BAZELE DINAMICII MECANISMELOR

BAZELE DINAMICII MECANISMELOR

1. CONSIDERATII GENERALE

In cadrul cinematicii, studiul miscarii elementelor mecanismului s-a facut fara luarea in consideratie a fortelor ce actioneaza asupra lor.

Problema fundamentala a calculului dinamic a mecanismelor consta in determinarea legii de miscare reale a elementului conducator in functie de fortele si momentele fortelor ce actioneaza asu-pra elementelor mecanismului, de masele acestor elemente si momentele lor de inertie. Cunoasterea legii de miscare a elementului conducator ofera posibilitatea determinarii legii de miscare a elementului condus si prin compararea acesteia cu cea impusa, in caz de necesitate, stabilirea modificarilor constructive necesare pentru obtinerea legii de miscare impusa.

In cadrul analizei dinamice a mecanismelor, se abordeaza urmatoarele proble-me: 1) studiul fortelor ce apar in mecanisme: reactiunile din cuplele cinematice, for-tele de frecare, fortele de inertie, fortele motoare si rezistive; 2) bilantul energetic al mecanismului: determinarea energiei necesare functionarii mecanismelor si reparti-zarea ei in cadrul acestora; 3) determinarea legii de miscare a mecanismelor sub acti-unea fortelor aplicate, cu luarea in considerare a maselor elementelor si a conditiilor de lucru ale mecanismelor. Cu exceptia unor cazuri foarte simple, rezolvarea acestei probleme se poate face numai iterativ.

2. FORTELE CE ACTIONEAZǍ ASUPRA MECANISMELOR

Pentru analiza dinamicǎ a mecanismelor este util un studiu prealabil al fortelor si momentelor* care actioneazǎ asupra elementelor lor.

Intr-o primǎ clasificare, fortele care actioneazǎ asupra elementelor mecanisme-lor se pot impǎrti in forte exterioare - fortele prin care alte corpuri, din afara mecanismelor, actioneazǎ asupra elementelor acestora - si forte interioare - fortele care apar intre elementele mecanismelor sau in interiorul elementelor. Fortele exte-rioare, la randul lor, se impart in douǎ grupe: forte efectiv aplicate (greutǎtile elemen-telor, fortele elastice ale resorturilor etc.) si forte dinamice suplimentare (fortele de inertie, fortele rezistive ale mediului etc.). Ele sunt intotdeauna cunoscute, fie cǎ sunt date efectiv, fie cǎ se pot calcula. In categoria fortelor interioare se includ reactiunile din cuplele cinematice, fortele de frecare din cuplele cinematice, tensiunile din ele-mente etc. Aceste forte nu pot fi puse in evidentǎ dacǎ se studiazǎ mecanismul in ansamblu. Ele apar ca rǎspuns la actiunea fortelor exterioare si ca urmare nu pot fi cunoscute dinainte.

Din considerente de simplificare a scrierii, in continuare ne vom referi numai la forte, subintelegandu-se unde este cazul, forte si momente

Pentru studiul dinamic al mecanismelor este mult mai importantǎ clasificarea fortelor pe baza efectului asupra miscǎrii elementelor. Cu ajutorul acestui criteriu, fortele ce actioneazǎ asupra elementelor mecanismelor se impart in: forte motoare - fortele aplicate elementelor in sensul miscǎrii lor (fig. 1a), avand ca efect accele-rarea miscǎrii acestora; exemple: forta de presiune a gazelor pe pistonul unui motor cu ardere interna, in timpul detentei; greutatea unui element pe portiunea descendenta a traiectoriei centrului sau de masa etc.; forte rezistive - fortele aplicate elementelor in sens opus miscǎrii lor (fig. 1b), avand ca efect franarea miscǎrii acestora.

La randul lor, fortele rezistive pot fi: forte rezistive utile (tehnologice) - fortele aplicate elementelor conduse, a caror invingere constituie obiectivul rea-lizǎrii respectivului mecanism; exemple: cuplul de antrenare a unui generator electric, forta de deformare sau rupere a materialelor la prelucrarea acestora etc.; forte rezistive neproductive - fortele re-zistive aplicate elementelor mecanisme-lor, avand ca efect franarea miscǎrii lor si/sau uzura suprafetelor ce formeazǎ cuplele cinematice; exemple: greutatea unui element pe portiunea ascendenta a traiectoriei centrului sau de masa; fortele de frecare din cuplele cinematice; fortele rezistive ale mediului etc.; reprezentantul cel mai important al acestei grupe de forte sunt fortele de frecare din cuplele cinematice, care pot influenta considerabil functionarea me-canismului. Lucrul mecanic efectuat de fortele rezistive neproductive se transforma in caldura, prin disiparea ei in mediul ambiant iesind din ciclul energetic al masinii.

Pe timpul functionǎrii masinilor, fortele exterioare pot fi constante (de exem-plu, sarcina ridicatǎ de o macara) sau variabile - situatia cea mai des intalnitǎ. Aceastǎ variatie se poate realiza dupǎ o lege periodicǎ sau poate avea un caracter aleatoriu. De asemenea, variatia poate fi functie de un parametru (unghiul de pozitie al elementului, viteza lui, timpul etc.) sau de mai multi parametri (de exemplu, un-ghiul de pozitie si viteza unghilarǎ a elementului etc.).

Notiunea de pas cinematic, asa cum a fost definita anterior, se refera strict la reproducerea unei anumite pozitii relative a elementelor mecanismului, fara a tine seama de cauzele ce provoaca miscarea, respectiv de variatia fortelor si momentelor aplicate elementelor mecanismului. Pentru a tine seama de aceastǎ variatie este necearǎ introducerea notiunii de pas dinamic Φ_d, prin care intelegem spatiul linear sau unghiular minim parcurs de elementul conducǎtor dupǎ care fortele motoare iau aceleasi valori. El este legat de pasul cinematic prin relatia:

, unde (1)

De exemplu, la motoarele cu ardere interna in patru timpi pasul cinematic este egal cu 2π (pozitiile relative ale elementelor sunt aceleasi dupǎ o rotatie a manivelei), iar pasul dinamic este egal cu 4π (fortele motoare revin la aceleasi valori dupǎ douǎ rotatii ale manivelei).

