezentati in serie dinamica se asigura prin folosirea aceleiasi metodologii de calcul, exprima fenomene cu acelasi continut, definite in acelasi mod si se refera la structuri organizatorice similare.

Daca ne referim la evolutia unui indicator economico-financiar acesta are mai multe componente care isi pun amprenta pe marimea nivelurilor individuale, si anume:

- o componenta are un continut esential, marcheaza tendinta obiectiva sau evolutia generala datorata cresterii sau regresului economic inregistrat in plan economic pe termen lung,

- o componenta exprima modificarea ciclica, conjuncturala, sesizabila pe perioade mari de timp (5, 10, 15 sau 20 de ani), determinata de factori care acumuleaza periodic efecte ale contradictiilor obiective ce au loc in activitatea economico-sociala si politica,

-o componenta este reprezentata de manifestarea cu caracter sezonier, lunara sau trimestriala,

- o componenta se refera la variatiile cu caracter intamplator, neesentiale (variatia reziduala sau termenul de eroare).

Toate activitatile si subactivitatile economice sunt influentate, intr-o masura mai mare sau mai mica, de factori naturali, de factori economici constanti sau cu caracter conjunctural, precum si de factori dirijati prin decizii legislative, care pot determina in consecinta oscilatii ale marimii indicatorilor economici si financiari.

Succesiunea anotimpurilor exercita in mod evident o anumita influenta asupra unor activitati economice (transport, agricultura, unele ramuri industriale, turism) printr-o oferta diferita de produse sau printr-o solicitare sezoniera diferentiata din partea beneficiarilor de produse si servicii. In general, fiecare an calendaristic se constituie ca un ciclu economic prezentand aceleasi regularitati sezoniere de crestere si de reducere a activitatii, dar pe fondul unei evolutii si tendinte medii a volumului de activitate.

Metodele analitice de ajustare constau in inlocuirea nivelurilor reale ale seriei dinamice cu niveluri calculate (teoretice) pe baza unei ecuatii de tendinta, ai carei parametrii sunt estimati, de regula, prin metoda celor mai mici patrate dar, rezultate convenabile pot fi obtinute si cu ajutorul altor metode, cum ar fi:metoda totalurilor partiale echidistante sau metoda punctelor empirice alese.

Alegerea ecuatiei de tendinta, care sa corespunda cat mai bine formei reale a evolutiei fenomenului se face pe baza analizei atente a reprezentarii grafice a indicatorilor de nivel initiali sau prin calculul unor indicatori derivati care caracterizeaza seria dinamica, astfel:

- daca modificarile absolute calculate cu baza in lant sunt apropiate ca marime, tendinta poate fi sintetizata prin ecuatia liniei drepte, , in care „t” este variabila timp pentru care se acorda valori conventionale, iar „a” si „b” sunt parametrii ecuatiei care o localizeaza in plan;

- daca diferentele de ordinul n, n>1, calculate pe baza indicatorilor de nivel, sunt apropiate ca marime intre ele, ecuatia de tendinta poate fi o parabola de gradul n, adica: ;

- daca indicii de dinamica calculati cu baza in lant au valori apropiate intre ele, se poate considera ca evolutia fenomenului respectiv urmeaza o curba de tipul functiei exponentiale, ;

- daca modificarile absolute calculate cu baza in lant, folosind logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt aproximativ egale intre ele, atunci ajustarea seriei dinamice se poate face cu ajutorul urmatoarei ecuatii: ;

- daca indicii de dinamica calculati cu baza in lant din logaritmii indicatorilor de nivel reali, sunt de marimi apropiate intre ele, ajustarea poate fi efectuata pe baza ecuatiei:

- in vederea ajustarii seriilor dinamice a caror evolutie este de tip exponential sau logistic, respectiv se conformeaza formei literei S, curba tinde sa se apropie de o limita superioara sau inferioara denumita asimptota, se opteaza, de regula, pentru una din urmatoarele tipuri de ecuatie:

- ecuatia (curba) exponentiala modificata

- ecuatia (curba) lui Gomperz sau

; sau - ecuatia (curba) logistica.