Pentru a evita situatiile de divizare a pasului cinematic in cazul cand fortele aplicate isi schimba caracterul (din motoare devin rezistive sau invers) se fac urmǎ-toarele conventii:

1) fortele motoare, pe un ciclu dinamic, produc in ansamblu un lucru mecanic pozitiv, chiar dacǎ pe unele portiuni aceste forte sunt rezistive; ca urmare, prin forte motoare vom intelege fortele aplicate elementelor conducatoare, independent de ca-racterul miscǎrii acestora, respectiv semnul lucrului mecanic, la un moment dat;

2) fortele rezistive, pe un ciclu dinamic, produc in ansamblu un lucru mecanic negativ, chiar dacǎ pe unele portiuni aceste forte sunt motoare; ca urmare, prin forte rezistive vom intelege fortele aplicate elementelor intermediare si de iesire, indepen-dent de caracterul miscǎrii lor, respectiv semnul lucrului mecanic, la un moment dat.

CARACTERISTICILE MECANICE ALE MASINILOR

Pentru studiul dinamic al masinilor este foarte important sǎ se cunoascǎ dependenta dintre puterea dezvoltatǎ (forta motoare sau cuplul motor) la arborele condus al masinii motoare sau dependenta dintre puterea necesarǎ antrenǎrii (forta rezistivǎ utilǎ sau cuplul rezistiv util) la arborele conducǎtor al masinii de lucru ca functii de parametrii cinematici ai miscǎrii acestor arbori: unghiul de pozitie, viteza unghiularǎ, acceleratia unghiularǎ, timpul sau combinatii ale acestor parametri. Cel mai des intalnite sunt dependentele de forma , , , , unde indicele ,,x" se inlocuieste cu indicele ,,m" sau ,,r" dupǎ cum forta sau cuplul sunt motoare sau rezistive. O astfel de dependentǎ se numeste caracteristicǎ mecanicǎ a masinii motoare, respectiv caracteristicǎ mecanicǎ a masinii de lucru. Studiul acestor caracteristici este foarte important intrucat corelarea fortelor/cuplurilor mo-toare si rezistive ale masinilor motoare si de lucru este fundamentalǎ pentru optimi-zarea agregatului respectiv.

Cel mai simplu motor este motorul ,,gravimetric" (fig. 2a), la care forta motoare este creatǎ de greutatea unui corp. Caracteristica sa mecanicǎ este prezentatǎ in fig. 2b si se exprimǎ analitic prin relatia

, (2)

unde M_m este cuplul motor, G este greutatea corpului, iar r este raza discului.

Motorul cu arc (fig. 3a) are caracteristica mecanicǎ din fig. 3b, aceasta putand fi exprimatǎ prin relatia

, (3)

unde M_m0 este valoarea initialǎ a cuplului motor, k este rigiditatea arcului, iar φ este unghiul de rǎsucire al arcului.

4. DETERMINAREA REACTIUNILOR IN CUPLELE CINEMATICE

4.1. Conditiile de determinare staticǎ a lanturilor cinematice

Pe timpul functionǎrii mecanismelor, in cuplele lor cinematice actioneazǎ forte ce caracterizeazǎ interactiunea dintre elemente. Solicitarea cuplelor cinematice cu forte de interactiune - reactiuni - constituie o caracteristicǎ dinamicǎ importantǎ a mecanismelor. Cunoasterea reactiunilor este necesarǎ pentru calculul de rezistentǎ al elementelor mecanismului, pentru calcule de vibratii, rigiditate, de rezistentǎ la uzurǎ, pentru calculul durabilitǎtii lagǎrelor etc.

Pentru determinarea reactiunilor din cuplele cinematice trebuie cunoscute sau calculate fortele exterioare ce actioneaza asupra mecanismului. De asemenea, trebuie cunoscute legile de miscare ale elementelor conducatoare care, dupǎ rezolvarea pro-blemelor de analizǎ cinematicǎ permit sǎ se determine fortele de inertie care actio-neazǎ asupra elementelor.

Asa cum am arǎtat, reactiunile din cuplele cinematice sunt forte interioare fatǎ de mecanismul/masina in ansamblu. Ca urmare, determinarea lor se poate face numai prin desfacerea cuplelor cinematice, pentru calculul lor fiind necesar ca sistemul ecu-atiilor de echilibru ale lantului cinematic sa fie static determinat, adica numarul ecuatiilor de echilibru scrise pentru lantul cinematic sa fie egal cu numarul parame-trilor necunoscuti ce caracterizeaza reactiunile din cuplele cinematice.

Calculul reactiunilor se face iterativ, in prima etapǎ fortele de frecare fiind considerate nule. Dupǎ determinarea valorilor reactiunilor, cunoscand condi-tiile functionale ale cuplei (vitezele relative dintre ele-mente) si cuplul de materiale ce formeazǎ cupla, se estimeazǎ pe baza datelor din memoratoare coefici-entul de frecare si se determinǎ fortele/cuplurile de frecare din cuple. Acestea se considerǎ forte nou in-troduse in sistem si se reiau etapele mentionate mai sus. In general, douǎ iteratii sunt suficiente pentru a asigura precizia calculelor (diferenta dintre valorile reactiunilor la douǎ iteratii succesive sǎ fie mai micǎ de 1%).

Sǎ stabilim acum conditiile de determinare sta-ticǎ a lanturilor cinematice plane. In acest scop vom studia reactiunile din cuplele de clasa C₅. Reactiunea dintr-o cupla cinematica, ca oricare alta forta, este de-finita prin trei parametrii: modulul, directia si punctul de aplicatie. La o cupla de rotatie, daca se neglijeaza fortele de frecare, reactiunea trece prin centrul articulatiei (este cunoscut punctul de aplicatie - fig. 4). Prin urmare raman doi parametrii necunoscuti, modulul si directia, echivalente cu componentele reactiunii pe axele sistemului de coordonate cu originea in centrul articulatiei.

La o cupla de translatie, daca se neglijeaza, de asemenea, fortele de frecare, se cunoaste directia reacti-unii - dupa perpendiculara pe directia deplasarii relative a elementelor (fig. 5). Prin urmare, raman tot doua necunoscute, de aceasta data punctul de aplicatie si modulul.

In baza acestor observatii rezultǎ ca la mecanis-mele plane, fiecare reactiune dintr-o cupla cinematica de clasa C₅ introduce doua necunoscute.