Se mentioneaza ca reprezentarea grafica si respectiv ajustarea grafica a seriei dinamice ofera, de asemenea, solutii utile pentru alegerea formei ecuatiei de tendinta, deoarece se vizualizeaza astfel atat evolutia cat si tendinta indicatorului analizat.

Metodologia ajustarii seriilor dinamice are in vedere parcurgerea urmatoarelor etape de lucru:

a- se reprezinta grafic seria dinamica sau se calculeaza indicatorii derivati care ofera informatia necesara alegerii formei ecuatiei de tendinta;

b- se alege tipul de ecuatie care se considera ca sintetizeaza in mod adecvat evolutia indicatorului prezentat in serie dinamica;

c- se calculeaza valorile estimate ale parametrilor care localizeaza ecuatia de tendinta in care scop se utilizeaza, de regula, metoda celor mai mici patrate, dar se poate apela si la metoda totalurilor partiale echidistante sau metoda punctelor empirice alese, dupa cum se apreciaza ca sunt solutii viabile;

d- pe baza ecuatiei de tendinta, se determina seria nivelurilr estimate ale indicatorului studiat , si se verifica corectitudinea calculelor prin existenta urmatoarei egalitati: , adica suma nivelurilor reale sa fie agala cu suma nivelurilor estimate;

e- se apreciaza eficienta ecuatiei de tendinta pentru estimarea unor niveluri viitoare (niveluri de prognoza) pe baza coeficientului de neregularitate al lui Theil, estimatiei erorii medii a ecuatiei de tendinta (in expresie absoluta si relativa) sau a criteriului statistic Durbin-Watson.

Studiu comparativ de ajustare a unei serii dinamice ai carei

parametrii sunt estimati prin trei metode

1) metoda punctelor empirice alese,

2) metoda totalurilor partiale echidistante

3) metoda celor mai mici patrate

Exemple demonstrative

1) Metoda punctelor empirice alese

Se reprezinta grafic seria dinamica a nivelurilor reale si se traseaza o linie de ajustare grafica.

Fig. 12

Pe baza ajustarii grafice a seriei dinamice se apreciaza ca punctele aferente anilor 2001 si 2002 se apropie cel mai mult de o linie conventionala trasata prin apreciere vizuala si pot forma, prin urmare, sistemul de ecuatii necesar estimarii parametrilor „a” si „b” din ecuatia , astfel:

Ecuatia de tendinta definita prin metoda punctelor empirice alese este:

Se mentioneaza ca nivelurile ajustate sau estimate prin folosirea metodei punctelor empirice alese depind intr-o masura categorica de pozitia punctelor pe baza carora s-a constituit sistemul de ecuatii. In aceste conditii se constata ca numai in mod intamplator se verifica egalitatea:

Tabel cu rezultate si calcule intermediare

Coeficientul de neregularitate al lui Theil”

2) Metoda totalurilor partiale echidistante

Sistemul de ecuatii necesar estimarii parametrilor ecuatiei de tendinta se obtine prin insumarea ecuatiilor liniare aferente primelor trei segmente de timp si respectiv ultimelor trei segmente, astfel:

si

Sistemul de ecuatii care se formeaza este,

Ecuatia de tendinta definita prin metoda totalurilor partiale echidistante este:

Tabel cu rezultate si calcule intermediare

Coeficientul de neregularitate al lui Theil”

3) Metoda celor mai mici patrate

Sistemul de ecuatii rezultat prin aplicarea metodei celor mai mici patrate si nivelurile estimate ale parametrilor ecuatiei de tendinta , sunt:

Ecuatia de tendinta definita prin metoda celor mai mici patrate este:

Tabel cu rezultate si calcule intermediare

Coeficientul de neregularitate al lui Theil”

Marimea cea mai mica a coeficientului de neregularitate al lui Theil confirma faptul ca seria de valori estimate cu ecuatia de tendinta care a fost localizata prin aplicarea metodei celor mai mici patrate prezinta cea mai buna solutie de ajustare (Th=4,207%). Prin urmare, ecuatia , poate fi utilizata cu incredere in calcule de prognoza. Se remarca, de asemenea, ca metoda totalurilor partiale echidistante ofera o solutie echivalenta, deoarece valorile coeficientului Th, aferente celor doua metode, sunt aproximativ egale.

Tabelul care prezinta, in mod comparativ, rezultatele obtinute prin aplicarea celor trei metode de ajustare permite, de asemenea, sa se constate ca nivelurile estimate prin metoda totalurilor partiale echidistante si respectiv prin metoda celor mai mici patrate sunt de marimi foarte apropiate.

Situatia sinoptica a rezultatelor obtinute prin cele trei metode

Ajustarea seriilor dinamice in cazul evolutiilor de tip logistic

In cazul seriilor dinamice la care se identifica o evolutie de tip exponential sau au forma literei „S” cu tendinta de plafonare la un nivel limita, maxima sau minima, se procedeaza la alegerea uneia din urmatoarele tipuri de ecuatii de tendinta:

ecuatia (curba) exponentiala modificata

Nota: De obicei se alege pentru ajustare ecuatia exponentiala modificata atunci cand reprezentarea grafica a indicatorilor de nivel se distribuie dupa o curba exponentiala incetinita, cu precizarea ca in acest caz, curba are o forma care tinde sa se apropie de o limita superioara sau inferioara denumita asimptota, dimensionata prin marimea parametrului „a” sau, se constata ca marimea modificarilor succesive ale indicatorilor de nivel (modificarile absolute calculate cu baza in lant) se micsoreaza cu un procent aproximativ constant, care va fi exprimat de valoarea parametrului „c” astfel,

ecuatia (curba) lui Gomperz

care se logaritmeaza, si se obtine,

, iar prin schimbare de variabila rezulta,

unde:

Nota: Se opteaza pentru ecuatia lui Gomperz atunci cand reprezentarea grafica a logaritmilor indicatorilor de nivel se distribuie dupa o curba de forma literei S”.

ecuatia (curba) logistica

forma 1)

forma 2) sau , care prin schimbare de variabila se obtine,

unde: si

, e = 2,7182818284

Nota: Se opteaza pentru ecuatia logistica atunci cand reprezentarea grafica a inversului indicatorilor de nivel se distribuie dupa o curba de forma literei S”. Daca se considera necesar, raportul 1/x al nivelurilor reale, poate fi efectuat si prin folosirea la numarator a unei marimi amplificate cu 100, 1.000, 10.000, sau chiar cu 100.000 pentru a obtine un rezultat convenabil efectuarii calculului valorilor estimate ale parametrilor.

Estimarea valorii parametrilor din aceste ecuatii de tendinta se realizeaza, de cele mai multe ori, cu ajutorul metodei totalurilor partiale echidistante datorita dificultatilor de calcul care apar daca se foloseste metoda celor mai mici patrate. Se precizeaza ca atunci cand se utilizeaza metoda totalurilor partiale echidistante este necesar ca seria dinamica sa fie formata dintr-un numar de segmente de timp multiplu de 3, deoarece ecuatia de tendinta are trei parametrii care trebuie estimati.

Ajustarea unei serii dinamice cu ajutorul ecuatiei logistice de forma 2), poate fi efectuata in mod facil si cu metoda celor mai mici patrate, datorita formei ecuatiei de tendinta care este asimilata liniei drepte atunci cand se aplica schimbarile de variabile expuse.

I Calculul valorilor estimate ale parametrilor din ecuatia (curbei) logistice de forma 1) , prin metoda totalurilor partiale echidistante, conduce la formalizarea urmatoarelor relatii:

- reprezinta suma nivelurilor reale 1/x din prima treime

- reprezinta suma nivelurilor reale 1/x din a doua treime

- reprezinta suma nivelurilor reale 1/x din ultima treime

m - reprezinta numarul segmentelor de timp care compun o treime

Variabilei timp „t” se acorda valori conventionale astfel: 0, 1, 2, 3, 4,

II Daca se opteaza pentru ecuatia (curba) lui Gomperz sumele partiale vor fi calculate pe baza logaritmilor nivelurilor reale (log.x) iar pentru parametrii „c”, „b” si „a”, conform metodei totalurilor partiale echidistante, vor fi scrise urmatoarele relatii:

III Calculul valorilor estimate ale parametrilor ecuatiei (curbei) exponentiala modificata, prin metoda totalurilor partiale echidistante, are ca suport urmatoarele relatii care folosesc indicatorii de nivel reali in forma lor initiala:

Exemple demonstrative privind ajustarea seriei dinamice a cifrei de afaceri realizata de un agent economic intr-o perioada de 15 ani cu ajutorul unei curbe exponentiale modificate, prin aplicarea metodei totalurilor partiale echidistante.

Varianta 1

Ecuatia de tendinta, care sintetizeaza evolutia cifrei de afaceri, este definita astfel:

Reprezentarea grafica a seriei estimate a dinamicii cifrei de afaceri ofera imaginea unei curbe exponentiale continuu crescatoare. Extrapolarea cifrei de afaceri cu ajutorul acestei ecuatii de tendinta va conduce, in consecinta, la obtinerea unor valori care pot fi considerate nerealizabile. Avand in vedere faptul ca nivelurile reale prezinta in ultimele segmente de timp ale perioadei analizate o tendinta de incetinire si chiar de plafonare a cresterii se poate, considera ca ecuatia de tendinta nu ofera o solutie viabila pentru a fi folosita in calcule de prognoza.

Reprezentarea grafica a dinamicii cifrei de afaceri

Fig. 13

In cazul exemplului demonstrativ - Varianta 1 - parametrul „c” al ecuatiei de tendinta are o marime supraunitara si in consecinta curba este continuu crescatoare Se mentioneaza ca pentru a fi confirmata evolutia teoretica de „tip logistic” este necesar ca parametrul „c” sa aiba o valoare subunitara. In acest context pot fi precizate urmatoarele doua situatii:

- cand parametrul „b” este negativ si parametrul „c” subunitar, curba teoretica va prezenta o forma creascatoare cu tendinta de a atinge un nivel maxim (asimptota superioara), dimensionat prin marimea parametrul „a”;

- cand parametrul „b” este pozitiv si parametrul „c” subunitar, curba teoretica va prezenta o forma descreascatoare cu tendinta de a atinge un nivel minim (asimptota inferioara), dimensionat prin marimea parametrul „a”.

Varianta 2

In acest caz, ecuatia de tendinta, care sintetizeaza evolutia cifrei de afaceri, este definita astfel:

Reprezentarea grafica a dinamicii cifrei de afaceri

Fig. 14

In varianta 2 de ajustare cu ajutorul unei curbe exponentiale modificate, seria nivelurilor estimate ale cifrei de afaceri, prezinta in segmentele de timp mai recente,o incetinire treptata a cresterii, cu tendinta clara de a atinge un nivel maxim (asimptota). Plafonul maxim al tendintei de crestere a cifrei de afaceri este dimensionat prin marimea parametrului „a”. Cu cat expresia cifrica a parametrului „c” este mai mica cu atat tendinta atingerii nivelului maxim se pozitioneaza la un orizont de timp mai apropiat.

Masurarea oscilatiilor sezoniere

Sunt unele fenomene social-economice a caror evolutie prezinta oscilatii periodice datorita particularitatilor sezoniere ale consumului sau ale productiei, ale obtinerii veniturilor sau ale desfasurarii unor operatiuni de aprovizionare cu marfuri, cu materii prime si materiale. Asemenea oscilatii pot fi intalnite in cazul productiei agricole, al transporturilor maritime si fluviale, in turism, in vanzarea catre consumatorii finali a unor marfuri care au fie productie sezoniera fie consum sezonier (fructe, bere, sucuri si racoritoare, inghetata, conserve de legume si de fructe, diverse obiecte de imbracaminte si incataminte etc.).

Pentru a analiza componenta sezoniera a variabilitatii temporale a fenomenelor este necesar sa se cunoasca, mai intai, care este periodicitatea acestora, daca sezonalitatea se manifesta lunar sau trimestrial.