Consideram acum un lant cinematic plan, format din n elemente cinematice si p₅ cuple cinematice de clasa C₅. Conform celor stabilite anterior, numǎrul total de necunoscute introduse de reactiunile din cele p₅ cuple cinematice este egal cu . Pe de altǎ parte, pentru fiecare element se pot scrie trei ecuatii de echilibru, adi-cǎ pentru intregul lant cinematic se pot scrie 3n ecuatii de echilibru. Pentru ca sistemul ecuatii de echilibru sa fie static determinat, trebuie indeplinitǎ conditia

, (4)

sau

, (5)

relatie ce exprimǎ tocmai conditia de formare a grupelor structurale (vezi relatia (1.13)). Prin urmare, grupele cinematice Assur sunt static determinate, descompu-nerea mecanismului in grupe structurale oferind posibilitatea determinǎrii reactiunilor din cuplele cinematice. La determinarea reactiunilor din cuplele cinematice sensul de parcurgere a conturului mecanismului este invers fatǎ de cel de la analiza cinematicǎ, adicǎ acum se porneste de la grupa structuralǎ ce contine elementul de iesire, asupra cǎruia actioneazǎ o fortǎ cunoscutǎ.

4.2 Determinarea reactiunilor la diada de aspectul 1

Se considerǎ diada BCD, de aspectul 1, din fig. 6a. Asupra elementelor 2 si 3 actioneazǎ cate un sistem de forte exterioare ce se reduc in raport cu centrul de greutate al elementului la torsorii , respectiv . Fortele si se dau prin componentele lor pe axele sistemului de coordonate F_2x, F_2y, respectiv F_3x, F_3y. Momentele si se considerǎ pozitive dacǎ actioneazǎ, de exemplu, in sens antiorar.

Fortele de interactiune ale elementelor in cuplele cinematice potentiale B si D ale diadei sunt reprezentate prin reactiunile , respectiv , necunoscute, asa cum arǎtat la pct. 4.1, ca directie si modul. Cele douǎ reactiuni sunt date prin com-ponentele lor F_21x, F_21y, respectiv F_34x, F_34y pe axele sistemului de coordonate.

Trebuie sǎ se determine reactiunile din cuplele cinematice B, C si D

Mai intai se determinǎ reactiunile din cuplele B si D. Pentru aceasta avem la dispozitie patru ecuatii: doua ecuatii de proiectii de forte (pentru toatǎ grupa structu-ralǎ) dupa axele sistemului xOy si doua ecuatii de momente (cate una pentru fiecare element al diadei) in raport cu punctul B, adica:

. (6)

Prin rezolvarea sistemului (6) se determinǎ necunoscutele F_21x, F_21y, F_34x, F_34y. In continuare, se pot determina modulul si directia reactiunilor totale conform relatiilor:

(7)

Dupǎ de s-au calculat reactiunile din cuplele B si D se poate determina si reactiunea din cupla interioarǎ C. Pentru aceasta desfacem cupla C si pentru menti-nerea echilibrului introducem forta de legatura , pe care de asemenea o descom-punem dupa axele sistemului xOy (fig. 6b). In situatia datǎ, studiem echilibrul fortelor ce actioneaza asupra elementului 2:

. (8)

Din acest sistem se calculeazǎ necunoscutele F_23x si F_23y, dupǎ care se pot determina modulul si directia reactiunii totale :

. (9)

4.3 Determinarea reactiunilor la diada de aspectul 2

Se considerǎ diada BCD, de aspectul 2, din fig. 7a. Actiunile elementelor 1 si 4 din cuplele cinematice potentiale B si D ale diadei sunt inlocuite prin si . Reactiunea este necunoscutǎ prin directie si modul, fiind reprezentatǎ prin com-ponentele F_21x si F_21y. Reactiunea este perpendicularǎ pe ghidajul a-a pe care se deplaseazǎ patina Aici, necunoscute sunt modulul fortei si punctul ei de apli-catie (distanta ).

Asupra elementului 2 actioneazǎ un sistem de forte exterioare, redus fatǎ de centrul sǎu de greutate la un torsor , forta fiind datǎ prin componentele F_2x si F_2y pe axele sistemului de coordonate. Asupra elementului 3 actioneazǎ forta cunoscutǎ, dirijatǎ dupǎ directia ghidajului a-a, greutatea , aplicatǎ in centrul de greutate C₃, precum si momentul , considerat pozitiv dacǎ actioneazǎ in sens antiorar.

Trebuie sǎ se determine reactiunile din cuplele cinematice B, C si D

Pentru determinarea celor patru necunoscute - F_21x, F_21y, F₃₄ si h - avem la dispozitie patru ecuatii: doua ecuatii de proiectii de forte (pentru toatǎ grupa structu-ralǎ) dupa axele sistemului xOy si doua ecuatii de momente (cate una pentru fiecare element al diadei) in raport cu punctul B, adica:

. (10)

Pentru cazul particular , primele douǎ ecuatii din sistemul (10) iau o formǎ mai simplǎ.

Pentru determinarea reactiunii din cupla C se D desface aceastǎ cuplǎ si pentru mentinerea echilibrului se introduce forta de legatura , dupǎ care se scriu ecuatiile de echilibru pentru elementul 2 sau De exemplu, pentru elementul 2, dupǎ descompunerea reactiunii dupa axele sistemului de coordonate xOy (fig. 7b), ecuatiile de echilibru sunt:

. (11)

4.4. Determinarea reactiunilor in cuplele cinematice

ale elementelor conducǎtoare

Dupa ce s-au determinat reactiunile din cuplele cinematice ale tuturor grupelor cinematice din structura mecanismului se pot determina si reactiunile din cuplele ci-nematice ale elementelor conducǎtoare. Elementele conducǎtoare nu se supun insǎ consecintelor relatiei (5) intrucat gradul lor de mobilitate este diferit de zero. In aceste conditii, in sistemul ecuatiilor de echilibru apare o nedeterminare (incompati-bilitate), in sensul cǎ numǎrul ecuatiilor este mai mare decat numǎrul necunoscutelor. La manivela din fig. 8 aceastǎ nedeterminare s-ar manifesta astfel: conform celor cunoscute din staticǎ, pentru un corp actionat de un sistem plan de forte se pot scrie trei ecuatii de echilibru. Dacǎ s-ar lua in considerare numai cele douǎ componente necunoscute ale reactiunii din cupla A, sistemul de ecuatii obtinut ar fi incompatibil.

Eliminarea incompatibilitǎtii sistemului ecuatiilor de echilibru se face prin introducerea unei necunoscute supli-mentare, denumitǎ fortǎ de echilibrare sau cuplu de echili-brare, asupra cǎreia facem urmǎtoarele observatii: 1) la ana-liza dinamicǎ a mecanismului, forta de echilibrare este o forta pur fictiva, introdusa in calcul doar pentru eliminarea incompatibilitǎtii sistemului ecuatiilor de echilibru; 2) in cazul sintezei dinamice, aceastǎ fortǎ este realǎ si reprezinta forta sau cuplul ce trebuie efectiv aplicate elementului con-ducǎtor respectiv pentru ca mecanismul sa realizeze legea de miscare data; 3) denumirea de forta sau cuplu de echilibrare utilizata in acest context difera de aceea utilizata la echili-brarea propriu-zisa a mecanismului; aici, forta sau cuplul de echilibrare echilibreaza mecanismul din punct de vedere dinamic, adica inclusiv al fortelor exterioare, nu numai din punct de vedere al fortele de inertie.   

Considerǎm drept element conducǎtor o manivelǎ ce efecturazǎ o miscare dupǎ o lege datǎ (fig. 9). Asupra ei actioneazǎ un sistem de forte exterioare, redus fatǎ de centrul sǎu de greutate C₁ la un torsor , forta fiind datǎ prin componen-tele F_1x si F_1y pe axele sistemului de coordonate. Actiunea elementului 2 este reprezentatǎ prin componentele reactiunii , cunoscute.

Pentru ca manivela sa efecteze miscarea dupa legea data, asupra ei trebuie aplicata o forta exterioarǎ sub forma unei forte sau cuplu de echilibrare. Admitem ca asupra manivelei aplicǎm forta de echilibrare . In general, linia ei de actiune este cunoscuta, astfel ca va trebui sa-i determinam numai modulul. Daca forta este apli-cata perpendicular pe manivela, pentru a-i determina modulul, scriem ecuatia de momente in raport cu articulatia A:

(12)

Proiectiile acestei forte pe axele sistemului de coordonate sunt:

. (13)

Daca asupra manivelei se aplicǎ un moment de echilibrare , modulul sǎu se determina din ecuatia de momente in raport cu articulatia A:

(14)

Dupa determinarea fortei sau cuplului de echili-brare conform (12), respectiv (14) se poate calcula si reactiunea : se desface articulatia A, se introduc componentele reactiunii, F_10x si F_10y, si se scriu ecuatiile de echilibru ale elementului 1. Dacǎ elementul este echilibrat de forta , componentele reactiunii se determinǎ din sistemul:

, (15)

unde F_ex si F_ey sunt date de (13).

Dacǎ elementul este echilibrat de momentul , componentele reactiunii se determinǎ din sistemul:

. (16)

5. MODELUL DINAMIC AL MECANISMULUI

5.1. Consideratii generale

Mecanismele in general, pot fi privite ca sisteme mecanice si ca urmare, ele pot fi studiate aplicand teoremele specifice mecanicii clasice sau mecanicii analitice. La studiul mecanismelor reale, in special al mecanismelor complexe, pe aceastǎ cale se poate ajunge la probleme pe care aparatul matematic disponibil le rezolva cu mari dificultati. In plus, de cele mai multe ori, este nevoie sa se determine numai legea de miscare a elementului conducator la masina de lucru sau a elementului condus la masina motoare.

In Teoria mecanismelor, aceste dificultati sunt eliminate prin inlocuirea studiu-lui mecanismului real cu studiul unui element conventional, asupra cǎruia este trans-feratǎ actiunea tuturor fortelor si momentelor ce actioneazǎ asupra elementelor meca-nismului real. Aceastǎ operatiune se numeste reducerea mecanismului, iar elementul conventional se numeste model dinamic redus al mecanismului si poate fi un ele-ment de reducere sau un punct de reducere. Operatiune de reducere este posibilǎ prin introducerea functiilor de reducere sau a mǎrimilor reduse: m* - masa redusǎ; J* - momentul de inertie redus; F* - forta redusǎ; M* - momentul redus.

Ca procedeu de studiu, modelarea dinamica se poate aplica oricarui mecanism, intrucat nu face nici o specificatie asupra complexitatii mecanismului. Prin acest pro-cedeu se obtine o reducere a complexitatii mecanismului prin reducerea sa la cele mai simple modele mecanice: punctul material si solidul rigid. De asemenea, in cazul me-canismelor cu multe elemente, incarcate cu forte si momente, acest model simplu per-mite rezolvarea multor probleme referitoare la dinamica mecanismului, rezultatele obtinute urmand a fi transferate mecanismului real.

Teoretic, ca element de reducere se poate alege oricare dintre elementele meca-nismului. Recomandabil este insa ca operatia de reducere sa se execute in raport cu elementele conducatoare sau conduse sau puncte ale acestora, intrucat aceste elemen-te au miscari simple - rotatie sau translatie - spre deosebire de celelalte elemente ale mecanismului, ce pot avea miscari plane. Reducerea la un punct se poate aplica mecanismelor plane indiferent de complexitatea lor. Pentru mecanismele spatiale, aceasta reducere este posibila numai in unele cazuri particulare.

Modelul dinamic redus al mecanismului permite sǎ se determine legea de mis-care a elementului conducator la masina de lucru sau a elementului condus la masina motoare si pe aceastǎ bazǎ - interpretarea unor caracteristici cinematice si dinamice ale mecanismului real - pe baza respectǎrii urmǎtoarelor reguli de realizare a lui: 1) sub actiunea fortelor efectiv aplicate si a fortelor de frecare modelul redus executǎ o miscare identicǎ cu aceea a elementului conducator la masina de lucru sau a elemen-tului condus la masina motoare de la masina realǎ; 2) energiile cinetice ale modelului redus si ale mecanismului real sunt egale in orice moment.