Masurarea oscilatiilor sezoniere se realizeaza cu ajutorul coeficientilor de sezonalitate care se determina prin raportarea nivelului mediu al fiecarui trimestru (luna) din perioada analizata la nivelul mediu general calculat pentru un trimestru sau luna in urmatoarele doua conditii metodologice:

- calculul valorilor medii, in mod nemijlocit, pe baza indicatorilor de nivel reali.

- calculul valorilor medii pe baza rezultatelor obtinute prin raportarea indicatorilor de nivel reali la indicatorii de nivel estimati (ajustati), care sintetizeaza tendinta generala a evolutiei fenomenului studiat . Pentru calculul indicatorilor de nivel estimati se poate apela la una din metodele mecanice sau analitice de ajustare a seriilor dinamice.

Exemplul 2

Exemplificarea metodologiei de calcul a coeficientilor de sezonalitate, in varianta folosirii indicatorilor de nivel reali, folosim datele din tabelul 21, care se refera la vanzarile unei marfi a carei sezonalitate se manifesta trimestrial.

Tabelul 3

Dinamica trimestriala a vanzarilor de marfuri

-mii lei-

Dupa cum rezulta din datele prezentate, desfacerile acestei marfi inregistreaza cresteri absolute, constante, de la un an la altul. Analizand, insa, evolutia pe trimestre se observa existenta unor modificari semnificative ale valorii vanzarilor de la un trimestru la altul, astfel incat, in trimestrul IV se identifica nivelurile cele mai mari.

Pentru a calcula coeficientii de sezonalitate este necesar sa se determine, in primul rand, desfacerile medii din fiecare trimestru si respectiv desfacerile medii pe un trimestru din cei patru ani supusi studiului (media trimestriala generala), astfel:

- desfacerile realizate in medie in fiecare trimestru,

1. pentru trimestru I

2. pentru trimestru II

3. pentru trimestru III

4. pentru trimestru IV

- desfacerile realizate in medie intr-un trimestru (media trimestriala generala),

In continuare se calculeaza coeficientii de sezonalitate trimestriala, astfel:

- coeficientul de sezonalitate al trimestrului I

- coeficientul de sezonalitate al trimestrului II

- coeficientul de sezonalitate al trimestrului III

- coeficientul de sezonalitate al trimestrului IV

Prin urmare, se mentioneaza ca daca vanzarile din marfa respectiva ar fi fost uniforme in fiecare trimestru, atunci marimea lor ar fi fost de 956,25 mii lei dar, in aceste conditii nu ar fi existat fenomenul de sezonalitate. Coeficientii de sezonalitate arata, insa, care sunt trimestrele in care vanzarile depasesc nivelul mediu trimestrial general (trimestrele III si IV) si respectiv care sunt trimestrele in care vanzarile se pozitioneaza sub media generala (trimestrele I si II). Se identifica astfel faptul ca sezonul vanzarilor din marfa respectiva este in trimestrele III si IV deoarece coeficientii de sezonalitate calculati pentru aceste trimestre au valori supraunitare.

Optiunea pentru a folosi metodologia determinarii coeficientilor de sezonalitate prin calculul valorilor medii, in mod nemijlocit, pe baza indicatorilor de nivel reali este mai redusa deoarece se considera ca in acest fel marimea coeficientilor este influentata si de tendinta obiectiva generala de crestere a fenomenului studiat, de la un segment de timp la altul. In aceste conditii se apreciaza ca este mai indicat sa se foloseasca pentru calculul coeficientilor de sezonalitate cea de a doua varianta metodologica care utilizeaza valorile medii determinate pe baza rezultatelor obtinute prin raportarea indicatorilor de nivel reali la indicatorii de nivel estimati (ajustati), asa cum se va proceda in cazul exemplelor urmatoare, 19 si 20.

Exemplul 3

Analiza seriilor dinamice prin ajustare si identificarea componentei sezoniere cu ajutorul mediilor mobile o vom exemplifica prin prelucrarea seriei referitoare la dinamica cifrei de afaceri din tabelul 3.

Tabelul 3

Dinamica cifrei de afaceri

Nota: Analiza seriilor dinamice cu ajutorul mediilor mobile trebuie sa se bazeze pe serii formate din minimum 4 ani.

In cazul acestui exemplu reprezentarea grafica a seriei dinamice (Fig.15) identifica existenta unei sezonalitati trimestriale.

Fig. 15

Etapele calculului in cazul sezonalitatii trimestriale:

1) Calculul mediilor mobile:

Nota: Fiecare medie mobila va inlocui indicatorul de nivel real situat in mijlocul seriei de indicatori care stau la baza calculului mediei. Astfel, MM₁, va inlocui nivelul inregistrat in Anul 1: 3; MM₂, va inlocui nivelul inregistrat in Anul 1: 4, s. a. m. d.. Daca mediile mobile sunt formate dintr-un numar impar de indicatori, nu mai este necesar ca primul si ultimul indicator sa fie amplificat cu 0,5, cu mentiunea ca in acest caz fiecare medie mobila va inlocui indicatorul real situat in mijlocul variantelor luate in calcul.

2) Calculul “mediilor individuale de sezonalitate trimestriala” ca medii aritmetice ale ratelor exprimate prin rapoartele, si a “mediei generale de sezonalitate trimestriala”, aferenta intregii perioade, , calculata ca medie geometrica, astfel:

3) Calculul coeficientilor medii de sezonalitate trimestriala, , prin raportarea mediilor individuale de sezonalitate trimestriala la media generala de sezonalitate trimestriala, aferenta intregii perioade, :

4) Calculul seriei dinamice ajustata (seria initiala ajustata prin excluderea sezonalitatii),

Reprezentarea grafica a seriei dinamice initiale si a seriei ajustate sunt prezentate in Fig 16.

Fig. 16

Pentru a calcula nivelurile prognozate ale cifrei de afaceri pe trimestrele anului 5 se poate utiliza un procedeu de extrapolare care se bazeaza pe aplicarea unor modificari medii calculate succesiv, astfel:

a) Extrapolarea seriei ajustate pe baza modificarii medii de la trimestrul IV la trimestrul I.

7,948943 – 5,093594 = 2,855349

7,948943 – 8,489323 = - 0,540380

11,923415 – 11,885053 = 0,038362

Total……2,353331 : 3 = + 0,784444

- Prognoza nivelului care exprima tendinta

- Prognoza nivelului care exprima tendinta si sezonalitatea   

b) Extrapolarea seriei ajustate pe baza modificarii medii de la trimestrul I la trimestrul II.

4,117509 – 3,974472 = 0,143037

6,862515 – 7,948943 = - 1,086428

10,980025 – 7,948943 = 3,031082

13,725031 – 11,923415 = 1,801616

Total……3,889307 : 4 = + 0,972327

- Prognoza nivelului care exprima tendinta

- Prognoza nivelului care exprima tendinta si sezonalitatea

c) Extrapolarea seriei ajustate pe baza modificarii medii de la trimestrul II la trimestrul III.

4,750692 – 4,117509 = 0,633183

7,773860 – 6,862515 = 0,911345

10,797027 – 10,980025 = - 0,182998

12,956433 – 13,725031 = - 0,768598

Total…….0,592932 : 4 = + 0,148233

- Prognoza nivelului care exprima tendinta

- Prognoza nivelului care exprima tendinta si sezonalitatea

d) Extrapolarea seriei ajustate pe baza modificarii medii de la trimestrul III la trimestrul IV.

5,093594 – 4,750692 = 0,342902

8,489323 – 7,773860 = 0,715463

11,885053 – 10,797027 = 1,088026

15,280782 – 12,956433 = 2,324349

Total…..4,470740 : 4 = +1,117685

- Prognoza nivelului care exprima tendinta

- Prognoza nivelului care exprima tendinta si sezonalitatea

Exemplul 20

Pentru exemplificarea metodelor analitice de analiza a evolutiei, sezonalitatii si tendintei cifrei de afaceri pe care a inregistrat-o un agent economic, s-a constituit o serie dinamica cu niveluri trimestriale pe o perioada de 3 ani, iar in final pe baza rezultatelor analizei evolutiei generale corectata cu sezonalitatea, ne propunem sa calculam estimatia cifrei de afaceri, pe trimestre, in anul 4.