Reducerea maselor si momentelor de inertie

Aceastǎ reducere se face pe baza conditiei de egalitate dintre suma energiilor cinetice ale elementelor mecanismului real si energia cineticǎ E_r a modelului redus, adicǎ:

. (17)

Pentru calculul energiei cinetice a elemente-lor mecanismului considerǎm cazul general al unui element i cu miscare planǎ (fig. 10), pentru care este cunoscuta distributia de viteze. Pe aceasta baza, se pot determina centrul instantaneu de rotatie I si viteza unghiulara instantanee in miscarea in jurul acestui punct. Atunci, energia cineticǎ a elementului i va fi

. (18)

Conform relatiei lui Steiner, unde m_i este masa elementului i, si cu aceasta relatia (18) devine:

(19)

Intrucat expresia (19) se aduce la forma:

. (20)

Extinzand relatia (20) la toate elementele mecanismului, suma energiilor cinetice ale elementelor lui va fi:

. (21)

Pentru calculul energiei cinetice a modelului redus deosebim douǎ cazuri:

1) cand elementul de reducere are miscare de rotatie,

, (22)

unde ω_r este viteza unghiulara a elementului de reducere;

2) cand punctul de reducere are miscare de rotatie translatie:

, (23)

unde v_r este viteza punctului de reducere.

Avand in vedere conditia (17), egaland, pe rand, expresia (21) a sumei energiilor cinetice ale elementelor cu expresia energiei cinetice E_r a modelului redus (22) sau (23), obtinem:

, (24)

se numeste moment de inertie redus. Acesta este momentul de inertie al unui corp fictiv, ce se roteste in jurul unei axe fixe cu viteza unghiulara a elementului de reducere si care are in fiecare pozitie aceeasi energie cinetica ca si mecanismul real;

, (25)

se numeste masa redusǎ si este o masa conventionala avand aceeasi viteza cu cea a elementului de reducere si care are in fiecare pozitie aceeasi energie cinetica ca si mecanismul real.

Exemplu. La mecanismul manivelǎ-piston din fig. 11, sǎ se stabileascǎ expresiile pentru momentul de inertie redus J* si masa redusǎ m*, considerand drept element de reducere manivela 1, respectiv drept punct de reducere centrul articulatiei C. Sunt date (cunoscute) viteza unghiularǎ ω₁ a manivelei, masele si momentele de inertie ale ele-mentelor in raport cu centrele lor de greutate, iar la analiza cinematicǎ s-au determi-nat vitezele punctelor C₂ si C.

Rezolvare. La determinarea momentului de inertie redus se aplicǎ relatia (24):

.

Pentru determinarea masei reduse, conform relatiei (25), rezultǎ:

.

Reducerea fortelor si momentelor

Reducerea fortelor si momentelor fortelor se face pe baza conditiei de egalitate dintre suma lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fortelor si momentelor ce actioneaza asupra unui element al mecanismului real si lucrul mecanic elementar dL_r al fortei reduse sau momentului redus, ce actioneaza asupra modelului redus, adicǎ

. (26)

Pentru calculul lucrului mecanic ele-mentar dL_i al fortelor si momentelor aplicate unui element i al mecanismului, considerǎm un element in miscare planǎ, aflat la momen-tul t₀ intr-o pozitie oarecare (fig. 12). Siste-mul fortelor exterioare efectiv aplicate ele-mentului se reduce in centrul de greutate C_i la un torsor . Imprimam elemen-tului o deplasare unghiulara elementara efectuata intr-un interval dt, timp in care centrul de greutate C_i parcurge un arc ele-mentar ds_i. In aceste conditii, lucrul mecanic elementar la fortelor efectiv aplicate este:

. (27)

Avand in vedere ca , si ca in miscarea plana

(sunt perpendiculari)

expresia (27) se poate scrie:

. (28)

Extinzand relatia (28) la toate elementele mecanismului, rezultǎ:

. (29)

Pentru calculul lucrului mecanic elementar dL_r distingem, de asemenea, douǎ situatii:

- cand punctul de reducere efectueazǎ o miscare de translatie,

, (30)

unde v_r este viteza punctului de reducere;

- cand elementul de reducere efectueazǎ o miscare de rotatie

, (31)

unde ω_r este viteza elementului de reducere.

In baza conditiei (26), egaland succesiv expresia (29) a sumei lucrurilor mecanice elementare ale tuturor fortelor si momentelor aplicate unui element al me-canismului real cu expresia lucrului mecanic elementar redus (30), respectiv (31), rezulta:

(32)

adicǎ se numeste forta redusa forta conventionala aplicata elementului de reducere, al carei lucru mecanic elementar este egal in fiecare pozitie cu suma lucrurilor me-canice elementare ale fortelor si momentelor aplicate elementelor mecanismului real;

, (33)

se numeste moment redus si este momentul conventional aplicat elementului de reducere ce executa o miscare de rotatie, al carui lucru mecanic elementar este egal in fiecare pozitie cu suma lucrurilor mecanice elementare ale fortelor si momentelor apli-cate elementelor mecanismului real.

In legǎturǎ cu relatiile de definire a fortei reduse si momentului redus trebuie avute in vedere urmǎtoarele observatii:

1) intrucat fortele si cuplurile care actioneazǎ asupra elementelor mecanismului au fost impǎrtite in forte si cupluri motoare si rezistive (vezi pct. 2), putem scrie:

; , (34)

unde indicii ,,m" si ,,r" desemneazǎ componentele motoare, respectiv rezistive;

2) in calculul fortelor de inertie nu s-au luat in considerare fortele de inertie si ca urmare forta redusǎ si momentul redus nu tin seama de ele;

3) nu s-au luat in considerare fortele si cuplurile de frecare si ca urmare, dupǎ relatiile (32) si (33) se realizeazǎ doar un calcul aproximativ;

4) nu s-au luat in considerare reactiunile din cuplele cinematice, intrucat aces-tea sunt forte interioare si ca urmare lucrul lor mecanic este egal cu zero.

5.4. Functiile de reducere ca functii de pozitia elementului de reducere

Asa cum am mentionat, operatia de reducere ne permite sǎ inlocuim mecanis-mul real cu un element (barǎ sau disc) cu moment de inertie J* actionat de un mo-ment M* sau cu un punct in miscare de rotatie sau translatie, de masǎ m* si actionat de o fortǎ F*. Pentru un mecanism manivelǎ-piston (fig. 13a) aceste cazuri de reducere sunt prezentate in fig. 13b-e.

Examinarea relatiilor de definire a mǎrimilor reduse J*, m*, F*, M*, (24), (25), (32). respectiv (33), evidentiazǎ dependenta lor de douǎ categorii de mǎ-rimi: 1) mǎrimi date - masele si momentele de inertie ale elementelor, fortele si mo-mentele efectiv aplicate; 2) rapoartele cinematice , , , .

La un mecanism oarecare, masele elementelor si momentele de inertie ale ele-mentelor in raport cu axa care trece prin centrul lor de greutate si este perpendicularǎ pe planul miscǎrii sunt mǎrimi constante. Fortele si momentele aplicate elementelor mecanismului, asa cum arǎtat la pct. 2, pot fi mǎrimi variabile, cazul de variatie cel mai frecvent la mecanismele plane cu grad de mobilitate fiind in functie de unghiul de pozitie al elementului conducǎtor. In plus, prin introducerea notiunii de pas dinamic Φ_d, am arǎtat cǎ fortele si momentele aplicate elementelor sunt mǎrimi periodice, prin urmare si functiile de reducere sunt mǎrimi periodice cu pasul Φ_d.

Rapoartele cinematice mentionate anterior sunt de asemenea functii de parame-trul de pozitie al elementului conducǎtor, intrucat vitezele unghiulare ω_i si lineare ale elementelor conduse sunt dependente de acest parametru, valorile acestora repe-tandu-se dupǎ parcurgerea de cǎtre elementul conducǎtor a unui pas cinematic Φ_c. Intrucat element de reducere poate fi atat elementul conducǎtor, cat si cel condus, rezultǎ ca dependenta rapoartelor cinematice de parametrul de pozitie al elementului reducere si periodicitatea lor de pasul cinematic se transferǎ si functiilor de reducere.

Prin urmare, dacǎ admitem cǎ la un mecanism plan cu grad de mobilitate elementul conducǎtor este pozitionat prin unghiul de pozitie φ, in conditiile precizate mai sus putem scrie:

; ; ; . (35)

6. BILANT ENERGETIC

In baza celor stabilite la pct. 2, conform relatiilor (34), forta redusǎ si mo-mentul redus au cate o componentǎ motoare si una rezistivǎ:

; , (36)

unde pentru simplificarea scrierii nu am mai indicat dependenta acestor mǎrimi de parametrul de pozitie φ sau s. Consideratiile de mai jos in legǎturǎ cu momentul redus se aplicǎ prin analogie si pentru forta redusǎ.

Prin integrarea pe un ciclu dinamic a mǎrimilor M^*, si , rezultǎ:

, (37)

unde mǎrimile L, L_m si L_r sunt de asemenea functii de unghiul φ si reprezintǎ lucrurile mecanice corespunzǎtoare momentelor M^*, , respectiv .

Avand in vedere relatia dintre momente din (36), din (37) putem scrie:

. (38)

Consideram acum un mecanism oarecare, redus la un element in miscare de rotatie, cǎruia ii aplicǎm teorema energiei sub forma finita intre doua pozitii, notate "0" si "1", in care mecanismul se afla la momentele t₀, respectiv t₁. Rezultǎ:

. (39)

In baza relatiilor (37) si (38), putem scrie:

. (40)

Dacǎ avem in vedere expresia energiei cinetice a unui corp in miscare de rota-tie, atunci

, (41)

unde , si ω₁, ω₀ reprezintǎ momentele de inertie reduse, respectiv vitezele un-ghiulare corespunzǎtoare pozitiilor "0" si "1", iar L_in este lucrul mecanic al fortelor de inertie.

Cu aceste precizǎri, din relatiile (40) si (41), rezulta:

. (42)

Conform celor arǎtate la pct. 2, in categoria fortelor rezistive intra fortele rezistive productive, fortele de frecare si fortele de greutate, astfel cǎ expresia lucru-lui mecanic rezistiv se poate scrie:

, (43)

unde L_rp, L_f si L_g reprezintǎ lucrul mecanic al fortelor rezistive productive, fortelor de frecare, respectiv al fortelor de greutate.

Atunci, relatia (42) devine:

. (44)

In aceastǎ ultimǎ relatie, L_g si L_in pot fi pozitive sau negative, dupa cum fortele respective efectueazǎ un lucru mecanic motor sau rezistiv. Cu aceastǎ observatie, relatia (44) se poate scrie:

. (45)

Impartind cu timpul aceastǎ expresie, rezultǎ:

, (46)

ceea ce aratǎ cǎ puterea motoare P_m este egalǎ cu suma dintre puterea necesarǎ invin-gerii fortelor rezistive productive P_rp, puterea consumatǎ de fortele rezistive nepro-ductive (inclusiv cele de frecare) P_f, puterea necesara invingerii fortelor de greutate sau furnizata de aceste forte si puterea necesara cresterii energiei cinetice a mecanismului sau cea obtinuta pe seama micsorarii energiei cinetice , ca urmare a actiunii fortelor de inertie.

Relatia (46) reprezinta ecuatia bilantului energetic al mecanismului/masinii. Interpretarea ei pune in evidentǎ cateva situatii caracteristice. Astfel, daca si , rezulta ca este necesara cresterea puterii P_m aplicata elementului conducator. Daca si este necesara reducerea acestei puteri dacǎ se doreste mentine-rea constantǎ a vitezei (lineare sau unghiulare) a elementului conducǎtor. Situatii cu sau intalnim, de exemplu, la pornirea, respectiv oprirea agregatelor.

O situatie interesantǎ este aceea cand , si , adicǎ , ceea ce conduce la o circulatie inversǎ a fluxului energetic in agre-gatul masina motoare-masina de lucru. Intr-o asemenea situatie se ajunge in cazul franei de motor la autovehicule: prin trecerea pe o treapta inferioara de viteza si reducerea admisiei in motor se micsoreaza la minim puterea P_m, iar motorul ajunge sǎ functioneze in regim de compresor. Comprimarea aerului fiind un proces cu consum energetic ridicat, energia cinetica a autovehiculului va fi astfel disipatǎ rapid, reali-zand o franare rapidǎ fǎrǎ utilizarea franelor. Pentru a preveni oprirea motorului o datǎ cu oprirea autovehiculului, spre sfarsitul acestei manevre este necesarǎ decu-plarea (debreierea) motorului.