Tabelul 23

Nota: Seria dinamica a cifrei de afaceri ajustata cu ajutorul ecuatiei de tendinta liniara este prezentata in coloana, “Tendinta liniara”.

Notatiile folosite in tabelul 23 au urmatoarele semnificatii:

T = tendinta generala exprimata prin ecuatia dreptei; S = sezonalitatea;

R = termenul rezidual (termenul de eroare)

Fig. 17

Relatiile de calcul pentru diferitele componente ce determina o anumita marime a indicatorilor de nivel initiali sunt evidentiate in doua variante:

- prin procedeul multiplicativ :

- prin procedeul aditiv :

Tendinta generala a cifrei de afaceri este estimata cu ajutorul ecuatiei de regresie liniara, deoarece reprezentarea grafica (Fig. 17) sugereaza o forma liniara a evolutiei cifrei de afaceri, in perioda celor trei ani supusi analizei, .

Calculul parametrilor din ecuatia de tendinta aleasa este realizat prin aplicarea metodei celor mai mici patrate care conduce la urmatorul sistem de ecuatii:

Rezolvarea sistemului de ecuatii a permis definirea ecuatiei de tendinta in forma: y = 2, 954545 + 0, 968531 t

Nota: Variabila timp este reprezentata prin notatia “t”, pentru care se acorda valori conventionale.

Daca se considera necesar, in vederea simplificarii calculelor implicate cu estimarea parametrilor ecuatiei de tendinta se poate adopta, pentru evaluarea variabilei timp, un sistem care sa indeplineasca doua conditii, asfel:

- suma valorilor acordate lui t la puteri impare sa fie nula, ,,

- diferenta dintre oricare doua valori succesive ale lui t sa fie constanta.

Mediile trimestriale ale componentelor cumulate de sezonalitate si eroare:

a) Medii trimestriale individuale:

b) Media trimestriala generala:

Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala aferenti perioadei anilor 1-3:

; ;

;

Nota: Coeficientii medii de sezonalitate trimestriala (Cs_i), fiind calculati ca raport intre marimi medii, exprima o tendinta centrala si nu sunt afectati de termenul de eroare.

Structura spectrala a evolutiei cifrei de afaceri (procedeul aditiv)

Prognoza

Anul 4 : 1 = 7, 10615 = (2,954545 + 0,968531 * 13) * 0,457121

Anul 4 : 2 =20, 08539 = (2,954545 + 0,968531 * 14) * 1,216266

Anul 4 : 3 =32, 55934 = (2,954545 + 0,968531 * 15) * 1,862395

Anul 4 : 4 = 8, 56529 = (2,954545 + 0,968531 * 16) * 0,464217

Aceasta analiza semnalizeaza managerilor cand este necesar sa se aplice masuri prin care:

- sa se asigure capacitatea necesara pentru acoperirea cererii de produse (servicii) din trimestrele II si III cand sezonalitatea este supraunitara,

- sa se asigure executarea lucrarilor de raparatii la mijloacele fixe cu prioritate in trimestrele cu activitate redusa,

- sa se realizeze aprovizionarea cu resursele necesare in mod diferentiat in functie de marimea solicitarii trimestriale,

- sa se programeze in mod judicios concediile de odihna,

- sa se asigure o plasare profitabila a lichiditatilor,

- sa se adopte cea mai buna politica pentru contractarea creditelor curente (de trezorerie),

- sa se asigure personalul necesar pentru realizarea volumului de activitate previzibil, care va fi solicitat pe trimestre.

Prognoza volumului de activitate poate fi completata cu o estimare a structurii cifrei de afaceri pe subactivitati pe baza metodei lanturilor Markov.

Nota: Din punct de vedere metodologic, analiza prezentata poate fi considerata ca model si pentru alte activitati cu o desfasurare sezoniera cum ar fi productia de conserve din fructe sau produse agricole, productia si comercializarea de bere, productia de zahar etc..