REGIMURILE DE FUNCTIONARE ALE

MECANISMELOR SI MASINILOR

Revenim la ecuatia (42) si ne propunem sǎ analizǎm semnul acestei relatii. Astfel, dacǎ , atunci si avand in vedere relatia (41) rezultǎ

. (47)

In mod similar, dacǎ , atunci si prin urmare

. (48)

Analiza directǎ a acestor inegalitati nu permite sǎ se facǎ aprecieri asupra va-riatiei vitezei unghiulare a elementului de reducere, intrucat energia lui cineticǎ se exprimǎ prin ω si J^*, ambii termeni fiind dependenti de parametrul de pozitie (unghiul    φ). Altfel spus, nu se poate evidentia contributia fiecǎrui factor la variatia energiei cinetice a elementului de reducere. Aceasta nedeterminare o putem elimina studiind variatia vitezei unghiulare a elementului de reducere pe anumite intervale, alese astfel incat sa fie satisfacute urmatoarele conditii: 1) momentele de inertie reduse sa fie egale la sfarsitul intervalului; 2) pe intervalul respectiv sǎ fie precizat semnul lucrului mecanic al fortelor de inertie.

La pct. 5.4 am arǎtat cǎ momentul de inertie redus este o functie periodicǎ, de perioadǎ Φ_C, adicǎ

. (49)

Dacǎ vom calcula acum energia cineticǎ la inceputul si sfarsitul unui ciclu cinematic, conform (41)

, (50)

unde ω₀ si ω₁ am notat vitezele unghiulare ale elementului de reducere la inceputul, respectiv sfarsitul intervalului.

In baza relatiei (42) insǎ, lucrul mecanic al tuturor fortelor aplicate modelului dinamic redus este egal cu lucrul mecanic al fortelor de inertie. Avand in vedere (49), din (50) rezulta:

, (51)

unde L_c este lucrul mecanic al fortelor si momentelor exterioare aplicate modelului dinamic redus pe parcursul unui ciclu cinematic, este momentul de inertie redus al mecanismului in doua pozitii succesive ale elementului de reducere, ce difera intre ele prin pasul cinematic Φ_C.

La analiza semnului relatiei (51) rezulta trei situatii posibile:

1) - intrucat , si sunt intotdeauna pozitive, rezulta ; aceasta inseamnǎ cǎ la sfarsitul intervalului viteza unghiularǎ este mai mare decat la inceputul intervalului, adicǎ elementul de reducere are o miscare accelerata;

2) - in aceleasi conditii de mai sus, rezulta , adica la sfarsitul intervalului viteza unghiularǎ este mai micǎ decat la inceputul intervalului si ca urma-re elementul de reducere are o miscare incetinitǎ sau franata; fazele cu miscare acce-leratǎ sau franatǎ reprezinta regimuri de miscare nestationare, caracterizate de o va-riatie neperiodicǎ a vitezei unghiulare a elementului de reducere;

3) - in conditiile precizate la pct. 1), rezulta , adica vitezele un-ghiulare sunt egale la inceputul si sfarsitul intervalului; miscarea se numeste in acest caz uniformǎ sau stationarǎ si este caracterizatǎ de o variatie periodicǎ a vitezei unghiulare a elementului de reducere; de retinut faptul cǎ egalitatea vitezelor un-ghiulare se realizeazǎ doar in capetele intervalului, intrucat in interiorul pasului cinematic viteza unghiularǎ variazǎ intre anumite limite.

Situatiile posibile descrise de aceste trei cazuri sunt prezentate in fig. 14.

Ca urmare a dependentei dintre pasul dinamic Φ_d si pasul cinematic Φ_c (vezi relatia (1)), expresia (51) poate fi scrisǎ pentru un ciclu dinamic sub forma

, (52)

unde L_d este lucrul mecanic al fortelor si mo-mentelor exterioare aplicate modelului dinamic redus pe un ciclu dinamic, iar este momentul de inertie redus al mecanismului in douǎ pozitii ale modelului redus ce diferǎ intre ele prin Φ_d.

In ipoteza cǎ , la functionarea mecanismelor si masinilor, din punct de vedere al lucrului mecanic L_d, se disting urmǎtoarele douǎ situatii:

1) regim stationar, caracterizat prin ; intrucat , si sunt intot-deauna pozitive, rezulta ; aceasta inseamnǎ cǎ desi in interiorul ciclului cine-matic miscarea este acceleratǎ, in cadrul ciclului dinamic ea este stationarǎ, vitezele unghiulare la inceputul si sfarsitul intervalului fiind egale intre ele si egale la randul lor cu o valoare ω_n, denumitǎ vitezǎ unghiularǎ nominalǎ sau vitezǎ unghiularǎ (turatie) de regim; la toate mecanismele si masinile valoarea lui ω_n este precizatǎ;

2) regim tranzitoriu, caracterizat prin ; in conditiile de la pct. 1), rezultǎ cǎ sau dupǎ cum , respectiv ; aceasta inseamnǎ cǎ la sfarsitul ciclului dinamic viteza unghiularǎ este mai micǎ (regim tranzitoriu franat) sau mai mare (regim tranzitoriu accelerat) decat la inceputul lui.

Stabilirea regimurilor de functionare ale mecanismelor si masinilor ne permite sǎ trecem la analiza timpului total de functionare t_f, care reprezintǎ timpul scurs intre pornirea si oprirea mecanismului/masinii. Din punct de vedere al valorilor lui L_d, in cadrul timpului total de functionare distigem urmǎtoarele trei faze:

1) faza de pornire, de duratǎ t_p, caracterizatǎ de , implicit de ; ea corespunde regimului tranzitoriu accelerat si reprezintǎ timpul in care viteza un-ghiularǎ a elementului conducǎtor variazǎ de la zero panǎ la valoarea nominalǎ ω_n;

2) faza de regim, de duratǎ t_r, caracterizatǎ de , implicit de ; co-respunde regimului de functionare stationar si reprezintǎ o succesiune de cicluri dina-mice, de duratǎ t_d fiecare; in interiorul fiecǎrui ciclu dinamic viteza unghiularǎ a ele-mentului conducǎtor variazǎ fatǎ de valoarea nominalǎ intre o valoare maximǎ si una minimǎ, dar la sfarsitul fiecǎrui ciclu dinamic viteza unghiularǎ are aceeasi valoare;

3) faza de oprire, de duratǎ t_o, caracterizatǎ de , implicit de ; co-respunde regimului tranzitoriu franat si reprezintǎ timpul in care viteza unghiularǎ a elementului conducǎtor scade de la valoarea nominalǎ ω_n panǎ la zero.

Aceste componente ale timpului total de functionare sunt reprezentate in dia-grama din fig. 15.

La majoritatea masinilor, timpul de functionare in faza de regim t_r reprezintǎ cvasitotalitatea timpului total de functionare. Ca duratǎ, t_r poate avea valori de la ordinul minutelor si orelor (motoarele masinilor-unelte, motoarele autovehiculelor sau aeronavelor etc.) panǎ la valori de ordinul sǎptǎmanilor sau lunilor (motoare na-vale, agregate energetice etc.). Mai trebuie retinut cǎ in cadrul fazei de regim pot exista unul sau mai multe regimuri stationare, caracterizate prin vitezele unghiulare ω_n1, ω_n2 In astfel de cazuri, miscarea stationarǎ alterneazǎ cu miscarea acceleratǎ (la cresterea vitezei de regim) sau franatǎ (la micsorarea vitezei de regim).

Timpul de oprire t_o poate da informatii despre starea tehnicǎ a agregatului respectiv. De exemplu, dacǎ t_o este mai mic decat valoarea normalǎ stabilitǎ de cons-tructor, inseamnǎ cǎ la unele subansambluri sunt conditii de functionare anormale (cel putin un lagǎr este deteriorat, rotorul atinge statorul sau carcasa etc.).   

ECUATIILE DE MISCARE

8.1. Consideratii generale

Stabilirea legii reale de miscare a elementului sau punctului de reducere, care coincide cu legea de miscare a elementului conducǎtor la masinile de lucru sau a ele-mentului condus la masinile motoare, reprezintǎ o etapǎ esentialǎ a studiului dinamic al masinilor. Prin rezolvarea ei devine cunoscutǎ dependenta realǎ a vitezei elementu-lui sau punctului de reducere de parametrul de pozitie al elementului conducǎtor/ /condus, iar dupǎ aceasta se poate stabili in ce mǎsurǎ masina satisface o serie de ce-rinte de calitate. In acelasi timp, analiza ecuatiei de miscare si a solutiilor ei poate sugera unele posibilitǎti de ameliorare a caracteristicilor de functionare ale masinii.

8.2. Forme ale ecuatiei de miscare

Prin aplicarea teoremei energiei in formǎ finitǎ tuturor elementelor unui meca-nism plan oarecare,

, (53)

obtinem o primǎ formǎ a ecuatiei de miscare:

, (54)

in care m_i sunt masele elementelor, , si , sunt vitezele centrelor de greutate, respectiv vitezele unghiulare ale elementelor in pozitiile ,,0", respectiv ,,1", iar sunt momentele de inertie ale elementelor in raport cu axa ce trece prin cen-trul lor de greutate, perpendicular pe planul miscǎrii.

Desi ecuatia este valabilǎ pentru oricare dintre cele trei faze ale miscǎrii, ea are dezavantajul unor dificultǎti de calcul deosebite, cu atat mai mari cu cat mecanismul este mai complex.

Definirea functiilor de reducere permite scrierea ecuatiei (53) sub forma

, (55)

unde φ₀, φ₁ sunt valorile parametrului de pozitie al elementului conducǎtor la incepu-tul si sfarsitul intervalului, , si ω₀, ω₁ sunt momentele de inertie reduse, respec-tiv vitezele unghiulare ale elementului de reducere corespunzǎtoare unghiurilor de pozitie φ₀, respectiv φ₁.

In ecuatie (55) si in consideratiile urmǎtoare am admis ipoteza cǎ functiile de reducere variazǎ numai dupǎ parametrul de pozitie φ.

La aplicarea teoremei energiei in formǎ diferentialǎ,

, (56)

modelului dinamic redus vom distinge douǎ cazuri, in care avem in vedere cǎ in expresia lucrului mecanic elementar dL intervin numai fortele efectiv aplicate, greutǎ-tile elementelor si frecǎrile din cuplele cinematice.

Astfel, dacǎ elementul de reducere executǎ o miscare de rotatie, relatia (56) devine

sau . (57)

Intrucat

, (58)

relatia anterioarǎ se aduce la forma

. (59)

In situatia in care elementul de reducere are miscare de translatie, relatia (56) ia forma

sau

. (60)

Intrucat

,

relatia (60) devine

. (61)

Ecuatiile de miscare ale mecanismului/masinii mai pot fi obtinute aplicand mo-delului dinamic redus ecuatiile lui Lagrange de speta a doua, care pentru mecanismul cu grad de mobilitate au forma

, (62)

unde Q este forta generalizatǎ, iar E este energia cineticǎ a mecanismului, functie de variabilele generalizate q si . In aplicarea acestei relatii la modelul dinamic redus se considerǎ cǎ cele douǎ variabile generalizate sunt independente.

Dacǎ elementul de reducere executǎ o miscare de rotatie, atunci , , , si prin aplicarea relatiei (62) obtinem:

sau

. (63)

Dar intrucat am presupus cǎ J^* depinde numai de parametrul de pozitie, iar intrucat cele douǎ variabile sunt independente. Dacǎ mai avem in vedere cǎ , din (63) rezultǎ:

, (64)

relatie identicǎ cu (59).

Problemǎ. Utilizand ecuatile lui Lagrange de speta a doua sǎ se deducǎ ecua-tiile de miscare pentru mecanismul cu grad de mobilitate dacǎ modelul dina-mic redus este un punct de reducere cu miscare de translatie la care , , , .

Rezolvare. Aplicand (62) in conditiile mentionate se obtine o ecuatie de forma (63). In baza unor rationamente asemǎnǎtoare cu cele fǎcute asupra acestei relatii, la final regǎsim expresia (61).

* *

Expresiile (54), (55), (59) si (61) sunt forme echivalente ale ecuatiei de miscare a mecanismelor si masinilor. Modul lor de aplicare este insǎ diferit. Astfel, ecuatiile (59) si (61) sunt valabile ,,instantaneu", utilizandu-se ca atare, in timp ce ecuatia (54) este valabilǎ pe un interval finit de timp.

La utilizarea relatiilor (59) si (61) trebuie avut in vedere cǎ M* si , respectiv F* si , sunt mǎrimi algebrice, ele fiind folosite in calcule cu semnul lor. Dacǎ se studiazǎ un mecanism cu (de exemplu, un mecanism cu roti dintate), atunci si ecuatia de miscare (59) ia o formǎ mai simplǎ:

. (65)

Pentru determinarea acceleratiei unghiulare ε a elementului de reducere, respectiv a acceleratiei a a punctului de reducere, se rezolvǎ ecuatia (59), respectiv (61) in raport cu parametrul respectiv:

; (66)

. (67)